উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১
এক-এক মিল, সমতুল সেট, ব্যবধি এবং সান্ত ও অনন্ত সেট।
হলঘরে প্রতিটি লোক ঠিক একটা চেয়ারে বসেছে, আর কোনো চেয়ার খালি নেই। একজনকেও না গুনে বলা যায়, লোক আর চেয়ার সমান সংখ্যক। গণিত এই জোড়া মেলানোকেই গোনার চেয়ে গভীর এক ধারণা বানিয়েছে, আর তা দিয়ে অসীম সেটকেও মাপা যায়।
১. এক-এক মিল
A সেটের প্রতিটি উপাদানের সাথে B সেটের একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা যায়, আবার B এর প্রতিটি উপাদানের সাথেও A এর একটি ও কেবল একটি উপাদানের মিল স্থাপন করা যায়। তখন A ও B এর মধ্যে এক-এক মিল আছে, লেখা হয় A ↔ B। x এর সাথে y এর মিল হলে লিখি x ↔ y।
A = {a, b, c} তিনজন লোকের সেট, আর B = {৩০, ৪০, ৫০} তাদের বয়সের সেট। a ↔ ৩০, b ↔ ৪০, c ↔ ৫০ একটি এক-এক মিল। নিচে নিজের হাতে মিল আঁকো: একটা উপাদান ধরো, তারপর উল্টো দিকের একটা।
এক-এক মিল তৈরি
হাতে আঁকা ছবি, মাপা নয়। এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
২. সমতুল সেট
দুটি সেট A ও B এর মধ্যে একটি এক-এক মিল A ↔ B বর্ণনা করা গেলে তাদের সমতুল সেট বলে, লেখা হয় A ∼ B।
যেকোনো সেট A, B, C এর জন্য তিনটি কথা খাটে। প্রতিজ্ঞা ৪: A ∼ A, কারণ প্রতিটি x কে নিজের সাথেই মেলানো যায়, x ↔ x। A ∼ B হলে B ∼ A। প্রতিজ্ঞা ৫: A ∼ B আর B ∼ C হলে A ∼ C, মিলগুলো x ↔ y ↔ z শিকলের মতো জোড়া লাগে। ফাঁকা সেটকেও নিজের সমতুল ধরা হয়, ∅ ∼ ∅।
উদাহরণ ১৩: {১, ২, ৩, ···, n} ও {১, ৩, ৫, ···, ২n − ১} সমতুল। মিলের নিয়ম k ↔ ২k − ১।
উদাহরণ ১৪: স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N ও জোড় সংখ্যার সেট {২, ৪, ৬, ···, ২n, ···} সমতুল। মিলের নিয়ম n ↔ ২n।
সমান আর সমতুল এক জিনিস নয়। সমান সেটের উপাদান হুবহু একই। সমতুল সেটে শুধু এক-এক মিল লাগে। তাই {১, ২, ৩} ∼ {a, b, c}, কিন্তু {১, ২, ৩} ≠ {a, b, c}। সান্ত সেটে n(A) = n(B) হলেই A ∼ B।
৩. ব্যবধি
a, b বাস্তব সংখ্যা আর a < b হলে চার রকম ব্যবধি পাই:
(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}, খোলা ব্যবধি;
[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}, বন্ধ ব্যবধি;
(a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, খোলা-বন্ধ ব্যবধি;
[a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, বন্ধ-খোলা ব্যবধি।
সংখ্যারেখায় নিজে ব্যবধি আঁকো। a আর b টেনে সরাও, প্রতিটি প্রান্ত আছে কি নেই ঠিক করো, আর দেখো লেখাটা নিজে নিজে বদলায়।
ভরা বিন্দু [, ফাঁপা বিন্দু (
সংখ্যারেখা হাতে আঁকা, মাপা নয়। প্রান্ত এখানে পূর্ণসংখ্যায় থামে, কিন্তু a, b যেকোনো বাস্তব সংখ্যা হতে পারে।
বন্ধনী মিলিয়ে পড়ো: {x ∈ R : −৩ ≤ x < ৩} = [−৩, ৩) আর {x ∈ R : ১ ≤ x ≤ ৭} = [১, ৭]। “[” মানে প্রান্তের সংখ্যাটি আছে, “(” মানে নেই। ≤ মানে [, < মানে (।
কোন ব্যবধি?
৪. সান্ত ও অনন্ত সেট
গণনা করে যে সেটের সদস্য সংখ্যা ঠিক করা যায় তাকে সান্ত সেট বলে। সান্ত না হলে সেটটি অনন্ত সেট। A = {১৫, ১৬, ···, ২২} কে {১, ২, ···, ৮} এর সাথে মিলিয়ে গুনলে সদস্য সংখ্যা ৮।
ফাঁকা সেট ∅ সান্ত, তার সদস্য সংখ্যা ০। A ∼ Jₘ = {১, ২, ···, m} হলে A সান্ত এবং তার সদস্য সংখ্যা m। সান্ত সেট A এর সদস্য সংখ্যা লেখা হয় n(A), আর n(A) লিখলেই বুঝতে হবে A সান্ত।
A ও B সমতুল আর একটি সান্ত হলে অপরটিও সান্ত, এবং n(A) = n(B)।
প্রতিজ্ঞা ৬: A সান্ত এবং B, A এর প্রকৃত উপসেট হলে B সান্ত এবং n(B) < n(A)। অর্থাৎ সান্ত সেট কখনো নিজের কোনো প্রকৃত অংশের সমতুল হতে পারে না।
প্রতিজ্ঞা ৭: A অনন্ত সেট হবে যদি ও কেবল যদি A ও A এর একটি প্রকৃত উপসেট সমতুল হয়। স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N একটি অনন্ত সেট।
প্রতিজ্ঞা ৬ আর ৭ একটা হোটেলে দেখো। প্রতিটি ঘরে একজন অতিথি। নিয়ম একটাই: n নম্বর ঘরের অতিথি যাবে ২n নম্বর ঘরে। সান্ত হলে আর অনন্ত হোটেলে কী হয়?
n ↔ ২n: কেউ কি বাদ পড়ে?
হোটেলটা একটা গল্প, বইয়ে নেই। মিলের নিয়ম n ↔ ২n বইয়ের উদাহরণ ১৪ থেকে।
অনন্ত দেখানোর ধাপ একটাই: সেটটির একটি প্রকৃত উপসেট বেছে নিয়ে এক-এক মিল দেখাও। বিজোড় সংখ্যার সেট {১, ৩, ৫, ···} আর প্রকৃত উপসেট {৩, ৫, ৭, ···}, মিল k ↔ k + ২। বর্গসংখ্যার সেট {১, ৪, ৯, ···} আর {৪, ৯, ১৬, ···}, মিল n² ↔ (n + ১)²।
কাজ ও অনুশীলনী ১২: {১, ২, ···, n} ∼ {১, ২, ২², ···, ২ⁿ⁻¹}, মিল k ↔ ২ᵏ⁻¹। S = {৩ⁿ : n = ০ অথবা n ∈ N} = {১, ৩, ৯, ···} ∼ N, মিল n ↔ ৩ⁿ⁻¹। আর S এর প্রকৃত উপসেট {১, ৯, ৮১, ···} = {৩²ⁿ} ও S এর সমতুল, মিল ৩ⁿ ↔ ৩²ⁿ। চারটা সারিতে ট্যাপ করে দেখো।
অনন্ত সেটের মিল
| সেট | প্রকৃত উপসেট | মিল |
|---|---|---|
| {১, ২, ৩, ···} | {২, ৪, ৬, ···} | n ↔ 2n |
| {১, ৩, ৫, ···} | {৩, ৫, ৭, ···} | k ↔ k + 2 |
| {১, ৪, ৯, ···} | {৪, ৯, ১৬, ···} | n² ↔ (n + 1)² |
| {১, ৩, ৯, ···} | {১, ৯, ৮১, ···} | 3ⁿ ↔ 3²ⁿ |
৫. সব মিল গোনা
A = {a, b}, B = {১, ২} এর মধ্যে এক-এক মিল দুটি: a ↔ ১, b ↔ ২ এবং a ↔ ২, b ↔ ১। তিন উপাদানের দুই সেটে ৩ × ২ × ১ = ৬টি। প্রতিটি মিলকে F = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B, x ↔ y} ক্রমজোড়ের সেট হিসেবে লেখা যায়, যেমন {(a, ১), (b, ২)}। উপরের যন্ত্রে এই ক্রমজোড়গুলো মিল সম্পূর্ণ হলে নিজেই ভেসে ওঠে।
৬. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, ভুল হলে নোটে ফিরে যাও।
প্রশ্ন ১
নিচের কোনটি অনন্ত সেট?
দ্বিতীয়টা পড়ে ভাবো, তারপর ট্যাপ করো।
প্রশ্ন ২
N = {1, 2, 3, ···, n, ···} এবং A = {2, 4, 6, ···, 2n, ···} এর মধ্যে n ↔ 2n মিল দেখানো হলো। N ও A পরস্পর কোন ধরনের সেট?
শেষ প্রশ্নটা।
প্রশ্ন ৩
n(A) = n(B) হলে নিচের উক্তিগুলোর কোনগুলো সঠিক?
i. A ও B সান্ত সেট
ii. A ও B সেটের উপসেটের সংখ্যা সমান
iii. A ও B সমতুল সেট
পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।
সাতটা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “এক-এক মিল, সমতুল সেট, ব্যবধি এবং সান্ত ও অনন্ত সেট” অংশ।