উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

ফাংশন, ডোমেন ও রেঞ্জ।

বৃত্তের ব্যাসার্ধ জানলে পরিসীমা জানা হয়ে যায়, আর সেটা একটাই, দুটো না। এই “একটি ও কেবল একটি” শর্তেই ফাংশনের পুরো কথা। তারপর প্রশ্ন থাকে একটাই: কোন x বসালে ফাংশনটা চলে, আর কোনটায় ভেঙে পড়ে?

১. ফাংশন কী

বৃত্তের ব্যাসার্ধ r আর পরিসীমা p এর সম্পর্ক p = ২πr (উদাহরণ ২০)। r এর প্রত্যেক সম্ভাব্য মানের জন্য p এর একটি ও কেবল একটি মান নির্দিষ্ট হয়, তাই p চলক r চলকের একটি ফাংশন: p = f(r), যেখানে f(r) = ২πr।

সংজ্ঞা ৫: X ও Y অশূন্যক সেট। কোনো নিয়মের অধীনে X এর প্রত্যেক উপাদানের সঙ্গে Y এর একটি ও কেবল একটি উপাদান সংশ্লিষ্ট হলে ঐ নিয়মকে X থেকে Y এ বর্ণিত একটি ফাংশন বলে। ফাংশনকে f, g, F, G ইত্যাদি প্রতীকে লেখা হয়।

সংজ্ঞা ৬: X থেকে Y এ f একটি ফাংশন হলে লেখা হয় f : X → Y। X হলো f এর ডোমেন, Y হলো এর কোডোমেন।

সংজ্ঞা ৭: f : X → Y এর অধীনে x ∈ X এর সঙ্গে y ∈ Y সংশ্লিষ্ট হলে y হলো x এর প্রতিবিম্ব বা ইমেজ, আর x হলো y এর প্রাক প্রতিবিম্ব। লেখা হয় y = f(x)।

সংজ্ঞা ৮: Y এর যেসব উপাদান X এর কোনো উপাদানের ইমেজ, তাদের সেটই f এর রেঞ্জ: রেঞ্জ f = {f(x) : x ∈ X}। রেঞ্জ f সবসময় কোডোমেন Y এর উপসেট।

উদাহরণ ২১: f : x → ২x + ১, x ∈ Z হলে ডোম f = Z। রেঞ্জ f = {y : y = ২x + ১, x ∈ Z}, অর্থাৎ সকল বিজোড় পূর্ণসংখ্যার সেট।

২. ক্রমজোড় আর তীরচিত্রে ফাংশন

ফাংশন চেনার পরীক্ষা একটাই: ডোমেনের প্রতিটি x থেকে কয়টা তীর বেরোয়। একটা অন্বয় বেছে x গুলোয় ট্যাপ করো।

একটি ক্রমজোড়ের সেট কেবল তখনই ফাংশন বর্ণনা করে যখন ভিন্ন ভিন্ন ক্রমজোড়ের প্রথম অংশক ভিন্ন হয়। উদাহরণ ২২: F = {(০, ০), (১, ১), (−১, ১), (২, ৪), (−২, ৪), (৩, ৯), (−৩, ৯)} একটি ফাংশন। ডোম F = {০, ১, −১, ২, −২, ৩, −৩}, রেঞ্জ F = {০, ১, ৪, ৯}, আর F(x) = x²। এবার ছয়টা অন্বয় নিজে ভাগ করো।

তীরচিত্রে ডোমেনের প্রত্যেক বিন্দু থেকে একটি ও কেবল একটি তীর আরম্ভ হয়ে কোডোমেনের একটি বিন্দুতে শেষ হতে হয়। উদাহরণ ২৬ এর প্রথম চিত্রে ২ → ৪, ২ → ৫ এবং ৩ → ৪, ৩ → ৫, তাই সেটি ফাংশন নয়। কোডোমেনের একই বিন্দুতে দুটি তীর এলে ফাংশন থাকে, আর কোডোমেনের কিছু বিন্দুতে তীর না এলেও চলে। গোনা হয় বেরোনো তীর, আসা তীর না।

৩. ইমেজ, প্রাক প্রতিবিম্ব আর রেঞ্জ

ডোমেন সসীম হলে রেঞ্জ বের করতে প্রতিটি x বসাও। উদাহরণ ২৭: f(x) = ২x² + ১, X = {১, ২, ৩} হলে f(১) = ৩, f(২) = ৯, f(৩) = ১৯, তাই রেঞ্জ {৩, ৯, ১৯}। কাজ: f(x) = ৪x + ২, D = {−১, ৩, ৫} হলে রেঞ্জ {−২, ১৪, ২২}।

উদাহরণ ২৮: f(x) = mx + c এ ২ ও ৪ এর প্রতিবিম্ব ৭ ও −১। তাই ২m + c = ৭ আর ৪m + c = −১, যা থেকে m = −৪, c = ১৫। ৫ এর প্রতিবিম্ব f(৫) = −৫। ৩ এর প্রাক প্রতিবিম্ব পেতে −৪x + ১৫ = ৩ ধরো, তাতে x = ৩।

মান বসানো আর উল্টো হিসাব একই ফাংশনে চলে। F(x) = ২x − ১ হলে F(−২) = −৫, F(০) = −১, F(২) = ৩, F((a + ১)/২) = a, F(x + ১) = ২x + ১, F(১/২) = ০। উল্টো দিকে F(x) = ৫ হলে x = ৩, আর F(x) = y হলে x = (y + ১)/২।

তীরচিত্রের ফাংশনেও একই পদ্ধতি। f : x → px + q এ ৮ → −৩ এবং ৬ → ২১ হলে ৮p + q = −৩ আর ৬p + q = ২১। বিয়োগ করলে ২p = −২৪, তাই p = −১২।

এবার নিজে চালাও। একটা ফাংশন বেছে x দাও, ইমেজ পাবে; অথবা y দাও, প্রাক প্রতিবিম্ব পাবে। যে সংখ্যা বসানো যায় না, সেখানে কারণটা লেখা আসবে।

৪. ডোমেন খোঁজা

কোনো ফাংশন F এর ডোমেন আর ডোমেনের প্রত্যেক x এর অনন্য প্রতিবিম্ব F(x) নির্দিষ্ট হলেই ফাংশনটা নির্ধারিত হয়। ডোমেন না বলা থাকলে যে সেটের প্রত্যেক উপাদানের জন্য F(x) নির্ধারিত থাকে, সেটাকেই ডোমেন ধরা হয়। অর্থাৎ যেখানে ফাংশন সংজ্ঞায়িত, সেটাই ডোমেন।

বর্গমূলে ভিতরের রাশি ≥ ০ হতে হবে। উদাহরণ ২৯: F(x) = √(১ − x) এ ১ − x ≥ ০, তাই x ≤ ১ এবং ডোম F = {x ∈ R : x ≤ ১}। F(−৩) = ২, F(০) = ১, F(১/২) = ১/√২, F(১) = ০। কিন্তু F(২) সংজ্ঞায়িত নয়, কারণ ২ ∉ ডোম F। একইভাবে √(x − ১) এ x ≥ ১, আর √(১ − ২x) এ x ≤ ১/২। পরম মান কখনো ঋণাত্মক হয় না: x বাস্তব হলে |x − ১| এর মান ০ বা তার বেশি, অর্থাৎ [০, ∞)।

ভগ্নাংশে হর শূন্য করে এমন x বাদ। f(x) = (২x − ১)/(২x + ৩) এ ২x + ৩ = ০ হয় x = −৩/২ এ, তাই ডোম f = R \ {−৩/২}। ১/(x − ২) এ x ≠ ২, আর ৩/(২x − ১) এ x ≠ ১/২।

দুই নিয়ম একসাথে এলে: হরে বর্গমূল থাকলে ভিতরের রাশি > ০ হতে হবে, কারণ শূন্য হলে হরই শূন্য। ২/√(২ − x) এ ২ − x > ০, তাই x < ২। ১/√(৫ − ২x) এ x < ৫/২।

এবার একটা ফাংশন ধরে ধাপে ধাপে ডোমেন বের করো।

৫. বর্গমূল আর ভগ্নাংশে মান বসানো

F(x) = √(x − ১) হলে F(১০) = ৩, F(৫) = ২, F(১) = ০। উল্টো দিকে F(x) = ২ হলে x − ১ = ৪, তাই x = ৫। F(x) = ৫ হলে x = ২৬। আর F(x) = y (y ≥ ০) হলে x = y² + ১।

এই নিয়মেই বইয়ের নমুনা প্রশ্ন মেলে। F(x) = −√(x − ৪) হলে F(a² + ৪) = −√(a²) = −|a|। আর F(x) = −২ হলে √(x − ৪) = ২, তাই x = ৮। একইভাবে √(x − ১) এ F(a² + ১) = |a|।

ভগ্নাংশে মান বসাতে ধৈর্য লাগে, নিয়ম একটাই। f(x) = (২x − ১)/(২x + ৩) হলে f(−১/৩) = (−৫/৩)/(৭/৩) = −৫/৭। F(x) = ২x/(x − ১) হলে F(−৩) = −৬/−৪ = ৩/২। f(x) = (x − ৩)/(২x + ১) হলে f(−২) = −৫/−৩ = ৫/৩।

৬. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।

দ্বিতীয়টায় হিসাবটা নিজে করে নাও।

শেষটায় ডোমেনের শর্তটা খেয়াল করো।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “ফাংশন, ডোমেন ও রেঞ্জ” অংশ।