x(x+১)/(x−২) > ০ এর মতো অসমতা দেখে ভয় লাগে, কিন্তু কাজটা আসলে গোনার মতো। প্রতিটা উৎপাদক কোথায় শূন্য হয় সেটা খুঁজে সংখ্যারেখা কেটে নাও, তারপর প্রতিটা টুকরোয় শুধু চিহ্ন গোনো: ধনাত্মক না ঋণাত্মক। এই পদ্ধতির নাম চিহ্ন-ছক।
১. শূন্যের সাথে তুলনা, তারপর চিহ্ন
x(x+১)/(x−২) > ০ সত্য হয় যদি ও কেবল যদি লব আর হরের সব উৎপাদকের চিহ্ন মিলে পুরো রাশিটা ধনাত্মক হয়: তিনটাই ধনাত্মক, অথবা দুটো ঋণাত্মক আর একটা ধনাত্মক। উৎপাদকগুলোর শূন্যমান −১, ০ আর ২। এগুলোকে ক্রান্তিমান বলে, আর এরা সংখ্যারেখাকে চারটা ব্যবধিতে ভাগ করে। একটা ব্যবধির ভেতরে কোনো উৎপাদক চিহ্ন বদলায় না, বদলায় শুধু ক্রান্তিমান পার হলে।
নিচে নিজে x কে রেখা ধরে হাঁটাও। যে ব্যবধিতে x যায়, সেখানে প্রতিটা উৎপাদকের চিহ্ন লেখা হয়, শেষ সারিতে পুরোটার চিহ্ন। সব ব্যবধি ঘোরা হলে সমাধান নীল হয়ে ওঠে। চিহ্নটা বদলে দেখো: হরের শূন্যমান কখনো ভরাট হয় না।
চিহ্ন-ছক বানাওx সরাও
ক্রান্তিমানে চিহ্ন বদলায়
বইয়ের উদাহরণ ১৯ ঠিক এই ছকটাই। x < −১ এ চিহ্ন −, −১ < x < ০ এ +, ০ < x < ২ এ −, আর x > ২ এ +। আমরা চাই > ০, তাই সমাধান সেট {x : −১ < x < ০} ∪ {x : x > ২}। ধাপগুলো একবার হাতে লিখে দেখো।
চিহ্ন বসাও
উদাহরণ ১৯, ধাপে ধাপে
ধাপ ১। ক্রান্তিমান বের করো: x = ০, x + ১ = ০ থেকে x = −১, x − ২ = ০ থেকে x = ২। ক্রমে সাজাও: −১, ০, ২।
ধাপ ২। প্রতিটা ব্যবধিতে x এর চিহ্ন: −, −, +, +। x + ১ এর চিহ্ন: −, +, +, +। x − ২ এর চিহ্ন: −, −, −, +।
ধাপ ৩। কলাম ধরে গুণ করো: x < −১ এ (−)(−)/(−) = −; −১ < x < ০ এ (−)(+)/(−) = +; ০ < x < ২ এ (+)(+)/(−) = −; x > ২ এ (+)(+)/(+) = +।
ধাপ ৪। যেখানে + সেগুলো নাও। > ০ বলে ক্রান্তিমান বাদ: সমাধান (−১, ০) ∪ (২, ∞)।
২. দুটো ভগ্নাংশ মুখোমুখি
উদাহরণ ২০ এ দুই পাশে দুটো ভগ্নাংশ: (x+২)/(x+১) > (x−৩)/(x−৪)। আড়াআড়ি গুণ করা চলে না, কারণ হরের চিহ্ন জানা নেই। তাই ডানের ভগ্নাংশটা বাঁয়ে এনে হর মেলাও। লব হয় (x+২)(x−৪) − (x−৩)(x+১) = (x² − ২x − ৮) − (x² − ২x − ৩) = −৫। তখন −৫/((x+১)(x−৪)) > ০, অর্থাৎ (x+১)(x−৪) < ০, আর সমাধান −১ < x < ৪।
বোর্ডের প্রশ্নে একই কৌশল। (২x+৩)/(x−৩) < (x+৩)/(x−১) এ লব x² + x + ৬, যার নিশ্চায়ক ১ − ২৪ < ০, তাই লব সর্বদা ধনাত্মক; বাকি থাকে (x−৩)(x−১) < ০, সমাধান ১ < x < ৩। আর (x − ৩)/x < (x + ২)/(x + ৩) এ লব −২x − ৯; −১ দিয়ে গুণ করে চিহ্ন উল্টালে (২x + ৯)/[x(x + ৩)] > ০, ক্রান্তিমান −৯/২, −৩, ০, সমাধান (−৯/২, −৩) ∪ (০, ∞)। তিনটাই নিচে ধাপে ধাপে।
দুটি ভগ্নাংশ তুলনাএক পাশে আনো
লবটা আগে সরলো
পরমমান এলে আগে সেটা ভাঙো। উদাহরণ ২১: |(x−৩)/(২x+১)| > ৩ মানে (x−৩)/(২x+১) > ৩ অথবা < −৩। প্রথমটা থেকে −৬/৫ < x < −১/২, দ্বিতীয়টা থেকে −১/২ < x < ০। একসাথে সমাধান −৬/৫ < x < ০, তবে x ≠ −১/২, কারণ সেখানে হর শূন্য। এই সেটের সুপ্রিমাম ০ আর ইনফিমাম −৬/৫।
উদাহরণ ২৩(খ) এ f/g = (x+২y−৪)/(২x−y−৩) > ০ দেওয়া, আর x = y বসাতে বলা। তখন রাশিটা (৩x−৪)/(x−৩) > ০, ক্রান্তিমান ৪/৩ আর ৩, সমাধান x < ৪/৩ অথবা x > ৩। উপরের ছকে এটাও আছে।
৩. দ্বিঘাতের শর্টকাট
উদাহরণ ২৪(খ): x² − ৪x + ৩ > ০ কে উৎপাদকে ভাঙলে (x−১)(x−৩) > ০। চিহ্ন-ছকে x < ১ এ +, ১ < x < ৩ এ −, x > ৩ এ +। তাই সমাধান x < ১ অথবা x > ৩।
এই ছবিটা প্রতিবার একই, তাই বই একটা শর্টকাট দেয়। a > b হলে (x−a)(x−b) ≤ ০ এর সমাধান b ≤ x ≤ a, দুই মূলের মাঝে। আর (x−a)(x−b) ≥ ০ এর সমাধান x ≥ a অথবা x ≤ b, দুই মূলের বাইরে। নিচে a, b আর চিহ্ন বদলে দেখো।
দুই মূলa, b টানো
মাঝে, না বাইরে?
এবার শর্টকাট খাটাও। (x−৪)(x−৫) > ০ এর সমাধান x < ৪ অথবা x > ৫; এখানে “এবং” লিখলে কোনো মানই থাকে না। x² − ৮x + ১২ > ০ এর সমাধান (−∞, ২) ∪ (৬, ∞)। ৫x − x² − ৬ > ০ কে −১ দিয়ে গুণ করে x² − ৫x + ৬ < ০, তাই ২ < x < ৩। আর x² + ২x − ৩ < ০ এর সমাধান −৩ < x < ১। নিচের অসমতাগুলো ঠিক বাক্সে রাখো।
আকার বাছাইচিপ, তারপর বাক্স
সমাধান কোন আকারের?
আগে x² এর সহগ ধনাত্মক করো, তারপর চিহ্ন দেখো। একটা চিপ ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো।
ঠিক। পরেরটা।
এখনো না। x² এর সহগ ঋণাত্মক হলে −১ দিয়ে গুণ করো, চিহ্ন উল্টে যায়।
সব ঠিক। বাইরে: x < ৪ অথবা x > ৫; x < ২ অথবা x > ৬; x < −১ অথবা x > ৬। মাঝে: ১ < x < ৩; ১ ≤ x ≤ ২; ২ < x < ৩।
৪. আরও কয়েকটা, বোর্ড থেকে
(x−১)/(x² + ৫x + ৬) > ০ এ হরটা ভাঙো: (x−১)/((x+২)(x+৩)) > ০। ক্রান্তিমান −৩, −২, ১, চিহ্ন বাঁ থেকে −, +, −, +। সমাধান (−৩, −২) ∪ (১, ∞), আর −৩, −২ কখনো ঢোকে না।
L = {x ∈ ℝ : ২x² + ৫x < ০} এ x(২x+৫) < ০, তাই −৫/২ < x < ০। এর মধ্যবিন্দু −৫/৪ আর অর্ধদৈর্ঘ্য ৫/৪, তাই পরমমানে |x + ৫/৪| < ৫/৪। আর f(x) = x² − x ≤ ০ হলে x(x − ১) ≤ ০, সমাধান ০ ≤ x ≤ ১; এখানে চিহ্ন ≤ বলে দুই প্রান্তই ঢোকে।
৫. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। আগে ক্রান্তিমান, তারপর চিহ্ন।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
(x − 4)(x − 5) > 0 এর সমাধান কোনটি?
x > 4 এবং x < 5 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর x < 4 অথবা x > 5। দুই উৎপাদকই ধনাত্মক (x > 5) অথবা দুটিই ঋণাত্মক (x < 4)।
ঠিক। দুই উৎপাদকই ধনাত্মক (x > 5) অথবা দুটিই ঋণাত্মক (x < 4)।
x < 4 এবং x > 5 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর x < 4 অথবা x > 5। দুই উৎপাদকই ধনাত্মক (x > 5) অথবা দুটিই ঋণাত্মক (x < 4)।
x > 4 অথবা x < 5 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর x < 4 অথবা x > 5। দুই উৎপাদকই ধনাত্মক (x > 5) অথবা দুটিই ঋণাত্মক (x < 4)।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
x² − 8x + 12 > 0 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?
(−∞, 2] ∪ [6, ∞) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (−∞, 2) ∪ (6, ∞)। (x − 2)(x − 6) > 0 ⇒ x < 2 অথবা x > 6; > চিহ্ন, তাই প্রান্ত বাদ।
[2, 6] এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (−∞, 2) ∪ (6, ∞)। (x − 2)(x − 6) > 0 ⇒ x < 2 অথবা x > 6; > চিহ্ন, তাই প্রান্ত বাদ।
ঠিক। (x − 2)(x − 6) > 0 ⇒ x < 2 অথবা x > 6; > চিহ্ন, তাই প্রান্ত বাদ।
(2, 6) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (−∞, 2) ∪ (6, ∞)। (x − 2)(x − 6) > 0 ⇒ x < 2 অথবা x > 6; > চিহ্ন, তাই প্রান্ত বাদ।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
(x − 2)(x − 5) > 0 অসমতাটি সত্য হবে যখন,
i. x < 2 ii. 2 < x < 5 iii. x > 5
এই সংমিশ্রণ সত্য বিবৃতির সাথে মেলে না; সত্য বিবৃতি: i, iii। x < 2 ও x > 5 হলে দুই উৎপাদকের চিহ্ন একই (i ও iii সত্য); 2 < x < 5 এ গুণফল ঋণাত্মক।
ঠিক। x < 2 ও x > 5 হলে দুই উৎপাদকের চিহ্ন একই (i ও iii সত্য); 2 < x < 5 এ গুণফল ঋণাত্মক।
এই সংমিশ্রণ সত্য বিবৃতির সাথে মেলে না; সত্য বিবৃতি: i, iii। x < 2 ও x > 5 হলে দুই উৎপাদকের চিহ্ন একই (i ও iii সত্য); 2 < x < 5 এ গুণফল ঋণাত্মক।
এই সংমিশ্রণ সত্য বিবৃতির সাথে মেলে না; সত্য বিবৃতি: i, iii। x < 2 ও x > 5 হলে দুই উৎপাদকের চিহ্ন একই (i ও iii সত্য); 2 < x < 5 এ গুণফল ঋণাত্মক।
শেষে কার্ডগুলো উল্টে দেখো।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
আটটা কার্ড
প্রশ্নx(x+1)/(x−2) > 0 এর সমাধান কী?
উত্তর−1 < x < 0 অথবা x > 2।
প্রশ্ন(x+2)/(x+1) > (x−3)/(x−4) এ বিয়োগ করলে লবের মান কত হয়?
উত্তর−5; তাই (x+1)(x−4) < 0 এবং সমাধান −1 < x < 4।
প্রশ্ন(3x−4)/(x−3) > 0 এর সমাধান কী?
উত্তরx < 4/3 অথবা x > 3।
প্রশ্নa > b হলে (x−a)(x−b) ≤ 0 এর সমাধান কী?
উত্তরb ≤ x ≤ a।
প্রশ্নa > b হলে (x−a)(x−b) ≥ 0 এর সমাধান কী?
উত্তরx ≥ a অথবা x ≤ b।
প্রশ্ন(x−4)(x−5) > 0 এর সমাধান "এবং" না "অথবা" দিয়ে লেখা হয়?
উত্তর"অথবা": x < 4 অথবা x > 5; "এবং" দিয়ে কোনো মান পাওয়া যায় না।
প্রশ্ন(2x+3)/(x−3) < (x+3)/(x−1) এর সমাধান কী?
উত্তরলব x² + x + 6 সর্বদা ধনাত্মক, তাই (x−3)(x−1) < 0; সমাধান 1 < x < 3।