উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১
অন্বয়।
বড়ো-ছোটো, ভাই-বোন, শিক্ষার্থী আর তার বয়স: সবগুলোই জোড়া করে বলা যায়। গণিত সেই জোড়াগুলোকে একটা সেটে রাখে, আর সেটার নাম অন্বয়। ডোমেন, রেঞ্জ আর উল্টো অন্বয়ের হিসাব সব সেখান থেকেই আসে।
১. সম্পর্ক থেকে ক্রমজোড়
অনেক সময় একটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে, বা দুটি সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে, সম্পর্ক ভাবতে হয়। N এ কোনটা বড়ো কোনটা ছোটো, পরিবারে কে কার ভাই বা বোন, শ্রেণিতে কোন শিক্ষার্থীর বয়স কত: সবই এমন সম্পর্ক।
উদাহরণ ১৮। A = {০, ১, ২, ৩} এ x < y সম্পর্কটা নাও। যে জোড়ায় প্রথম অংশক দ্বিতীয়টার চেয়ে ছোটো, শুধু সেগুলো থাকে: S = {(০, ১), (০, ২), (০, ৩), (১, ২), (১, ৩), (২, ৩)}। এটা A × A এর একটা উপসেট।
উদাহরণ ১৯। পরিবারে a পিতা, b মাতা, c বড়ো ছেলে, d ছোটো ছেলে, e মেয়ে, f বড়ো ছেলের স্ত্রী। F = {a, b, c, d, e, f} এ “x হলো y এর ভাই” অন্বয়টা B = {(c, d), (c, e), (d, c), (d, e)}। (c, e) আছে, কিন্তু (e, c) নেই, কারণ e মেয়ে, ভাই নয়।
২. অন্বয়, ডোমেন আর রেঞ্জ
সংজ্ঞা ৪। X ও Y অশূন্যক সেট হলে এদের কার্তেসীয় গুণজ X × Y এর যেকোনো উপসেটকে X হতে Y এ একটি অন্বয় বলে। অর্থাৎ R ⊆ X × Y হলো X হতে Y এ বর্ণিত অন্বয়।
প্রত্যেক অন্বয় ক্রমজোড়ের সেট। ক্রমজোড়গুলোর প্রথম অংশকের সেট ডোমেন, দ্বিতীয় অংশকের সেট রেঞ্জ। S = {(২, ৪), (২, ২), (২, ৩)} এর ডোম {২}, রেঞ্জ {২, ৩, ৪}।
উদাহরণ ২৪। A = {২, ৩, ৫, ৭} আর B = {১, ২, ৪, ৭, ১০}। “x দ্বারা y বিভাজ্য” অন্বয়টা D = {(২, ২), (২, ৪), (২, ১০), (৫, ১০), (৭, ৭)} ⊂ A × B। ৩ দ্বারা B এর কোনো সদস্য বিভাজ্য নয়, তাই ৩ দিয়ে শুরু কোনো জোড়া নেই। নিচে প্রতিটা তীরে ট্যাপ করে জোড়াটা সেটে তোলো।
তীরচিত্র থেকে ক্রমজোড়
তীরগুলো হাতে আঁকা, মাপা নয়।
উদাহরণ ২৫। L = {(x, y) : x ∈ R, y ∈ R এবং x < y}। a < b হয় যদি ও কেবল যদি (a, b) ∈ L। তাই L বাস্তব সংখ্যার ছোটো-বড়ো সম্পর্কটাই বর্ণনা করে।
৩. উল্টো অন্বয়
অন্বয় S এর প্রতিটি ক্রমজোড় (x, y) উল্টে (y, x) লিখলে বিপরীত অন্বয় S⁻¹ পাওয়া যায়। তাই ডোম S⁻¹ = রেঞ্জ S, আর রেঞ্জ S⁻¹ = ডোম S। S = {(১, ৪), (২, ১), (৩, ০), (৪, ১), (৫, ৪)} হলে S⁻¹ = {(৪, ১), (১, ২), (০, ৩), (১, ৪), (৪, ৫)}।
৪. শর্ত থেকে তালিকা
শর্ত দেওয়া অন্বয়কে তালিকায় লিখতে A এর প্রতিটি x বসিয়ে y বের করো, আর জোড়াটা রাখো শুধু যদি y ∈ A হয়। A = {−২, −১, ০, ১, ২} এ y = x²: x = ±২ এর জন্য y = ৪ ∉ A, তাই বাদ। পাই S = {(−১, ১), (০, ০), (১, ১)}, ডোম S = {−১, ০, ১}, রেঞ্জ S = {০, ১}।
A × A কে একটা ছকে বিন্দু হিসেবে দেখো। একটা x বেছে নাও, বিন্দুটা (x, x²) এ পড়বে। ছকের ভেতরে পড়লে জোড়াটা অন্বয়ে থাকে, বাইরে পড়লে বাদ।
y = x², ছকের ভেতরে না বাইরে
ছক আর বক্ররেখা হাতে আঁকা, মাপা নয়। অন্বয়ে থাকে শুধু ছকের বিন্দুগুলো, রেখা নয়।
এবার আটটা জোড়া নিজে ভাগ করো: কোনগুলো y = x² এ আছে?
y = x² এ কোন ক্রমজোড় আছে?
একই A তে y² = x নাও। x = ০ এ y = ০। x = ১ এ y = ±১। x = ২ এ y = ±√২ ∉ A, তাই বাদ। (ঋণাত্মক x এর জন্য y² = x এর কোনো বাস্তব y নেই।) পাই S = {(০, ০), (১, ১), (১, −১)}, ডোম S = {০, ১}, রেঞ্জ S = {−১, ০, ১}।
একই A তে x + y = ১ হলে S = {(−১, ২), (০, ১), (১, ০), (২, −১)}। x − y = ১ হলে S = {(−১, −২), (০, −১), (১, ০), (২, ১)}।
সীমিত সেটের বদলে Z নিলে তালিকা শেষ হয় না। “x হলো y এর বর্গ” অন্বয়টা {(y², y) : y ∈ Z} = {(০, ০), (১, ১), (১, −১), (৪, ২), (৪, −২), (৯, ৩), ···}।
৫. অনুশীলনী ১.২ এর অন্বয়
অনুশীলনী ১.২ এর ৪ নম্বরে S = {(১, ৫), (২, ১০), (৩, ১৫), (৪, ২০)} এর ডোম {১, ২, ৩, ৪}, রেঞ্জ {৫, ১০, ১৫, ২০}। আরেকটা, S = {(২, ১), (২, ২), (২, ৩)}, এর ডোম {২}, রেঞ্জ {১, ২, ৩}, আর S⁻¹ = {(১, ২), (২, ২), (৩, ২)}। এবার তিনটা অন্বয় নিজে উল্টে দেখো: কার্ডে সামনে S, পেছনে S⁻¹।
ডোম আর রেঞ্জ জায়গা বদলায়
৬. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন। ক্রমজোড়ের কোন ঘর কোনটা, মনে করে প্রথমটা ধরো।
প্রশ্ন ১
{(1, 5), (2, 10), (5, 3), (3, 4)} অন্বয়টি উল্টে বিপরীত অন্বয় বানালে তার ডোমেন কী হবে?
দ্বিতীয়টা।
প্রশ্ন ২
A = {−1, 0, 1} এবং S = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ A এবং y = x²} হলে S এর ডোমেন কোনটি?
শেষটায় শর্ত আর সেট দুটোই মিলিয়ে নাও।
প্রশ্ন ৩
ক্রমজোড়গুলো (−3, −3), (−1, 1), (0, 1), (1/2, 1/3), (1/2, 1/5) নিয়ে গঠিত অন্বয়ের দ্বিতীয় অংশকগুলোর সেট কোনটি?
পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।
সাতটা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “অন্বয়” অংশ।