একটা সরলরেখা ছক কাগজকে দুই ভাগ করে। অসমতার সমাধান মানে এই দুই ভাগের একটা বেছে নেওয়া, আর বেছে নিতে একটা বিন্দু বসালেই চলে। সাধারণত সেই বিন্দু মূলবিন্দু।
১. রেখা আর তার দুই পাশ
সরলরেখার প্রমিত সমীকরণ ax + by + c = ০, যেখানে x, y চলক আর a, b, c ধ্রুবক। ক্রমজোড় (x, y) এ x এর মানকে ভুজ আর y এর মানকে কোটি বলে। যেসব বিন্দু (x, y) সমীকরণটা মেনে চলে, সেগুলো রেখার উপরে থাকে।
এবার f(x, y) = ax + by + c ধরো। রেখার উপরে f(x, y) = ০। রেখার বাইরে কোনো বিন্দুতে f হয় শূন্যের চেয়ে ছোট, নয়তো বড়। তাই রেখাটা ছক কাগজকে দুটো অর্ধতলে ভাগ করে: এক পাশে f > ০, অন্য পাশে f < ০।
নিচে রেখাটা নিজের হাতে ঘোরাও। a, b, c বদলাও, চিহ্ন বদলাও, আর দেখো একটা পরীক্ষা বিন্দু কোন পাশটা বেছে দেয়। ছবির যেকোনো ঘরে ট্যাপ করলে পরীক্ষা বিন্দু সেখানে সরে যায়।
অর্ধতল রাঙাওসংখ্যা বদলাও
কোন পাশটা অসমতা মানে?
২. মূলবিন্দু বসিয়ে পাশ বাছাই
অসমতার অঞ্চল আঁকার নিয়ম তিন ধাপের। প্রথমে অসমতাকে সমীকরণ ধরে রেখাটা আঁকো, অক্ষচ্ছেদ আকার x/a + y/b = ১ থেকে দুই অক্ষের ছেদবিন্দু নিয়ে। তারপর অসমতায় মূলবিন্দু (০, ০) বসাও। অসমতা সত্য হলে অঞ্চল রেখার যে পাশে মূলবিন্দু, সেই পাশে; সত্য না হলে বিপরীত পাশে।
বইয়ের উদাহরণ ১৮ দেখো। ২x − y − ৬ = ০ কে লেখা যায় x/৩ + y/(−৬) = ১, তাই রেখা A(৩, ০) আর B(০, −৬) দিয়ে যায়। ২x − y − ৬ > ০ এ (০, ০) বসালে পাই −৬ > ০, যা মিথ্যা, তাই অঞ্চল মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে। আর ২x − y − ৬ < ০ এ −৬ < ০ সত্য, তাই সেটার অঞ্চল মূলবিন্দুর পাশে।
উদাহরণ ২২ এ x > y + ২, অর্থাৎ x − y > ২। রেখা x − y = ২ মানে x/২ + y/(−২) = ১, যা A(২, ০) আর B(০, −২) দিয়ে যায়। মূলবিন্দুতে ০ > ২ মিথ্যা, তাই এখানেও অঞ্চল মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে। এবার নিচের ছবিতে নিজে পাশ বেছে নাও।
কোন পাশ?মূলবিন্দু বসিয়ে দেখো
২x − y − ৬ > ০ এর অঞ্চল কোথায়?
মূলবিন্দু O। এখানে ২·০ − ০ − ৬ = −৬, আর −৬ > ০ মিথ্যা। তাই অঞ্চলটা O এর পাশে নয়।
এখনো না। ১ নম্বর পাশে মূলবিন্দু আছে, আর সেখানে অসমতা মিথ্যা হয়েছে। এই পাশটা বরং ২x − y − ৬ < ০ এর অঞ্চল।
ঠিক। ২ নম্বর পাশ মূলবিন্দুর বিপরীতে, রেখার নিচে ও ডানে। যেমন (৫, −৩) এ ১০ + ৩ − ৬ = ৭ > ০। রেখাটা ভাঙা, কারণ চিহ্ন >।
তিনটাই দেখা হলো। মূলবিন্দু মিথ্যা বললে উত্তর অন্য পাশে।
একই নিয়ম সব অসমতায় খাটে। ২x − ৫y − ৮ > ০ এ (০, ০) বসালে −৮ > ০, যা মিথ্যা, তাই অঞ্চল মূলবিন্দুর বিপরীত দিকে।
৩. ভাঙা রেখা, না অবিচ্ছিন্ন
সীমারেখা কীভাবে আঁকবে, সেটা চিহ্ন বলে দেয়। অসমতায় < বা > থাকলে রেখার বিন্দুগুলো সমাধানে নেই, তাই সীমারেখা বিন্দুযুক্ত বা ভাঙা রেখা। ≤ বা ≥ থাকলে রেখার বিন্দুও সমাধান, তাই সীমারেখা অবিচ্ছিন্ন। যেমন ২x − y < ৪ এ রেখা ২x − y = ৪ ভাঙা, কিন্তু ২x − y ≤ ৪ এ অবিচ্ছিন্ন।
একটা জায়গায় মূলবিন্দু পরীক্ষা চলে না: রেখা যখন নিজেই মূলবিন্দু দিয়ে যায়, যেমন x − y = ০। তখন রেখার বাইরের অন্য একটা বিন্দু নাও, যেমন (০, ১)। (০, ১) এ x < y মানে ০ < ১, সত্য, তাই x < y এর অঞ্চল y = x রেখার উপরের পাশে। ওপরের ছবিতে “x < y” বেছে দেখতে পারো।
রেখা ও পাশচিপ, তারপর বাক্স
সীমারেখা কেমন হবে?
আগে চিহ্নটা দেখো। একটা চিপ ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো।
ঠিক। পরেরটা।
এখনো না। সমান চিহ্নের দাগ আছে কি? থাকলে রেখার বিন্দুও সমাধান।
সব ঠিক জায়গায়। পাশও মিলিয়ে নাও: ২x − y < ৪ আর ≤ ৪ মূলবিন্দুর পাশে; > ৬ আর ≥ ৬ মূলবিন্দুর বিপরীতে; x ≤ y তে (০, ১) সত্য, তাই রেখা y = x এর উপরে; x ≥ y তে (১, ০) সত্য, তাই নিচে।
৪. একটা বিন্দু কি অসমতা মানে?
কোনো বিন্দু অঞ্চলের ভেতরে কি না জানতে ছবি লাগে না, বিন্দুর মান বসালেই হয়। (১, ১) এ x + y > ০ সত্য, কারণ ২ > ০; কিন্তু x > ১, x + y > ৩ আর y ≥ ২x তিনটাই মিথ্যা। (০, ১) এ x + y > ০ সত্য (১ > ০), কিন্তু x > ১, x + y > ৩ আর x + y > ১ মিথ্যা। শেষেরটা খেয়াল করো: ১ > ১ মিথ্যা, কারণ চিহ্নটা কঠোর।
বিন্দু পরীক্ষাx, y এর মান আগে বসাও
সত্য না মিথ্যা?
৫. দুই অসমতা একসাথে
দুটো অসমতা একসাথে দিলে প্রত্যেকটার অঞ্চল আলাদা করে বের করো, তারপর দুটোর সাধারণ বা ছেদক অংশ নাও; সেটাই যুগ্ম সমাধান। উদাহরণ ২৩গ তে x + ২y − ৪ > ০ (রেখা A(৪, ০), B(০, ২) দিয়ে) আর ২x − y − ৩ > ০ (রেখা C(৩/২, ০), D(০, −৩) দিয়ে)। দুটোতেই মূলবিন্দু মিথ্যা হয়, তাই দুটো অঞ্চলই মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে।
নিচে দুটো অসমতা আলাদা আলাদা চালু করো। একটার দাগ এক দিকে হেলানো, অন্যটার উল্টো দিকে; যেখানে দাগ কাটাকাটি করে, সেটাই সাধারণ অংশ।
দুই অঞ্চল মেলাওঅসমতা চালু করো
দুটি শর্ত, এক সাধারণ অঞ্চল
এবার একই উদাহরণ ধাপে ধাপে, যেভাবে খাতায় লিখবে।
ধাপে ধাপে
সাধারণ অংশ
ধাপ ১। x + ২y = ৪ রেখা আঁকো: x/৪ + y/২ = ১, তাই A(৪, ০) আর B(০, ২)। চিহ্ন >, তাই ভাঙা রেখা।
ধাপ ২। (০, ০) বসাও: −৪ > ০ মিথ্যা। তাই x + ২y − ৪ > ০ এর অঞ্চল মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে।
ধাপ ৩। ২x − y = ৩ রেখা আঁকো: C(৩/২, ০) আর D(০, −৩), এটাও ভাঙা।
ধাপ ৪। (০, ০) বসাও: −৩ > ০ মিথ্যা। তাই এই অঞ্চলও মূলবিন্দুর বিপরীত পাশে।
ধাপ ৫। রেখা দুটো মেলে (২, ১) এ। যুগ্ম অঞ্চল (২, ১) থেকে ডানে খোলা কোণ। যাচাই: (৪, ১) এ ৬ > ৪ আর ৭ > ৩, দুটোই সত্য।
দুই শর্ত থেকে চতুর্ভাগও বলা যায়। y > ০ আর −৪x + ৩y < ০ একসাথে মানে y > ০ এবং y < ৪x/৩। তাহলে ০ < ৪x/৩, অর্থাৎ x > ০। x, y দুটোই ধনাত্মক, তাই সব বিন্দু প্রথম চতুর্ভাগে। ওপরের ছবিতে দ্বিতীয় জোড়াটা বেছে মিলিয়ে দেখো।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
সরলরেখার প্রমিত সমীকরণ কোনটি?
ঠিক। x ও y এর একঘাত সমীকরণ ax + by + c = 0 সরলরেখা নির্দেশ করে।
ax² + by + c = 0 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর ax + by + c = 0। x ও y এর একঘাত সমীকরণ ax + by + c = 0 সরলরেখা নির্দেশ করে।
ax + by² = c² এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর ax + by + c = 0। x ও y এর একঘাত সমীকরণ ax + by + c = 0 সরলরেখা নির্দেশ করে।
ab + xy = 0 এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর ax + by + c = 0। x ও y এর একঘাত সমীকরণ ax + by + c = 0 সরলরেখা নির্দেশ করে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
2x − y − 6 = 0 রেখা x-অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে?
(0, −6) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (3, 0)। y = 0 বসিয়ে 2x = 6, x = 3; বিন্দু (3, 0)।
(6, 0) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (3, 0)। y = 0 বসিয়ে 2x = 6, x = 3; বিন্দু (3, 0)।
ঠিক। y = 0 বসিয়ে 2x = 6, x = 3; বিন্দু (3, 0)।
(0, 3) এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর (3, 0)। y = 0 বসিয়ে 2x = 6, x = 3; বিন্দু (3, 0)।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
y > 0 এবং −4x + 3y < 0 অসমতাগুলোর সমাধান সেট কোন চতুর্ভাগে অবস্থিত?
ঠিক। y > 0 ও 3y < 4x ⇒ 0 < y < 4x/3, তাই x > 0; x, y উভয়ই ধনাত্মক, প্রথম চতুর্ভাগ।
২য় এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর ১ম। y > 0 ও 3y < 4x ⇒ 0 < y < 4x/3, তাই x > 0; x, y উভয়ই ধনাত্মক, প্রথম চতুর্ভাগ।
৩য় এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর ১ম। y > 0 ও 3y < 4x ⇒ 0 < y < 4x/3, তাই x > 0; x, y উভয়ই ধনাত্মক, প্রথম চতুর্ভাগ।
৪র্থ এখানে খাটে না; সঠিক উত্তর ১ম। y > 0 ও 3y < 4x ⇒ 0 < y < 4x/3, তাই x > 0; x, y উভয়ই ধনাত্মক, প্রথম চতুর্ভাগ।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
সাতটা কার্ড
প্রশ্নসরলরেখার প্রমিত সমীকরণ কী?
উত্তরax + by + c = 0, যেখানে x, y চলক এবং a, b, c ধ্রুবক।
প্রশ্নax + by + c = 0 রেখা তলকে কয়টি ভাগে ভাগ করে এবং কী নামে?
উত্তরদুটি অর্ধতলে।
প্রশ্নঅসমতার অঞ্চল নির্ণয়ে রেখা আঁকার পর কোন বিন্দু বসানো হয়?
উত্তরমূলবিন্দু (0, 0); সত্য হলে রেখার মূলবিন্দুর পাশে, অসত্য হলে বিপরীত পাশে অঞ্চল।
প্রশ্ন2x − y − 6 > 0 এর অঞ্চল মূলবিন্দুর কোন পাশে?
উত্তরবিপরীত পাশে, কারণ (0, 0) এ −6 > 0 অসত্য।
প্রশ্নদুটি অসমতার যুগ্ম সমাধানের অঞ্চল কোনটি?
উত্তরদুই অসমতার অঞ্চলের সাধারণ (ছেদক) অংশ।
প্রশ্নx − y = 0 রেখার ক্ষেত্রে মূলবিন্দু পরীক্ষা কেন চলে না?
উত্তরকারণ মূলবিন্দুটি রেখার উপরেই থাকে; রেখার বাইরের অন্য বিন্দু (যেমন (0, 1)) নিতে হয়।
প্রশ্ন2x − y ≤ 4 এর সীমারেখা কেমন আঁকা হয়?
উত্তরঅবিচ্ছিন্ন রেখা, কারণ 2x − y = 4 এর বিন্দুও সমাধান।
সূত্র: উচ্চতর গণিত ২য় পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা ও অসমতা”, অনুচ্ছেদ ১.৯-১.১০।