উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.২

বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্য ভিত্তিক বর্ণনা।

২ + ৩ = ৩ + ২ কেন সত্য, সেটা কেউ প্রমাণ করে না: এটা মেনে নেওয়া হয়। এমন কয়েকটা মেনে নেওয়া কথা, মানে স্বীকার্য, থেকেই বাস্তব সংখ্যার সব হিসাব দাঁড়িয়ে আছে। এই নোটে সেই স্বীকার্যগুলো, কোন সেট কোনটা মানে, আর স্বীকার্য থেকে ছোট ছোট প্রমাণ।

১. দুই রকম স্বীকার্য

বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্য দুই প্রকার। একদল বীজগণিতীয় গুণাবলি ভিত্তিক, যাদের বলে ফিল্ড স্বীকার্য; এরা মূলত যোগ (+) আর গুণ (.) এর ওপর নির্ভর করে। অন্যদল ক্রমভিত্তিক স্বীকার্য, যারা বলে কোন সংখ্যা কোনটার চেয়ে বড়।

২. ফিল্ড স্বীকার্য

আবদ্ধতা: a, b ∈ ℝ হলে a + b ∈ ℝ আর a.b ∈ ℝ। যোগ বা গুণ করে সেটের বাইরে যাওয়া যায় না। বিনিময়: a + b = b + a আর ab = ba; ক্রম বদলালেও ফল একই।

সংযোগ: (a + b) + c = a + (b + c) আর (ab)c = a(bc); বন্ধনী সরালেও ফল একই। অভেদক: a + ০ = ০ + a = a, তাই যোগের অভেদক ০; a.১ = ১.a = a, তাই গুণের অভেদক ১।

বিপরীতক: প্রতিটা a এর জন্য −a ∈ ℝ আছে, a + (−a) = (−a) + a = ০; আর অশূন্য a এর জন্য a⁻¹ = ১/a ∈ ℝ আছে, a.a⁻¹ = a⁻¹.a = ১। বণ্টন: a(b + c) = ab + ac (বাম) আর (b + c)a = ba + ca (ডান); যেমন ২(৩ + ৪) = ২.৩ + ২.৪ = ১৪।

অনন্যতা: a = b আর c = d হলে a + c = b + d এবং ac = bd। সমান জিনিসে সমান জিনিস যোগ বা গুণ করলে ফলও সমান। প্রমাণে এটা বারবার লাগবে।

বোর্ডে প্রায়ই একটা উদাহরণ দিয়ে জিজ্ঞেস করে: এটা কোন বিধি? নিচে আটটা সমীকরণ নিজের বাক্সে পাঠাও।

৩. ℕ, ℤ আর Q কতটা মানে

ℤ যোগ ও গুণে আবদ্ধ, আর সংযোগ, বিনিময়, বণ্টন ও অনন্যতা বিধি মানে; যোগ আর গুণ দুটোরই অভেদক আছে। যোগের বিপরীতক −a ∈ ℤ ও আছে। কিন্তু −১ আর ১ ছাড়া ℤ এর কোনো সদস্যের গুণাত্মক বিপরীত ℤ এ নেই: ২ এর বিপরীত ১/২ ∉ ℤ।

সকল মূলদ সংখ্যা বাস্তব সংখ্যার স্বীকার্য মেনে চলে। ধনাত্মক মূলদ (Q₊) আর ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার গুণাত্মক বিপরীত আছে, ℕ এর নেই। বইয়ের ভাষায় “ℕ ও ℤ এর গুণাত্মক বিপরীত নেই”, যা ±১ বাদ দিলে সত্য। আর ℕ যোগ ও গুণে আবদ্ধ, বিয়োগে নয়: ২ − ৩ = −১ ∉ ℕ। ℤ যোগ, বিয়োগ, গুণ তিনটাতেই আবদ্ধ। একটা প্রতিউদাহরণই যথেষ্ট, নিচে খুঁজে দেখো।

৪. ক্রমভিত্তিক স্বীকার্য

O₁: যেকোনো a, b ∈ ℝ এর জন্য a > b, a = b, a < b এর ঠিক একটা সত্য। O₂: a > b আর b > c হলে a > c; a < b আর b < c হলে a < c।

O₃: a > b হলে a + c > b + c; দুই পক্ষে একই সংখ্যা যোগ করলে দিক বদলায় না। O₄: a > b আর c > d হলে a + c > b + d।

O₅: a > b আর c > ০ হলে ac > bc; কিন্তু c < ০ হলে ac < bc, দিক উল্টে যায়। O₆: a > ০, b > ০ হলে ab > ০। O₇: সকল a ∈ ℝ এর জন্য a² ≥ ০। শেষেরটা ছোট, কিন্তু অনেক কাজের।

৫. বর্গ ≥ ০ থেকে চরম মান

দ্বিঘাত রাশিকে (বর্গ) + ধ্রুবক আকারে লেখো। O₇ বলে বর্গ অংশ কখনো ঋণাত্মক নয়, আর x² এর সহগ ধনাত্মক হলে সবচেয়ে ছোট মান আসে যখন বর্গটা ০, তখন রাশিটা শুধু ধ্রুবক। যেমন ৪x² − ২x + ১ = ৪(x − ১/৪)² + ৩/৪, তাই সর্বনিম্ন মান ৩/৪; ২x² + ৩x + ১ = ২(x + ৩/৪)² − ১/৮, সর্বনিম্ন মান −১/৮। সহগ ঋণাত্মক হলে উল্টো: ১ + ৩x − ২x² = ১৭/৮ − ২(x − ৩/৪)², সর্বোচ্চ মান ১৭/৮। একইভাবে ৪x² + ৪ax + b² = (২x + a)² + b² − a², সর্বনিম্ন মান b² − a²।

৬. স্বীকার্য থেকে প্রমাণ

অভেদক অনন্য। ধরো ০ আর ০′ দুটোই যোগের অভেদক। x + ০′ = x এ x = ০ বসালে ০ + ০′ = ০, আর x + ০ = x এ x = ০′ বসালে ০′ + ০ = ০′। বিনিময় বিধিতে ০ + ০′ = ০′ + ০, তাই ০′ = ০। গুণে একই কথা: e আর e′ দুটো গুণের অভেদক হলে e′e = e′ আর ee′ = e; গুণের বিনিময়ে e′e = ee′, তাই e′ = e।

বিপরীতক অনন্য। y আর z দুটোই x এর যোগের বিপরীতক হলে z = z + ০ = z + (x + y) = (z + x) + y = ০ + y = y। গুণে: অশূন্য x এর বিপরীতক y আর z হলে z = z.১ = z(xy) = (zx)y = ১.y = y। প্রতিটা সমান চিহ্নের পেছনে একটা বিধি; নিচে যোগের প্রমাণটা নিজে সাজাও।

a.০ = ০। ১ + ০ = ১ এর দুই পক্ষকে a দিয়ে গুণ করলে a.১ + a.০ = a.১, অর্থাৎ a + a.০ = a। দুই পক্ষে −a যোগ করলে (−a + a) + a.০ = −a + a, তাই ০ + a.০ = ০, সুতরাং a.০ = ০।

−(a + b) = −a − b। বিনিময়, সংযোগ আর বিপরীতক বিধি দিয়ে (a + b) + (−a − b) সরল করলে ০ পাওয়া যায়। তাই −a − b হলো a + b এর যোগের বিপরীতক, মানে −(a + b) = −a − b।

কর্তন। a + b = a + c হলে দুই পক্ষে (−a) যোগ করো (অনন্যতা): (−a) + (a + b) = (−a) + (a + c)। সংযোগে ((−a) + a) + b = ((−a) + a) + c, বিপরীতকে ০ + b = ০ + c, অভেদকে b = c। গুণেও তাই: ac = bc আর c ≠ ০ হলে দুই পক্ষকে c⁻¹ দিয়ে গুণ করো, (ac)c⁻¹ = (bc)c⁻¹; সংযোগে a(cc⁻¹) = b(cc⁻¹), বিপরীতকে a.১ = b.১, অভেদকে a = b।

ab = ০ হলে a = ০ অথবা b = ০। a ≠ ০ হলে a⁻¹ দিয়ে গুণ করো: a⁻¹(ab) = a⁻¹.০ = ০ (কারণ a.০ = ০)। সংযোগে (a⁻¹a)b = ০, অর্থাৎ ১.b = ০, তাই b = ০। শেষে চিহ্নের নিয়ম: ab + (−a)b = (a + (−a))b = ০.b = ০, তাই (−a)b = −(ab); একইভাবে (−a)(−b) = −((−a)b) = −(−(ab)) = ab।

৭. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটায় অভেদক।

দ্বিতীয়টায় ℤ এর ভেতরে বিপরীত খোঁজো।

শেষটায় দেখো কী বদলেছে, ক্রম না বন্ধনী।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.২।