উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৩

অসমতা সম্পর্কিত স্বীকার্য।

সমীকরণে দুই পক্ষে যা খুশি করা যায়, সমান সমানই থাকে। অসমতায় একটা কাজেই গোলমাল: ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ। তখন বড়টা ছোট হয়ে যায়। কেন, সেটা চোখে দেখলে আর ভুল হয় না।

১. অসমতা কী

অসমতা এক প্রকার গাণিতিক বাক্য, যা সংখ্যা, পরিমাণ বা গাণিতিক রাশির ক্রমের সম্পর্ক বোঝায়। প্রতীক চারটা: < (ছোট), > (বড়), ≤ (ছোট অথবা সমান), ≥ (বড় অথবা সমান)।

চিহ্নগুলোর একটা ইতিহাস আছে। টমাস হ্যারিয়ট (১৫৬০-১৬২১) < ও > ব্যবহার করেন, যা ১৬৩১ সালে প্রকাশিত হয়। আর ≤ ও ≥ সর্বপ্রথম ব্যবহার করেন জন ওয়ালিস (১৬১৬-১৭০৩) ও পিয়ারে বুগার, যথাক্রমে ১৬৭০ ও ১৭৩৪ খ্রিষ্টাব্দে।

সমীকরণের সমাধান কয়েকটা নির্দিষ্ট মান। অসমতার সমাধান একটা ব্যাপ্তি। x > ০ সত্য কেবল ধনাত্মক x এর জন্য। কিন্তু x² > ০ সত্য x = ০ ছাড়া সব বাস্তব x এর জন্য।

২. দুই পক্ষে একই কাজ

যোগের ধর্ম: a, b, c ∈ ℝ হলে a < b থেকে a + c < b + c, আর a > b থেকে a + c > b + c। যেমন ২ < ৩ হলে ২ + ১ < ৩ + ১।

বিয়োগের ধর্ম: a < b হলে a − c < b − c, আর a > b হলে a − c > b − c। যেমন ৪ > ৩ হলে ৪ − ২ > ৩ − ২।

গুণের ধর্ম: a < b ও c > ০ হলে ac < bc; কিন্তু a < b ও c < ০ হলে ac > bc। ঋণাত্মক দিয়ে গুণ করলে অসমতার দিক উল্টে যায়। ২ < ৩ থেকে (২)(৪) < (৩)(৪), অথচ (২)(−৪) > (৩)(−৪), কারণ −৮ > −১২।

ভাগের ধর্ম একই রকম: a < b ও c > ০ হলে a/c < b/c; a < b ও c < ০ হলে a/c > b/c। ২ < ৩ থেকে ২/৩ < ৩/৩, কিন্তু ২/(−৩) > ৩/(−৩)।

নিচে a < b বেছে নাও, একটা কাজ চাপো, c টানো। উপরের রেখায় a আর b, নিচের রেখায় কাজের পরে তারা কোথায় গেল।

এবার না দেখে বলো: প্রতিটা কাজে দিক একই থাকে, না উল্টে যায়?

৩. ধর্মগুলোর প্রমাণ

সব প্রমাণের চাবি একটাই: a < b মানে b − a > ০। সংক্রমণ: a < b ও b < c হলে a < c। b − a > ০ ও c − b > ০ যোগ করে (b − a) + (c − b) > ০, অর্থাৎ c − a > ০। উভয় পক্ষে a যোগ করে c > a। ধাপগুলো নিজে সাজাও।

a < b হলে a + c < b + c। প্রমাণ: b − a > ০; উভয় পক্ষে c যোগ করে b − a + c > c, অর্থাৎ b + c > a + c।

a < b ও c > ০ হলে ac < bc। প্রমাণ: b − a > ০ আর c > ০, দুটি ধনাত্মক সংখ্যার গুণফল ধনাত্মক, তাই (b − a)c > ০, অর্থাৎ bc − ac > ০। উভয় পক্ষে ac যোগ করে bc > ac। c < ০ হলে (b − a)c < ০, আর একইভাবে ac > bc।

a < b ও c < d হলে a + c < b + d। প্রমাণ: a − b < ০ ও c − d < ০ যোগ করে (a + c) − (b + d) < ০; উভয় পক্ষে (b + d) যোগ করে a + c < b + d।

a < b এবং a > ০, b > ০ হলে ১/a > ১/b। প্রমাণ: ab > ০, তাই ১/(ab) ধনাত্মক। a < b কে ১/(ab) দিয়ে গুণ করে a/(ab) < b/(ab), অর্থাৎ ১/b < ১/a।

৪. প্রতিটা ধাপের পেছনে একটা ধর্ম

অসমতা সমাধানের প্রতিটা ধাপ এই চার ধর্মের কোনো একটা। ৩x − ২ > ২x − ১ থেকে ২x বিয়োগ করে x − ২ > −১, তারপর ২ যোগ করে x > ১। গুণক বা ভাজক ধনাত্মক না ঋণাত্মক, প্রতিবার সেটা দেখে নাও। প্রতিটা ধাপ তার ধর্মের বাক্সে রাখো।

৫. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা চিহ্নের ইতিহাস।

পরেরটা একটা প্রমাণের ভেতর থেকে।

শেষটায় কোনটা সবসময় সত্য, বলো।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.৩।