সমীকরণ x = ৭ এর উত্তর একটা বিন্দু। অসমতা x < ৭ এর উত্তর একটা গোটা টুকরো, ৭ এর বাঁয়ের সব সংখ্যা। সমাধানের নিয়ম প্রায় সমীকরণের মতোই, শুধু একটা জায়গায় চিহ্ন উল্টে যায়।
১. অসমতা কী
এক চলকের অসমতা এমন বাক্য, যেখানে একটা রাশি অন্যটার চেয়ে ছোট, বড়, ছোট বা সমান, বড় বা সমান: x < ৭, x > ৭, x ≤ ৭, x ≥ ৭। একঘাত সমীকরণের সমাধান একটাই, কিন্তু একঘাত অসমতার সমাধান অনেক।
a ≤ b আর a ≥ b হলো দুর্বল অসমতা; এরাও মৌলিক স্বীকার্যগুলো মানে। যেকোনো বাস্তব সংখ্যার পরমমান শূন্যের বড় বা সমান, এটাও একটা দুর্বল অসমতা। a < x < b হলো যৌগিক অসমতা, কারণ এতে দুটো বাক্য: a < x এবং x < b।
কোনো অসমতা চলকের কিছু মানে সত্য, সেটা শর্তাধীন: x + ৩ > ৩ সত্য শুধু x > ০ হলে। কোনোটা সব মানেই সত্য, সেটা শর্তহীন: x + ১ > x।
ধরন বাছাইচিপ, তারপর বাক্স
শর্তাধীন না শর্তহীন?
একটা চিপ ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো। সব x এর জন্য সত্য হলে শর্তহীন।
ঠিক। পরেরটা।
এখনো না। x = −১ বা x = ০ বসিয়ে দেখো, তখনও সত্য থাকে কি?
সব ঠিক। x + ৩ > ৩ আর x > ৭ কিছু মানে সত্য; x + ১ > x, x² ≥ ০, |x| ≥ ০ সব মানেই।
২. ax > b, আর চিহ্ন কখন উল্টায়
ax > b এ a > ০ হলে দুই পক্ষ a দিয়ে ভাগ করো: x > b/a, ব্যবধি (b/a, ∞)। a < ০ হলে সমাধান (−∞, b/a)। a = ০ হলে অসমতাটা দাঁড়ায় ০ > b: b ≥ ০ হলে কোনো সমাধান নেই, b < ০ হলে সব বাস্তব x সমাধান। বইয়ে লেখা a = ০ হলে কখনো সমাধান থাকে না; সঠিক হলো, শুধু b ≥ ০ হলে থাকে না।
a আর b বদলাওহাতল টানো
ax > b এর সমাধান কোন দিকে?
এটাই সেই নিয়ম: অসমতাকে ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে, অথবা দুই পক্ষ উল্টালে, চিহ্ন বদলে যায়। a > b হলে −a < −b, আর a, b ধনাত্মক হলে ১/a < ১/b। যেমন x < −২ কে (−১) দিয়ে গুণ করলে −x > ২। বইয়ে লেখা সব a, b এর জন্য a > b ⇒ ১/a < ১/b; সঠিক হলো, a, b একই চিহ্নের হলে তবেই। a = ২, b = −১ নিলে ১/২ > −১।
৩. সমাধান করে সংখ্যারেখায়
৩x − ২ > ২x − ১ এ দুই পক্ষে −২x যোগ করে x − ২ > −১, তাই x > ১। x ≤ (১/২)x + ১ থেকে (১/২)x ≤ ১, তাই x ≤ ২; সমাধান সেট S = {x ∈ ℝ : x ≤ ২}, সংখ্যারেখায় ২ এ ভরাট বিন্দু আর বাঁয়ে তীর।
১২ ≥ ৩ − ৩x কে লেখো ৩ − ৩x ≤ ১২, তারপর −৩ যোগ করে −৩x ≤ ৯। এবার −১ দিয়ে গুণ করলে দিক উল্টে ৩x ≥ −৯, তাই x ≥ −৩। যৌগিক অসমতায় একসাথে দুই দিক: −৩ ≤ ৪ − ৭x < ১৮ থেকে −২ < x ≤ ১, কারণ −৭ দিয়ে ভাগে দুই চিহ্নই উল্টায়। আর −৩ ≤ ২x < ৮ এর পূর্ণসংখ্যা সমাধান −১, ০, ১, ২, ৩, মোট ৫টা।
ধাপে ধাপেএকটা বেছে নাও
সমাধান করো, রেখায় দেখো
বিন্দুটা ভরাট না ফাঁকা, সেটা চিহ্নই বলে দেয়: ≤ বা ≥ হলে প্রান্তটা সমাধানে আছে, ভরাট বিন্দু; < বা > হলে নেই, ফাঁকা বিন্দু। এবার প্রতিটা উত্তর ঠিক ছবিতে বসাও।
বিন্দু ও তীরচিপ, তারপর বাক্স
সংখ্যারেখায় কেমন দেখায়?
একটা চিপ ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো। < বা > হলে ফাঁকা বিন্দু।
ঠিক। পরেরটা।
এখনো না। আগে চিহ্নে সমান আছে কি না দেখো, তারপর x বড় না ছোট।
সব ঠিক জায়গায়। −২ < x ≤ ১ এ −২ তে ফাঁকা বিন্দু, ১ এ ভরাট বিন্দু, মাঝে দাগ।
৪. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা সংজ্ঞার।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
a < x < b কে বলা হয়:
একটি সমীকরণ এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর যৌগিক অসমতা। এতে দুটি বাক্য আছে: a < x এবং x < b, তাই যৌগিক অসমতা।
দুর্বল অসমতা এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর যৌগিক অসমতা। এতে দুটি বাক্য আছে: a < x এবং x < b, তাই যৌগিক অসমতা।
ঠিক। এতে দুটি বাক্য আছে: a < x এবং x < b, তাই যৌগিক অসমতা।
শর্তহীন অসমতা এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর যৌগিক অসমতা। এতে দুটি বাক্য আছে: a < x এবং x < b, তাই যৌগিক অসমতা।
দ্বিতীয়টায় সব x বসিয়ে ভাবো।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
নিচের কোনটি শর্তহীন অসমতা?
ঠিক। x + 1 > x চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য, তাই শর্তহীন।
x + 3 > 3 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর x + 1 > x। x + 1 > x চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য, তাই শর্তহীন।
x > 7 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর x + 1 > x। x + 1 > x চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য, তাই শর্তহীন।
x² > 4 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর x + 1 > x। x + 1 > x চলকের প্রত্যেক মানের জন্য সত্য, তাই শর্তহীন।
শেষটায় আগে x এক পাশে আনো।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
5x − 3 ≤ 3x + 5 এর সমাধান সেট কোনটি?
(4, ∞) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (−∞, 4]। 2x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4, তাই (−∞, 4]।
[4, ∞] এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (−∞, 4]। 2x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4, তাই (−∞, 4]।
(−∞, 4) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (−∞, 4]। 2x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4, তাই (−∞, 4]।
ঠিক। 2x ≤ 8 ⇒ x ≤ 4, তাই (−∞, 4]।
নোটের মূল কথাগুলো কার্ডে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
আটটা কার্ড
প্রশ্নএকঘাত সমীকরণ ও একঘাত চলক সম্বলিত অসমতার সমাধানের সংখ্যায় পার্থক্য কী?
উত্তরসমীকরণের একটিমাত্র সমাধান (বীজ); অসমতার অনেক সমাধান।
প্রশ্নax > b এ a > 0 হলে সমাধান কী?
উত্তরx > b/a, অর্থাৎ ব্যবধি (b/a, ∞)।
প্রশ্নax > b এ a < 0 হলে সমাধান কোন ব্যবধিতে থাকে?
উত্তর(−∞, b/a) ব্যবধিতে।
প্রশ্নax > b এ a = 0 ও b < 0 হলে সমাধান কী?
উত্তর0 > b সত্য, তাই সকল বাস্তব x সমাধান (b ≥ 0 হলে কোনো সমাধান নেই)।
প্রশ্নx < −2 কে (−1) দিয়ে গুণ করলে অসমতা কী হয়?
উত্তর−x > 2 (ঋণাত্মক দিয়ে গুণে চিহ্ন উল্টে যায়)।
প্রশ্নx + 1 > x কোন ধরনের অসমতা এবং কেন?
উত্তরশর্তহীন, কারণ x এর প্রত্যেক মানের জন্য সত্য।
প্রশ্ন−1 < x < 5 কে যৌগিক অসমতা বলা হয় কেন?
উত্তরকারণ এতে দুটি বাক্য আছে: −1 < x এবং x < 5।
প্রশ্ন−3 ≤ 4 − 7x < 18 এর সমাধান কী?
উত্তর−2 < x ≤ 1।
সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.৫-১.৬।