উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

সান্ত সেটের উপাদান সংখ্যা ও বাস্তব সমস্যা সমাধানে সেট।

ক্লাসের ৩৫ জন ইংরেজি বলে, ৪০ জন বাংলা, অথচ ক্লাসে মোট ৫০ জন। যোগফল ৭৫ কোথা থেকে এল? যারা দুটোই বলে, তাদের দুবার গোনা হয়েছে। এই এক ভাবনা থেকেই অধ্যায়ের সবচেয়ে বেশি আসা সৃজনশীল প্রশ্নের অঙ্ক: ভেনচিত্রে সংখ্যা বসানো।

১. নিশ্ছেদ সেটের উপাদান সংখ্যা

সান্ত সেট A এর উপাদান সংখ্যা লেখা হয় n(A)। প্রতিজ্ঞা ৮: A ও B পরস্পর নিশ্ছেদ সান্ত সেট হলে n(A ∪ B) = n(A) + n(B)। কারণ n(A) = p, n(B) = q হলে A এর উপাদানগুলোকে ১ থেকে p আর B এর গুলোকে p + ১ থেকে p + q নম্বর দেওয়া যায়, তাই A ∪ B ∼ J_p+q।

একই কথা বেশি সেটেও খাটে। পরস্পর নিশ্ছেদ হলে n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C), আর চারটিতে n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)। কেউ কারও সাথে মেশে না, তাই কাউকে দুবার গোনা হয় না।

২. যেকোনো দুই সেট

প্রতিজ্ঞা ৯: যেকোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)।

A তে ৭টা বিন্দু, B তে ৫টা। উভয়ে কয়টা আছে বদলাও, আর দেখো যোগফল আসল সংখ্যা থেকে কতটা সরে যায়।

প্রমাণ ভেনচিত্রের তিন টুকরো থেকে। A \ B, A ∩ B আর B \ A পরস্পর নিশ্ছেদ, তাই প্রতিজ্ঞা ৮ খাটে: n(A) = n(A \ B) + n(A ∩ B), n(B) = n(B \ A) + n(A ∩ B), আর n(A ∪ B) = n(A \ B) + n(A ∩ B) + n(B \ A)। প্রথম দুটি থেকে n(A \ B) আর n(B \ A) তৃতীয়টায় বসালে সূত্রটা বেরিয়ে আসে।

পথে একটা কাজের সূত্রও পাওয়া গেল: n(A \ B) = n(A) − n(A ∩ B)। এটাই “শুধু A” অংশের সংখ্যা।

পূরকের বেলায় সার্বিক সেট থেকে বিয়োগ: n(A′) = n(U) − n(A)। উদাহরণ ১৬ তে ৩৫ জনের ১৫ জন দৌড় পছন্দ করে, তাই দৌড় পছন্দ করে না n(J′) = ৩৫ − ১৫ = ২০ জন।

৩. কথা থেকে প্রতীক

প্রশ্নের ভাষাই ঠিক করে কোন সংখ্যা চাই। “অন্তত একটি” মানে n(A ∪ B)। “উভয়টি” মানে n(A ∩ B)। “কেবল একটি” মানে n(A ∪ B) − n(A ∩ B)। “কোনোটিই নয়” মানে n(U) − n(A ∪ B)। আর “প্রত্যেকে অন্তত একটি” মানে A ∪ B = U, অর্থাৎ কোনোটিই নয় এর ঘর শূন্য।

৪. দুই সেটের সমস্যা

উদাহরণ ১৫: ৫০ জনের ৩৫ জন ইংরেজি বলে, ২৫ জন ইংরেজি ও বাংলা দুটোই, আর প্রত্যেকে অন্তত একটি বলে। তাই n(E ∪ B) = ৫০, আর ৫০ = ৩৫ + n(B) − ২৫, অর্থাৎ বাংলা বলে ৪০ জন। কেবল বাংলা বলে ৪০ − ২৫ = ১৫ জন।

বইয়ের কাজের তিনটি একই ছাঁচে। ৩০ জনের ২০ জন ফুটবল, ১৫ জন দাবা, সবাই অন্তত একটি: উভয় = ২০ + ১৫ − ৩০ = ৫। ৫০ জন বাংলা, ২০ জন ইংরেজি, ১০ জন উভয়: অন্তত একটি = ৫০ + ২০ − ১০ = ৬০। ৫০ জনের ২৯ জন জীববিজ্ঞান, ২৪ জন উচ্চতর গণিত, ১১ জন উভয়: কোনোটিই নয় = ৫০ − (২৯ + ২৪ − ১১) = ৮।

চারটা সংখ্যা জানা থাকলে পঞ্চমটা বের হয়, কারণ n(U) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B) + কোনোটিই নয়। কোনটা অজানা বেছে নাও, বাকিগুলো বসাও। আগে উভয়ের অংশ ভরা হয়, তারপর বাকি তিন ঘর।

উদাহরণ ১৭: ২৪ জনের ১৮ জন বাস্কেটবল (B), ১২ জন ভলিবল (V)। দুটোই খেলে কতজন, তা জানা নেই। x টেনে দেখো কোন মানে কোনো ঘর ঋণাত্মক হয়ে যায়।

কোন x গুলো টিকে থাকল, এবার হিসাবে লেখা যাক।

উদাহরণ ১৭ তে উভয়ের সংখ্যা অজানা, আর প্রশ্ন হলো তা সবচেয়ে কম আর সবচেয়ে বেশি কত হতে পারে। ২৪ জনের ১৮ জন বাস্কেটবল, ১২ জন ভলিবল পছন্দ করে। n(B ∩ V) = x হলে n(B ∪ V) = (১৮ − x) + x + (১২ − x) = ৩০ − x। সংযোগ U এর চেয়ে বড় হতে পারে না, তাই x ক্ষুদ্রতম যখন B ∪ V = U: ৩০ − x = ২৪, x = ৬। আর x বৃহত্তম যখন V ⊂ B: x = n(V) = ১২।

৫. তিন সেট

তিনটি সান্ত সেটে সূত্রটা এক ধাপ লম্বা: n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(B ∩ C) − n(C ∩ A) + n(A ∩ B ∩ C)। তিনটির ছেদকে এককভাবে তিনবার যোগ করা হয়, দুইয়ের ছেদে তিনবার বাদ পড়ে, তাই শেষে একবার ফেরত যোগ।

ভেনচিত্রে সংখ্যা বসাও ভেতর থেকে বাইরে। প্রথমে তিনটির ছেদ। তারপর প্রতিটি দুইয়ের ছেদ থেকে তিনটির ছেদ বাদ দিয়ে “কেবল দুটি” অংশ। তারপর প্রতিটি সেট থেকে তার ভেতরের বাকি সব বাদ দিয়ে “শুধু একটি” অংশ। শেষে কোনোটিই নয় = n(U) − n(সংযোগ)।

ভাষা ইনস্টিটিউটের কাজে ১০০ জন: ফ্রেঞ্চ ৪২, জার্মান ৩০, স্প্যানিশ ২৮; ফ্রেঞ্চ-স্প্যানিশ ১০, জার্মান-স্প্যানিশ ৮, জার্মান-ফ্রেঞ্চ ৫, তিনটিই ৩। সংযোগ = ৪২ + ৩০ + ২৮ − ১০ − ৮ − ৫ + ৩ = ৮০, কোনোটিই নয় ২০। “কেবল দুটি” = (দুইয়ের ছেদের যোগফল) − ৩ × (তিনটির ছেদ) = ২৩ − ৯ = ১৪। “কেবল একটি” = সংযোগ − কেবল দুটি − তিনটি = ৮০ − ১৪ − ৩ = ৬৩। ধাপে ধাপে ভরে দেখো।

অনুশীলনী ১৭: ৩০ জন; অর্থনীতি ১৯, ভূগোল ১৭, পৌরনীতি ১১; অর্থনীতি-ভূগোল ১২, পৌরনীতি-ভূগোল ৪, অর্থনীতি-পৌরনীতি ৭, তিনটিই ৩। সংযোগ = ১৯ + ১৭ + ১১ − ১২ − ৪ − ৭ + ৩ = ২৭, তাই কোনোটিই নেয়নি ৩ জন।

অনুশীলনী ২৭ এ উল্টো দিক: তিনটিই অজানা, কোনোটিই নয় জানা। ১০০ জন; ফুটবল ৪২, ক্রিকেট ৪৬, দাবা ৩৯; ফুটবল-ক্রিকেট ১৩, ক্রিকেট-দাবা ১৪, ফুটবল-দাবা ১২; কোনোটিতেই নয় ৭। সংযোগ ৯৩ = ১২৭ − ৩৯ + x, তাই তিনটিতেই x = ৫। কেবল দুটি = ৩৯ − ১৫ = ২৪, অন্তত দুটি = ২৪ + ৫ = ২৯, কেবল একটি = ৯৩ − ২৯ = ৬৪।

শতকরায়ও একই সূত্র (অনুশীলনী ২৫): বিচিত্রা ৬০%, সন্ধানী ৫০%, পূর্বাণী ৫০%; দুইয়ের ছেদ ৩০%, ৩০%, ২০%; তিনটিই ১০%। অন্তত একটি = ৬০ + ৫০ + ৫০ − ৩০ − ৩০ − ২০ + ১০ = ৯০%, কোনোটিই নয় ১০%, কেবল দুটি = ৮০ − ৩০ = ৫০%।

সংখ্যাগুলো বসাও, যন্ত্রটা যোগ, বিয়োগ আর তিনটির ছেদ ফেরত যোগ দেখাবে। তিনটির ছেদ অজানা হলে “কী বের করবে” বদলাও।

৬. ভেনচিত্রে অজানা রাশি

উদাহরণ ১৬: ৩৫ জন বালিকার প্রত্যেকে দৌড় (J), সাঁতার (S), নাচ (D) এর অন্তত একটি পছন্দ করে। ভেনচিত্রে শুধু দৌড় ২, দৌড়-সাঁতার কিন্তু নাচ নয় ৭, তিনটিই ৪, শুধু সাঁতার ২, সাঁতার-নাচ কিন্তু দৌড় নয় x, শুধু নাচ ২x। দৌড়ের বাইরের সবাই মিলে n(J′) = ২০, তাই ২x + x + ২ = ২০, x = ৬। দৌড় ও নাচ কিন্তু সাঁতার নয় এমন y জন হলে দৌড়ের ১৫ জন থেকে y + ৪ + ৭ + ২ = ১৫, তাই y = ২।

অনুশীলনী ৬: শুধু A = ৩x, A ∩ B = x, শুধু B = ২x + ৮, আর n(A) = n(B)। তাহলে ৪x = ৩x + ৮, x = ৮। n(A ∪ B) = ৩x + x + ২x + ৮ = ৫৬, আর n(B \ A) = ২x + ৮ = ২৪।

অনুশীলনী ১৮: তিনটি বৃত্ত পাশাপাশি, A আর C মেলে না। শুধু A ৮, A ∩ B = x, শুধু B ৬, B ∩ C = ৪, শুধু C = y। n(A ∩ B) = n(B ∩ C) থেকে x = ৪; n(B ∩ C′) = n(A′ ∩ C) থেকে x + ৬ = ৪ + y, y = ৬। ঘরগুলো নিশ্ছেদ, তাই n(U) = ৮ + ৪ + ৬ + ৪ + ৬ = ২৮।

অনুশীলনী ১৯: n(U) = ৫০; শুধু A ২x, কেবল A ∩ B ঘরে x + ১, শুধু B x − ১, কেবল A ∩ C ঘরে ২, তিনটিই ৩, কেবল B ∩ C ঘরে ০, শুধু C x + ৫। সাতটা ঘর যোগ: ৫x + ১০ = ৫০, x = ৮। তাহলে n(B ∩ C′) = ৯ + ৭ = ১৬, n(A′ ∩ B) = ৭ + ০ = ৭, আর n(A ∩ B ∩ C′) = ৯।

সংখ্যার সেটেও একই গোনা (অনুশীলনী ৭): U = ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, A = {x : x ≥ ৫}, B = {x : ৫x < ১২} = {১, ২}। A ∩ B = ∅, তাই n(A ∩ B) = ০। A′ = {১, ২, ৩, ৪}, তাই A′ ∪ B = {১, ২, ৩, ৪} আর তার উপাদান সংখ্যা ৪।

৭. মিলিয়ে দেখো

প্রথমটা প্রতিজ্ঞা ৮ থেকে।

দ্বিতীয়টায় “অন্তত একটি” শব্দটা খেয়াল করো।

শেষটা উদাহরণ ১৭ এর প্রশ্ন।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “সান্ত সেটের উপাদান সংখ্যা ও বাস্তব সমস্যা সমাধানে সেট” অংশ।