উচ্চতর গণিত ২য় পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৭

পরমমান সম্বলিত অসমতা।

|x − ৩| < ৫ দেখতে কঠিন, কিন্তু কথাটা সোজা: x আর ৩ এর দূরত্ব ৫ এর কম। দূরত্ব দিয়ে ভাবলে প্রতিটা পরমমান অসমতা সংখ্যারেখার একটা ছবি হয়ে যায়: হয় মাঝের একটা ব্যবধি, নয়তো বাইরের দুইটা রশ্মি। বোর্ডের প্রায় প্রতিটা প্রশ্নপত্রে এই অংশটা থাকে।

১. মাঝে, নাকি বাইরে

|x| হলো মূলবিন্দু থেকে x এর দূরত্ব। তাই a > ০ হলে |x| < a মানে −a < x < a: x বসে −a আর a এর মাঝখানে। দূরত্ব কখনো ঋণাত্মক হয় না, তাই a = ০ বা a < ০ হলে |x| < a এর কোনো সমাধানই নেই। সমান চিহ্ন থাকলে প্রান্ত দুটোও ঢোকে: a ≥ ০ হলে |x| ≤ a হবে যদি ও কেবল যদি −a ≤ x ≤ a।

বইয়ের ছবিতে এটা y = |x| এর V আর একটা আনুভূমিক রেখা y = a দিয়ে দেখানো। রেখাটা ওপর-নিচ করো, আর দেখো V কোথায় রেখার নিচে নামে।

চিহ্ন উল্টালে ছবিটাও উল্টে যায়। |x| > a মানে x মূলবিন্দু থেকে a এর বেশি দূরে, তাই x < −a অথবা x > a। আর a ≥ ০ হলে |x| ≥ a এর সমাধান x ≤ −a অথবা x ≥ a। এখানে শব্দটা "অথবা": x একসাথে দুই দিকে থাকতে পারে না।

মূলবিন্দুর জায়গায় যেকোনো সংখ্যা বসানো যায়। |x − ৩| হলো x আর ৩ এর দূরত্ব। তাই |x − ৩| = ৫ এর সমাধান {−২, ৮}, ৩ থেকে ঠিক ৫ দূরের দুই বিন্দু। |x − ৩| < ৫ এর সমাধান −২ < x < ৮। |x − ৩| > ৫ এর সমাধান (−∞, −২) ∪ (৮, ∞)। আর ০ < |x − ৩| < ৫ এ দূরত্ব শূন্যও হতে পারবে না, তাই কেন্দ্র ৩ নিজেই বাদ পড়ে: (−২, ৩) ∪ (৩, ৮)। নিচে কেন্দ্র a আর দূরত্ব b নিজে বদলাও।

এবার শুধু আকারটা চেনো। |x| ≥ ৩ এর সমাধান (−∞, −৩] ∪ [৩, ∞), দুই রশ্মি, প্রান্ত ভরাট। |২x − ৯| > ৭ এর সমাধান (−∞, ১) ∪ (৮, ∞)। |x − ১| ≥ ১ এর সমাধান (−∞, ০] ∪ [২, ∞)। প্রতিটা অসমতা কোন আকারের উত্তর দেয়, বাছাই করো।

২. পরমমান খুলে লেখা

সমাধানের কৌশল একটাই: |…| < k কে −k < … < k লেখো, তারপর তিন অংশেই একই কাজ করো। উদাহরণ ৪(i): |x − ২| < ৫ থেকে −৫ < x − ২ < ৫, তিন অংশে ২ যোগ করে −৩ < x < ৭। উদাহরণ ৬: |২x + ১| < ৩ থেকে −৩ < ২x + ১ < ৩, তারপর −৪ < ২x < ২, শেষে −২ < x < ১।

একই ছাঁচে: |২x − ৭| ≤ ৩ থেকে ২ ≤ x ≤ ৫; |৩x − ৪| < ২ থেকে ২/৩ < x < ২; |২x − ৫| < ৩ থেকে ১ < x < ৪; |x − ১| ≤ ১ থেকে ০ ≤ x ≤ ২; |x − ৩| ≤ ১ থেকে ২ ≤ x ≤ ৪; |৩ − ২x| ≤ ১ থেকে ১ ≤ x ≤ ২। > থাকলে দুই ভাগে ভাঙো: |২x − ৭| > ৫ মানে ২x − ৭ < −৫ অথবা ২x − ৭ > ৫, তাই x < ১ অথবা x > ৬। আর |x − ১| < ১/৫ মানে ৪/৫ < x < ৬/৫, যার মধ্যে স্বাভাবিক সংখ্যা কেবল ১।

৩. ভগ্নাংশে পরমমান: উল্টালে চিহ্ন উল্টায়

পরমমান হরে থাকলে আগে ভগ্নাংশটা উল্টাও। দুই পক্ষই ধনাত্মক, তাই উল্টালে চিহ্ন ঘুরে যায়। উদাহরণ ৪(ii): ১/|২x − ১| ≥ ৭ (x ≠ ১/২) থেকে |২x − ১| ≤ ১/৭, অর্থাৎ −১/৭ ≤ ২x − ১ ≤ ১/৭, তাই ৩/৭ ≤ x ≤ ৪/৭। হরে শূন্য চলে না, তাই x ≠ ১/২ উত্তরে লিখতেই হবে।

উদাহরণ ৭: ১/|৩x − ৫| > ২ (x ≠ ৫/৩) থেকে |৩x − ৫| < ১/২, তারপর ৯/২ < ৩x < ১১/২, তাই ৩/২ < x < ১১/৬, x ≠ ৫/৩। বইয়ে উত্তরে ৩/২ < x ≤ ১১/৬ লেখা; সঠিক হলো ৩/২ < x < ১১/৬, x ≠ ৫/৩, কারণ x = ১১/৬ এ ১/|৩x − ৫| ঠিক ২, যা ২ এর বড় নয়। প্রশ্নে ≥ থাকলে তবেই প্রান্ত দুটো সমাধানে ঢোকে।

বোর্ডের পছন্দের কয়েকটা: ১/|৫x − ১| > ১/৯ (x ≠ ১/৫) থেকে |৫x − ১| < ৯, তাই −৮/৫ < x < ২, x ≠ ১/৫। ১/|x − ১| ≥ ২ থেকে ১/২ ≤ x ≤ ৩/২, x ≠ ১। ১/|৫x − ৩| ≥ ২ (x ≠ ৩/৫) থেকে ১/২ ≤ x ≤ ৭/১০, x ≠ ৩/৫। ১/|x − ৫| ≥ ৩ থেকে ১৪/৩ ≤ x ≤ ১৬/৩, x ≠ ৫। ১/|x − ২| ≥ ২ থেকে ৩/২ ≤ x ≤ ৫/২, x ≠ ২।

উদাহরণ ২৪(ক): ২ ≤ ১/|x − ১| (x ≠ ১) থেকে |x − ১| ≤ ১/২, তাই ১/২ ≤ x ≤ ৩/২, x ≠ ১। বইয়ে ১/২ < x < ৩/২ লেখা; সঠিক হলো ১/২ ≤ x ≤ ৩/২, x ≠ ১, কারণ x = ১/২ এ ১/|x − ১| = ২, আর ২ ≤ ২ সত্য। দুটো শর্ত একসাথে দিলে উত্তর দুই সমাধানের ছেদ: |x − ২| ≤ ১ দেয় ১ ≤ x ≤ ৩, |x − ৩| ≤ ১ দেয় ২ ≤ x ≤ ৪, দুটো একসাথে ২ ≤ x ≤ ৩। নিচে প্রতিটার ধাপ আর সংখ্যারেখা দেখো।

৪. উল্টো পথে: ব্যবধি থেকে পরমমান

বোর্ড প্রায়ই উল্টোটা চায়: a ≤ bx + c ≤ d কে পরমমানে লেখো। কৌশল হলো তিন অংশ থেকেই দুই প্রান্তের গড় (a + d)/২ বিয়োগ করা। তাতে দুই প্রান্ত সমান আর বিপরীত হয়ে যায়, আর লেখা যায় |bx + k| ≤ (d − a)/২, যেখানে k = c − (a + d)/২। উদাহরণ ৫: −২ < x < ৬ এর মধ্যবিন্দু ২, তাই সব অংশ থেকে ২ বিয়োগ করে −৪ < x − ২ < ৪, অর্থাৎ |x − ২| < ৪।

মধ্যবিন্দু হয় কেন্দ্র, অর্ধেক দৈর্ঘ্য হয় দূরত্ব। প্রান্ত দুটো টেনে দেখো।

সরল প্রান্তগুলো: −৭ < x < −১ থেকে |x + ৪| < ৩; −১ < x < ৩ থেকে |x − ১| < ২; −২ < x < ৮ থেকে |x − ৩| < ৫। মাঝে x ছাড়া অন্য রাশি থাকলে আগে সেটা খোলো, নয়তো সরাসরি গড় বিয়োগ করো। −২ < ৫ − x < ৮ থেকে −৩ < x < ৭, তাই |x − ২| < ৫। −১ < ২x − ৩ < ৫ থেকে ২ < ২x < ৮, মধ্যবিন্দু ৫, তাই |২x − ৫| < ৩। −৪ < ২x − ১ < ১২ এর গড় ৪, তাই |২x − ৫| < ৮। আর f(x) = x − ১ হলে −২ < ২ − f(x) < ৮ থেকে −৫ < x < ৫, অর্থাৎ |x| < ৫।

৫. |x − a| < δ থেকে |f(x) − L| < ε

সৃজনশীলের খ প্রশ্নে এই ধাঁচটা বারবার আসে: |x − ১| < ১/১০ হলে দেখাও যে |x² − ১| < ২১/১০০। পথ চার ধাপের। পরমমান খুলে ৯/১০ < x < ১১/১০। বর্গ করে ৮১/১০০ < x² < ১২১/১০০। ১ বিয়োগ করে −১৯/১০০ < x² − ১ < ২১/১০০। এবার দুই প্রান্তের পরম মান তুলনা: −১৯/১০০ > −২১/১০০, তাই পুরোটা −২১/১০০ আর ২১/১০০ এর মাঝে, অর্থাৎ |x² − ১| < ২১/১০০। একইভাবে |x − ১| < ১/১১ থেকে |x² − ১| < ২৩/১২১।

অন্যগুলোও একই চার ধাপ। |x − ৩| < ১/৫ থেকে ১৯৬/২৫ < x² < ২৫৬/২৫, তাই −৪/২৫ < x² − ৮ < ৫৬/২৫, অর্থাৎ |x² − ৮| < ৫৬/২৫; আর −২৯/২৫ < x² − ৯ < ৩১/২৫, তাই |x² − ৯| < ৩১/২৫। |x − ৩| < ১/৭ থেকে −৪১/৪৯ < x² − ৯ < ৪৩/৪৯, তাই |x² − ৯| < ৪৩/৪৯। |x − ২| < ১/৪ থেকে −১৫/১৬ < x² − ৪ < ১৭/১৬, তাই |x² − ৪| < ১৭/১৬। |x − ১| < ১/২ থেকে ১/৮ < x³ < ২৭/৮, তাই |x³ − ১| < ১৯/৮। |x − ১| < ১/৫ থেকে |x² − ১| < ১১/২৫। আর |x − ৫| < ১/২ থেকে ৭২৯ < ৮x³ < ১৩৩১, ২৯ যোগ করে ৭৫৮ < ৮x³ + ২৯ < ১৩৬০, তাই |৮x³ + ২৯| < ১৩৬০।

চতুর্থ ধাপেই ভুল হয় সবচেয়ে বেশি, আর বইও এখানে ভুল করেছে। উদাহরণ ১৪: |x − ৪| < ১/৬ থেকে ২৩/৬ < x < ২৫/৬, ঘন করে ১২১৬৭/২১৬ < x³ < ১৫৬২৫/২১৬, তাই −৩১৬৯/২১৬ < x³ − ৭১ < ২৮৯/২১৬। দুই প্রান্তের পরম মানের বড়টা ৩১৬৯/২১৬, তাই |x³ − ৭১| < ৩১৬৯/২১৬। বই নিচের প্রান্তকে −২৮৯/২১৬ বানিয়ে ২৮৯/২১৬ লিখেছে, যা ভুল: −৩১৬৯/২১৬ < −২৮৯/২১৬, তাই নিচের প্রান্ত তোলা যায় না। নিচে x সরিয়ে নিজে দেখো, কোন জানালা দুই প্রান্তই ঢাকে।

৬. দুই পরমমান, দুই শর্ত

দুই পাশেই পরমমান থাকলে বর্গ করো। দুই পক্ষই অঋণাত্মক আর |x|² = x², তাই |A| < |B| হবে যদি ও কেবল যদি A² < B²। |x + ২| < |৪x + ১| থেকে (x + ২)² < (৪x + ১)², সাজিয়ে ১৫x² + ৪x − ৩ > ০, অর্থাৎ (৩x − ১)(৫x + ৩) > ০। তাই x < −৩/৫ অথবা x > ১/৩।

দুই দিকে সীমা থাকলে দুই অংশ আলাদা করে সমাধান করে ছেদ নাও। ১ < |২x − ৩| < ৭ এ |২x − ৩| < ৭ দেয় −২ < x < ৫, আর |২x − ৩| > ১ দেয় x < ১ অথবা x > ২। ছেদ (−২, ১) ∪ (২, ৫)। ℝ এ এর sup ৫, inf −২। x পূর্ণসংখ্যা হলে সেট {−১, ০, ৩, ৪}, তখন sup ৪, inf −১।

৭. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.৭।