উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৪

পরমমান।

−৪ আর ৪ দুটো আলাদা সংখ্যা, কিন্তু দুটোই মূলবিন্দু থেকে ঠিক চার ঘর দূরে। পরমমান শুধু এই দূরত্বটা মাপে, দিকটা ভুলে যায়। এই একটা ধারণা থেকেই আসে ত্রিভুজ অসমতা, যা বোর্ডের সবচেয়ে বেশি চাওয়া প্রমাণগুলোর একটা।

১. পরমমান মানে দূরত্ব

সংখ্যারেখায় মূলবিন্দু (০) আর কোনো সংখ্যার বিন্দুর মধ্যের দূরত্বকে সংখ্যাটির পরমমান বলে। −৪ এর পরমমান ৪, আর ৩ এর পরমমান ৩। লেখা হয় |−৪| = ৪, |৩| = ৩।

দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই নিয়মটা তিন ভাগে: x > ০ হলে |x| = x; x = ০ হলে |x| = ০; x < ০ হলে |x| = −x। ছোট করে, x ≥ ০ হলে |x| = x আর x < ০ হলে |x| = −x। শূন্য ছাড়া সব বাস্তব সংখ্যার পরমমান ধনাত্মক, শূন্যের পরমমান শূন্য। নিচে x সরিয়ে দেখো কোন ভাগটা খাটছে।

বর্গমূল দিয়েও একই কথা: সব x ∈ ℝ এর জন্য |x| = √(x²)। কারণ |x|² = x², আর |x| ≥ ০ বলে ঋণাত্মক বর্গমূলটা বাদ যায়। যেমন |৫| = ৫, |−৫| = −(−৫) = ৫, |০| = ০।

এ থেকে দুটো ছোট সত্য: সব a এর জন্য −|a| ≤ a ≤ |a|, আর |a| ≥ a। প্রমাণ দুই ক্ষেত্রে। a ≥ ০ হলে −|a| ≤ ০ ≤ a = |a|। a < ০ হলে −|a| = a < ০ < −a = |a|, তাই এখানে |a| = −a > a।

২. গুণফল আর ত্রিভুজ অসমতা

সব a, b ∈ ℝ এর জন্য |a|² = a² = |−a|², আর |ab| = |a||b|। প্রমাণ: |ab|² = (ab)² = a²b² = (|a||b|)²। দুই পক্ষই অঋণাত্মক, তাই বর্গমূল নিলেই |ab| = |a||b|।

যোগে কিন্তু সমান হয় না, হয় অসমতা। ত্রিভুজ অসমতা: সব a, b ∈ ℝ এর জন্য |a + b| ≤ |a| + |b|। নিচে a আর b কে তীর ভাবো। একই দিকে হাঁটলে পুরো পথটাই দূরত্ব, উল্টো দিকে হাঁটলে কিছুটা ফিরে আসো।

প্রমাণটা বর্গ দিয়ে। (|a| + |b|)² = a² + ২|ab| + b²। আর |ab| ≥ ab, তাই এটা ≥ a² + ২ab + b² = (a + b)²। অর্থাৎ |a + b|² ≤ (|a| + |b|)²। দুই পক্ষ অঋণাত্মক, বর্গমূল নিয়ে |a + b| ≤ |a| + |b|। নিচে ধাপগুলো নিজে সাজাও।

এখান থেকে আরও দুটো আসে। ত্রিভুজ অসমতায় b এর জায়গায় −b বসাও: |a + (−b)| ≤ |a| + |−b| = |a| + |b|, অর্থাৎ |a − b| ≤ |a| + |b|।

আর অন্য দিকের সীমা: |a − b| ≥ ||a| − |b||। |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| থেকে |a − b| ≥ |a| − |b|। একইভাবে |b| ≤ |a − b| + |a| থেকে |a − b| ≥ −(|a| − |b|)। দুটো মিলিয়ে |a − b| ≥ ||a| − |b||।

সূত্রের তালিকায় আরও আছে |ab| ≥ ab আর |a/b| = |a|/|b| (b ≠ ০)। a, b ধনাত্মক হলে |a + b| = a + b = |a| + |b|, সমতা হয়। কিন্তু |a − b| = |a| + |b| হয় না: a = ৩, b = ২ এ ১ ≠ ৫। এবার কোনটা সত্য, কোনটা ফাঁদ, নিজে বাছো।

৩. ভেতর থেকে বাইরে

এক পরমমানের ভেতরে আরেকটা থাকলে সবচেয়ে ভেতরের দাগ দুটো আগে খোলো, বাইরেরটা সবার শেষে। ||২ − ৬| − ১০ + |৭ − ৩|| = ||−৪| − ১০ + |৪|| = |৪ − ১০ + ৪| = |−২| = ২।

a = ৩, b = −৭, c = −৯ হলে ||a − b| − c| = ||৩ + ৭| + ৯| = |১০ + ৯| = ১৯। একইভাবে ||৪ − ১০| − |৭ − ১০| + |−৩ − ২|| = |৬ − ৩ + ৫| = ৮, আর |−১১ + ৭| − |২ − |−৩|| + |−১ − ৩| = ৪ − ১ + ৪ = ৭। নিচে একটা বেছে ধাপে ধাপে খোলো।

৪. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটায় বৈশিষ্ট্যগুলো মনে করো।

দ্বিতীয়টায় ভেতরের দাগ আগে খোলো।

শেষটাও একই পথে।

নোটের মূল কথাগুলো কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.৪।