উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.১

বাস্তব সংখ্যা ও বাস্তব সংখ্যার উপসেট।

৭, ০, −৩, ২২/৭, √২, π: এগুলো সবই বাস্তব সংখ্যা, কিন্তু সবাই এক দলের নয়। কোনটা কোন সেটে পড়ে, আর কোন সেট কার ভেতরে বসে, সেটা বুঝলেই অধ্যায়ের বাকিটা সহজ হয়ে যায়। শেষে প্রমাণ করব কেন √২ কখনো ভগ্নাংশ হতে পারে না।

১. পূর্ণসংখ্যা থেকে মৌলিক সংখ্যা

শূন্যসহ সকল ধনাত্মক ও ঋণাত্মক অখণ্ড সংখ্যাকে পূর্ণসংখ্যা বলে। এদের সেট ℤ = {..., −৩, −২, −১, ০, ১, ২, ৩, ...}। এর মধ্যে শূন্যের চেয়ে ছোটগুলো ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, সেট ℤ_<০ = {..., −৩, −২, −১}।

সকল ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হলো স্বাভাবিক সংখ্যা, ℕ = {১, ২, ৩, ...}। গণনার দরকারে এদের জন্ম, তাই এদের গণনাকারী সংখ্যাও বলে; ℤ_>০ = ℕ। খেয়াল রাখো, ℕ শুরু হয় ১ থেকে। শূন্য জুড়ে দিলে পাই অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা, ℤ_≥০ = {০, ১, ২, ৩, ...} = {০} ∪ ℤ_>০।

১ বাদে যে স্বাভাবিক সংখ্যা কেবল নিজে আর ১ দিয়ে বিভাজ্য, সেটা মৌলিক সংখ্যা। সেট P = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯, ২৩, ...}। ১ নিজে মৌলিক নয়, সংজ্ঞাতেই তাকে বাদ দেওয়া হয়েছে।

২. মূলদ আর অমূলদ

যে সংখ্যাকে p/q আকারে লেখা যায়, যেখানে p, q ∈ ℤ আর q ≠ ০, সেটা মূলদ সংখ্যা: Q = {p/q : p, q ∈ ℤ এবং q ≠ ০}। q = ১ হলে p/q একটা পূর্ণসংখ্যা, তাই মূলদ সংখ্যা হয় ভগ্নাংশ, নয়তো পূর্ণসংখ্যা। দুই পূর্ণসংখ্যার ভাগফল পূর্ণসংখ্যা হবেই, এমন নয়: ৮ ÷ ৪ = ২, কিন্তু ৪ ÷ ৮ = ১/২।

যাকে p/q আকারে (p, q ∈ ℤ, সহমৌলিক, q ≠ ০) লেখা যায় না, সেটা অমূলদ সংখ্যা: Q′ = {x : x ∈ ℝ এবং x ∉ Q}। যেমন √২, √৩, √৫, √৭, √১১, e, π।

দশমিকে লিখলেই দুই দল আলাদা হয়ে যায়। মূলদ সংখ্যা হয় থেমে যায়, নয়তো একটা অংশ ঘুরে ঘুরে আসে: ৭/৫০ = ০.১৪ (সসীম), ৬/১১ = ০.৫৪৫৪৫৪... = ০.৫̇৪̇ (আবৃত্ত)। অমূলদ সংখ্যা থামেও না, ঘোরেও না: √২ = ১.৪১৪২১৩৫৬২..., π = ৩.১৪১৫৯২৬৫৪...।

সকল মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা মিলে বাস্তব সংখ্যার সেট ℝ = Q ∪ Q′। বাস্তব সংখ্যার সঠিক সংজ্ঞা সর্বপ্রথম দেন গেয়র্গ কান্টর, ১৮৭১ সালে।

সেটগুলো একটা আরেকটার ভেতরে বসে: ℕ ⊂ ℤ ⊂ Q ⊂ ℝ, আর Q′ ⊂ ℝ, কিন্তু Q′ বসে Q এর পাশে, ভেতরে নয়। ℝ নিজেও জটিল সংখ্যার সেট ℂ এর উপসেট, তাই ℕ ⊂ ℤ ⊂ Q ⊂ ℝ ⊂ ℂ। নিচে একটা সংখ্যা ফেলে দেখো সেটা কোন বাক্সে গিয়ে থামে।

একটা সংখ্যা যে বাক্সে থামে, তার বাইরের প্রতিটা বাক্সেও সে আছে। এবার উল্টো কাজ: কয়েকটা সংখ্যা তিন দলে ভাগ করো।

৩. সংখ্যারেখায় √২

সব বাস্তব সংখ্যা একটা অসীম লম্বা সরলরেখার ওপর থাকে, তার নাম সংখ্যারেখা বা বাস্তব রেখা। রেখার প্রতিটা বিন্দু একটা মূলদ বা অমূলদ সংখ্যা, আর প্রতিটা বাস্তব সংখ্যার জন্য রেখায় ঠিক একটা বিন্দু। মূলবিন্দুর ডানে ধনাত্মক, বামে ঋণাত্মক।

অমূলদ সংখ্যারও যে বিন্দু আছে, √২ দিয়ে দেখা যায়। OA₁ = ১ নিয়ে A₁ এ OX এর ওপর লম্ব A₁P = ১ আঁকো। সমকোণী সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ OA₁P এর অতিভুজ OP = √(১² + ১²) = √২। O কেন্দ্র আর OP ব্যাসার্ধে চাপ আঁকলে সেটা OX কে Q তে কাটে, তাই OQ = √২।

৪. আবৃত্ত দশমিক থেকে ভগ্নাংশ

আবৃত্ত দশমিক যে মূলদ, সেটা হাতে-কলমে দেখানো যায়। x = ২.০৯০৯০৯... হলে ১০০x = ২০৯.০৯০৯০৯...। নিচ থেকে ওপরেরটা বিয়োগ করলে দশমিকের পরের লেজ পুরোটা কেটে যায়: ৯৯x = ২০৭, তাই x = ২০৭/৯৯ = ২৩/১১, একটা মূলদ সংখ্যা।

৩ অঙ্কের অংশ ঘুরলে ১০০০ দিয়ে গুণ করতে হয়। x = ৩.২৭৪২৭৪২৭৪... হলে ১০০০x = ৩২৭৪.২৭৪২৭৪..., বিয়োগে ৯৯৯x = ৩২৭১, x = ৩২৭১/৯৯৯। আবৃত্ত অংশে যতগুলো অঙ্ক, ১০ এর ঘাত ততো। ভুল ঘাত নিলে কী হয়, নিচে দেখো।

৫. √২ কেন অমূলদ

প্রমাণটা বিরোধ দিয়ে। ধরি √২ = p/q, যেখানে p, q ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা আর ১ ছাড়া এদের কোনো সাধারণ উৎপাদক নেই। বর্গ করে p² = ২q², তাই p² জোড়, ফলে p জোড়; লিখি p = ২m। তখন ৪m² = ২q², অর্থাৎ q² = ২m², তাই q ও জোড়। কিন্তু p আর q দুটোই ২ দিয়ে বিভাজ্য হলে প্রস্তাবনাটাই ভাঙে। অতএব √২ অমূলদ। একইভাবে √৫, √৭, √১১ অমূলদ।

√৩ এর প্রমাণ একই ছাঁচে। √৩ = p/q (p, q সহমৌলিক) ধরলে p² = ৩q², তাই ৩ | p², আর ৩ মৌলিক বলে ৩ | p। p = ৩m বসালে ৯m² = ৩q², অর্থাৎ q² = ৩m², তাই ৩ | q। p, q দুটোই ৩ দিয়ে বিভাজ্য, যা সহমৌলিকতার বিরোধী; তাই √৩ অমূলদ।

সাধারণ নিয়মটা এই: m ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা কিন্তু পূর্ণবর্গ নয়, তাহলে √m অমূলদ। কোনো n এর জন্য n² < m < (n + ১)², তাই n < √m < n + ১, অর্থাৎ √m পূর্ণসংখ্যা নয়। √m = p/q (q > ১, p, q সহমৌলিক) ধরলে mq = p²/q। কিন্তু p² আর q সহমৌলিক, q > ১, তাই p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়, অথচ mq পূর্ণসংখ্যা। এই বিরোধেই √m অমূলদ।

৬. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটায় সেটের ক্রম।

দ্বিতীয়টায় কোন সেট কার ভেতরে, সেটা খেয়াল করো।

শেষটায় দশমিক দেখে চেনো: থামে, ঘোরে, নাকি কোনোটাই না।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.১।