কিছু অসমতা বীজগণিতে খুলতে ঝামেলা, অথচ ছবিতে এক নজরে বোঝা যায়। দুই পাশকে দুটো লেখ হিসেবে একই ছকে আঁকো, তারপর শুধু দেখো কোন লেখ ওপরে। উত্তরটা পড়া হয় x-অক্ষ থেকে।
১. ওপরে, নিচে, ছেদবিন্দু
অসমতার বীজগাণিতিক সমাধান দুরূহ হলে দুই পক্ষের লেখচিত্র একই ছকে আঁকা হয়, আর অসমতার চিহ্ন বিবেচনা করা হয়। লেখের প্রকৃতি দেখে সমাধানটা x-অক্ষে চিহ্নিত করা হয়।
নিয়ম তিনটা। f(x) = g(x) এর সমাধান হলো y = f(x) আর y = g(x) লেখদুটোর ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক। f(x) < g(x) এর সমাধান x এর সেই মানগুলো, যেখানে f এর লেখ g এর লেখের নিচে। আর f(x) > g(x) এর সমাধান যেখানে f এর লেখ ওপরে। নিচে x সরিয়ে আর চিহ্ন বদলে দেখো।
দুই লেখx সরাও, চিহ্ন বদলাও
কোন লেখ ওপরে?
বইয়ের চিত্র ১.৮.১ এ ঠিক এই দুটো লেখ: f(x) = ৪ − ২|x| একটা উল্টো V, শীর্ষ (০, ৪); আর g(x) = ২x² মূলবিন্দু দিয়ে যাওয়া পরাবৃত্ত। এরা ছেদ করে (−১, ২) আর (১, ২) বিন্দুতে। তাই f = g এর সমাধান x = −১ ও x = ১; f < g এর সমাধান (−∞, −১) ∪ (১, ∞); f > g এর সমাধান (−১, ১); আর f ≥ g এর সমাধান [−১, ১], কারণ সমান হওয়ার দুই বিন্দুও ঢোকে। এবার নিজে ছবিতে খুঁজে বের করো।
লেখচিত্র পড়িবিন্দুতে ট্যাপ করো
কোথায় নিচে?
বাইরের দুই দিক। এখানে নীল লেখ f নিচে, g ওপরে। তাই f < g এর সমাধান (−∞, −১) ∪ (১, ∞)।
মাঝখান। −১ থেকে ১ পর্যন্ত f ওপরে। তাই f > g এর সমাধান (−১, ১)।
ছেদবিন্দু। (−১, ২) আর (১, ২)। f = g এর সমাধান x = −১, ১; এদের মাঝের অংশ যোগ করলে f ≥ g এর সমাধান [−১, ১]।
তিনটাই দেখা হলো। লেখ নিচে মানে ছোট, ওপরে মানে বড়।
২. বইয়ের তিনটা উদাহরণ
উদাহরণ ১৫: f(x) = x/২ + ১ এর লেখ একটা সরলরেখা, যা (−২, ০) আর (০, ১) দিয়ে যায়। f(x) ≤ ০ মানে রেখাটা x-অক্ষে বা তার নিচে, আর সেটা ঘটে x ∈ (−∞, −২] এ। সমাধান x ≤ −২।
উদাহরণ ১৬: −৩ ≤ ৪ − ৭x < ১৮ এ তিনটা লেখ আঁকো: y₁ = −৩, y₂ = ৪ − ৭x আর y₃ = ১৮। x ∈ (−২, ১] এর জন্য y₂ এর মান y₁ আর y₃ এর মধ্যে থাকে। সমাধান −২ < x ≤ ১।
উদাহরণ ১৭: x² − ৪x + ৩ < ০, অর্থাৎ (x − ৩)(x − ১) < ০। লেখ থেকে দেখা যায় x < ১ অথবা x > ৩ হলে রাশিটা ধনাত্মক, আর x ∈ (১, ৩) হলে ঋণাত্মক। সমাধান ১ < x < ৩।
বইয়ের রেখাচিত্রের কাজগুলোর উত্তরও একই নিয়মে আসে: −১ < ৫ − ২x ≤ ৯ এর সমাধান −২ ≤ x < ৩; x² − ৫x > ৬ এর সমাধান x < −১ অথবা x > ৬; আর x/(x − ২) ≤ ২ এর সমাধান x < ২ অথবা x ≥ ৪। নিচে পাঁচটার লেখ আছে, একটা একটা করে খোলো।
রেখাচিত্রে সমাধানএকটা অসমতা বাছো
সমাধান পড়ো
বইয়ে লেখগুলো ছক কাগজে আঁকা, যাতে ছেদবিন্দু ঠিক জায়গায় পড়ে। পরীক্ষায় ছক কাগজ না থাকলেও চলে: মুক্ত হাতে একটা সংখ্যারেখা এঁকে তার ওপর সমাধানটা দাগিয়ে দিলেই হয়।
৩. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। আগে ভাবো কোন লেখ ওপরে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
f(x) < g(x) এর সমাধান সেট লেখচিত্রে কোন অংশ?
ঠিক। f(x) < g(x) মানে f এর মান g এর চেয়ে কম, অর্থাৎ f এর লেখ নিচে।
যেখানে f এর লেখ g এর লেখের ওপরে এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর যেখানে f এর লেখ g এর লেখের নিচে। f(x) < g(x) মানে f এর মান g এর চেয়ে কম, অর্থাৎ f এর লেখ নিচে।
যেখানে লেখদ্বয় ছেদ করে এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর যেখানে f এর লেখ g এর লেখের নিচে। f(x) < g(x) মানে f এর মান g এর চেয়ে কম, অর্থাৎ f এর লেখ নিচে।
যেখানে f এর লেখ x-অক্ষের উপর এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর যেখানে f এর লেখ g এর লেখের নিচে। f(x) < g(x) মানে f এর মান g এর চেয়ে কম, অর্থাৎ f এর লেখ নিচে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
লেখদ্বয় (−1, 2) ও (1, 2) এ ছেদ করে এবং −1 < x < 1 এ f এর লেখ g এর ওপরে থাকে। f(x) ≥ g(x) এর সমাধান কী?
(−1, 1) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর [−1, 1]। f > g এর সমাধান (−1, 1) এবং f = g এর সমাধান x = ±1; তাই f ≥ g এর সমাধান [−1, 1]।
(−∞, −1) ∪ (1, ∞) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর [−1, 1]। f > g এর সমাধান (−1, 1) এবং f = g এর সমাধান x = ±1; তাই f ≥ g এর সমাধান [−1, 1]।
ঠিক। f > g এর সমাধান (−1, 1) এবং f = g এর সমাধান x = ±1; তাই f ≥ g এর সমাধান [−1, 1]।
{−1, 1} এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর [−1, 1]। f > g এর সমাধান (−1, 1) এবং f = g এর সমাধান x = ±1; তাই f ≥ g এর সমাধান [−1, 1]।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
f(x) = g(x) এর সমাধান লেখচিত্র থেকে কীভাবে পাওয়া যায়?
y-অক্ষের ছেদবিন্দু থেকে এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর y = f(x) ও y = g(x) এর ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক থেকে। দুই লেখের ছেদবিন্দুতে f(x) = g(x), তাই সেই বিন্দুর x-স্থানাঙ্কই সমাধান।
ঠিক। দুই লেখের ছেদবিন্দুতে f(x) = g(x), তাই সেই বিন্দুর x-স্থানাঙ্কই সমাধান।
লেখদ্বয়ের ঢাল থেকে এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর y = f(x) ও y = g(x) এর ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক থেকে। দুই লেখের ছেদবিন্দুতে f(x) = g(x), তাই সেই বিন্দুর x-স্থানাঙ্কই সমাধান।
মূলবিন্দু থেকে এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর y = f(x) ও y = g(x) এর ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক থেকে। দুই লেখের ছেদবিন্দুতে f(x) = g(x), তাই সেই বিন্দুর x-স্থানাঙ্কই সমাধান।
শেষে কার্ডগুলো উল্টে দেখো।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
সাতটা কার্ড
প্রশ্নf(x) = g(x) এর সমাধান লেখচিত্রে কীভাবে পাওয়া যায়?
উত্তরy = f(x) ও y = g(x) লেখদ্বয়ের ছেদবিন্দুর x-স্থানাঙ্ক থেকে।
প্রশ্নলেখচিত্রে f(x) < g(x) এর সমাধান সেট কোন অংশ?
উত্তরx এর সেই মানগুলি যেখানে f এর লেখ g এর লেখের নিচে।
প্রশ্নলেখদ্বয় (−1, 2) ও (1, 2) এ ছেদ করলে এবং f এর লেখ −1 < x < 1 এ ওপরে থাকলে f ≥ g এর সমাধান কী?
উত্তর[−1, 1] (সমান ও বড়, দুই অংশ মিলে)।
প্রশ্নx/2 + 1 ≤ 0 রেখাচিত্রে কোন সমাধান দেয়?
উত্তরলেখ (−2, 0) দিয়ে যায়; x ≤ −2।
প্রশ্ন−3 ≤ 4 − 7x < 18 এর সমাধান কী?
উত্তর−2 < x ≤ 1।
প্রশ্নx² − 4x + 3 < 0 এর সমাধান কী?
উত্তর(x − 1)(x − 3) < 0 হতে 1 < x < 3।
প্রশ্নx/(x − 2) ≤ 2 এর সমাধান কী?
উত্তরx < 2 অথবা x ≥ 4।
সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.৮।