উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.২.৩-১.২.৫
ব্যবধি, উর্ধ্বসীমা-নিম্নসীমা ও সম্পূর্ণতা ধর্ম।
দুটো সংখ্যার মাঝের সব বাস্তব সংখ্যা এক বন্ধনীতে লেখা যায়। বন্ধনীটা বর্গ না গোল, সেটুকুই বলে দেয় প্রান্তের সংখ্যা ভেতরে কি না। আর প্রতিটা সেটের একটা ছাদ আর একটা মেঝে খোঁজা যায়: সুপ্রিমাম আর ইনফিমাম।
১. ব্যবধির চার ধরন
a ও b বাস্তব সংখ্যা এবং a < b হলে a ও b এর মধ্যবর্তী সকল বাস্তব সংখ্যা নিয়ে গঠিত সেটকে ব্যবধি বলে। ব্যবধি চার ধরনের: [a, b], (a, b), [a, b) আর (a, b]।
[a, b] বদ্ধ ব্যবধি = {x : a ≤ x ≤ b}; (a, b) খোলা ব্যবধি = {x : a < x < b}; [a, b) বদ্ধ-খোলা = {x : a ≤ x < b}; (a, b] খোলা-বদ্ধ = {x : a < x ≤ b}। বর্গ বন্ধনী মানে প্রান্তটা আছে, গোল বন্ধনী মানে নেই। সংখ্যারেখায় বদ্ধ প্রান্ত ভরাট বিন্দু, খোলা প্রান্ত ফাঁকা বৃত্ত। দুই টুকরো জুড়েও লেখা যায়: [৫, ৭) ∪ (৭, ১০] মানে ৫ ≤ x ≤ ১০ এবং x ≠ ৭।
নিচে a আর b সরাও, প্রান্ত খোলো বা বন্ধ করো। বন্ধনী, সেটের রূপ আর ভেতরের পূর্ণসংখ্যা একসাথে বদলায়।
বন্ধনী বদলালে কী বদলায়
x পূর্ণসংখ্যা হলে x ∈ [−৩, ৫] = {−৩, −২, −১, ০, ১, ২, ৩, ৪, ৫}; x ∈ (−৩, ৫) = {−২, −১, ০, ১, ২, ৩, ৪}; x ∈ [−৩, ৫) = {−৩, ..., ৪}; আর x ∈ (−৩, ৫] = {−২, ..., ৫}। এবার অসমতা থেকে ব্যবধির নাম চেনো।
অসমতা থেকে বন্ধনী
২. ছাদ আর মেঝে
S ⊂ ℝ অশূন্য সেট। সকল x ∈ S এর জন্য x ≤ m হয়, এমন বাস্তব সংখ্যা m থাকলে m কে S এর উর্ধ্বসীমা বলে, আর S কে উর্ধ্বসীমিত সেট। একটা উর্ধ্বসীমার চেয়ে বড় সব বাস্তব সংখ্যাও উর্ধ্বসীমা, তাই ছাদ একটা নয়, অসংখ্য।
উর্ধ্বসীমাগুলোর মধ্যে ক্ষুদ্রতমটির নাম সুপ্রিমাম, বা লঘিষ্ঠ উর্ধ্বসীমা (lub)। S = (−১, ১) এর সুপ্রিমাম ১।
উল্টো দিকে, সকল x ∈ S এর জন্য m ≤ x হলে m হলো S এর নিম্নসীমা, আর S নিম্নসীমিত সেট। কোনো নিম্নসীমার চেয়ে ছোট সব বাস্তব সংখ্যাও নিম্নসীমা।
নিম্নসীমাগুলোর মধ্যে বৃহত্তমটি ইনফিমাম, বা গরিষ্ঠ নিম্নসীমা (glb)। S = (−১, ১) এর ইনফিমাম −১।
একটা সেট বেছে m টানো। m কখন ছাদ, কখন মেঝে, আর কোথায় থামলে সেটা ঠিক sup বা inf, দেখো।
m কি সীমা?
বইয়ের ছক কয়েকটা সেটকে মিলিয়ে দেখায়। ℕ = {১, ২, ৩, ...} নিম্নসীমিত: ইনফিমাম ১, সুপ্রিমাম নেই। {..., −৩, −২, −১} উর্ধ্বসীমিত: সুপ্রিমাম −১, ইনফিমাম নেই। ℤ, Q, ℝ আর Q′ সীমিত নয়, কোনো সীমা নেই।
A = {x ∈ ℝ : ২ < x ≤ ৫} এর sup ৫ আর inf ২, অথচ ২ ∉ A। B = [২, ৩) এর sup ৩, inf ২; S = {x : ০ < x < ১} এর sup ১, inf ০। মানে sup বা inf সেটের সদস্য নাও হতে পারে।
উর্ধ্বসীমিত, নিম্নসীমিত, দুটোই, না কোনোটাই?
৩. হিসাব করে sup আর inf
অসীম অনুক্রমে প্রথম কয়েকটা পদ লিখে নাও। {১ − ১/n : n ∈ ℕ} = {০, ১/২, ২/৩, ...} এর sup ১, inf ০। {−(n+১)/n : n ∈ ℕ} = {−২, −৩/২, −৪/৩, ...} এর sup −১, inf −২। {(৩n+২)/(২n+১) : n ∈ ℕ} = {৫/৩, ৮/৫, ১১/৭, ...} এর sup ৫/৩, inf ৩/২।
দ্বিঘাত অসমতার সেট আগে ব্যবধিতে আনো। D = {x ∈ ℝ : ৩x² − ১০x + ৩ < ০} = (১/৩, ৩), তাই inf ১/৩, sup ৩। উদাহরণ-১৩: (x − ১)(x − ২) ≤ ০ হয় যখন x − ১ ≥ ০ ও x − ২ ≤ ০; অন্য ক্ষেত্র x − ১ ≤ ০ ও x − ২ ≥ ০ অসম্ভব। তাই A = {x : ১ ≤ x ≤ ২} = [১, ২]। এর উর্ধ্বসীমার সেট {x ≥ ২}, তাই sup ২; নিম্নসীমার সেট {x ≤ ১}, তাই inf ১।
পূর্ণসংখ্যা বা স্বাভাবিক সংখ্যার সসীম সেটে sup বৃহত্তম সদস্য, inf ক্ষুদ্রতম। {x ∈ ℤ : ৮ ≤ x³ ≤ ১২৫} = {২, ৩, ৪, ৫}, sup ৫, inf ২, আর এর নিম্নসীমার সেট {x ∈ ℝ : x ≤ ২}। S = {x ∈ ℕ : ৪ ≤ x² ≤ ৮১} = {২, ৩, ..., ৯}, sup ৯, inf ২। {x ∈ ℤ : ৮ ≤ x² ≤ ২৭} = {±৩, ±৪, ±৫}, sup ৫, inf −৫। বইয়ের ছকে (সারি ১১) এই সেটের sup ৩, inf ২ লেখা; সঠিক হলো sup ৫, inf −৫, কারণ x² = ৯, ১৬, ২৫ থেকে x = ±৩, ±৪, ±৫।
{x ∈ ℝ : x < a} এর প্রতিটি সদস্য a এর ছোট, তাই a একটা উর্ধ্বসীমা। a এর ছোট যেকোনো c নিলে (c + a)/২ সেটে আছে এবং c এর বড়, তাই c উর্ধ্বসীমা নয়। অতএব sup = a, যদিও a সেটের সদস্য নয়। একইভাবে {x ∈ ℝ : x > b} এর inf = b।
যৌগিক অসমতায় সব অংশে একসাথে কাজ করো। −২ ≤ ৩ − x ≤ ৮ থেকে ৩ বিয়োগ করে −৫ ≤ −x ≤ ৫, অর্থাৎ −৫ ≤ x ≤ ৫। তাই S = [−৫, ৫], Sup S = ৫, Inf S = −৫। এবার নিজে বের করো: আগে সেটটা লেখো, তারপর sup আর inf।
sup ও inf নির্ণয়
৪. সম্পূর্ণতা ধর্ম
সম্পূর্ণতা ধর্ম: ℝ এর প্রতিটি অশূন্য উর্ধ্বসীমিত উপসেটের একটি অনন্য সুপ্রিমাম ℝ এ আছে, আর প্রতিটি অশূন্য নিম্নসীমিত উপসেটের একটি অনন্য ইনফিমাম ℝ এ আছে। সংখ্যারেখায় কোনো ফাঁক নেই বলেই এটা খাটে। মূলদ সংখ্যার সেটে এ ধর্ম খাটে না।
উদাহরণ: S = {x ∈ Q : x > ০ এবং x² > ১৫}। ০ একটা নিম্নসীমা, তাই S নিম্নসীমিত, কিন্তু Q তে এর গরিষ্ঠ নিম্নসীমা নেই। ℝ এ Inf S = √১৫, যা Q তে নেই। বইয়ে S = {x ∈ Q : x² > ১৫} লেখা; সঠিক হলো x > ০ শর্ত লাগবে, কারণ শর্ত ছাড়া সেটে −৪, −৫ এর মতো x < −√১৫ সব ঋণাত্মক সংখ্যা ঢোকে, তখন সেটটা নিম্নসীমিতই থাকে না।
৫. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা সুপ্রিমাম নিয়ে।
প্রশ্ন ১
S = {x ∈ ℝ : x ≤ 1} হলে S এর লঘিষ্ঠ উর্ধ্বসীমা কোনটি?
পরেরটায় একাধিক কথা যাচাই করতে হবে।
প্রশ্ন ২
সার্বিক সেট U = {x : x ∈ ℝ} এর জন্য,
i. A = {x : x = 2ⁿ, n ∈ ℕ} একটি নিম্ন সীমিত সেট
ii. B = {x ∈ ℝ : x < 1 অথবা x > 2} সেটটি সীমিত নয়
iii. ℕ = {1, 2, 3, ...} সেটটি নিম্ন সীমিত নয়
শেষটায় দুটো সেট একসাথে।
প্রশ্ন ৩
A = {x : x = 2ⁿ, n ∈ ℕ} ও B = {x : x = (−1)ⁿ, n ∈ ℕ} হলে,
i. A ও B এর সুপ্রিমাম নেই
ii. A ও B এর ইনফিমাম আছে
iii. A এর সুপ্রিমাম নেই, B এর সুপ্রিমাম আছে
পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।
আটটা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.২.৩-১.২.৫।