উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

এক-এক, সার্বিক ও বিপরীত ফাংশন।

ফাংশন মানে ডোমেনের প্রত্যেকে ঠিক একটা তীর ছোড়ে। এবার প্রশ্নটা উল্টো দিক থেকে: কোডোমেনের দিকে তাকিয়ে কেউ কি দুটো তীর পেল, আর কেউ কি একটাও পেল না? এই দুই প্রশ্নের উত্তর ঠিক করে দেয় তীরগুলো উল্টে দিলে আবার একটা ফাংশন পাওয়া যায় কিনা।

১. বইয়ের তিনটি তীরচিত্র

প্রথম চিত্রে A = {a, b, c} থেকে B = {১, ২, ৩, ৪} এ a → ১, b → ২, c → ৪। কোনো দুটি তীর এক জায়গায় পড়েনি, তাই ফাংশনটি এক-এক। কিন্তু ৩ এর কাছে কোনো তীর আসেনি, ৩ এর কোনো প্রাক প্রতিবিম্ব নেই, তাই এটি সার্বিক নয়।

মাঝের চিত্রে A = {a, b, c} থেকে C = {১, ২} এ a → ১, b → ২, c → ২। C এর সবাই তীর পেয়েছে, তাই ফাংশনটি সার্বিক। কিন্তু b আর c দুটোরই প্রতিবিম্ব ২, তাই এক-এক নয়।

ডানের চিত্রে A = {a, b, c} থেকে D = {১, ২, ৩} এ a → ২, b → ১, c → ৩। ফাংশনটি এক-এক ও সার্বিক দুটোই। তাই তীরগুলো উল্টে দিলে D থেকে A তে একটা ফাংশন পাওয়া যায়, যাকে বলে বিপরীত ফাংশন: f⁻¹(১) = b, f⁻¹(২) = a, f⁻¹(৩) = c। প্রথম দুটি চিত্রে তা সম্ভব নয়: একটায় ৩ এর যাওয়ার জায়গা নেই, অন্যটায় ২ কে দুই দিকে যেতে হয়।

এবার তীরগুলো নিজের হাতে। একটা তীর বেছে নাও, তারপর সেটা কোথায় যাবে বলো। B থেকে ৪ সরাও বা যোগ করো। এক-এক আর সার্বিক কখন একসাথে হয়, আর তখন তীর উল্টালে কী হয়, দেখো।

এবার নিজে চিনে নাও। ছয়টা তীরচিত্র, একটা একটা করে আসবে।

২. এক-এক ফাংশন

সংজ্ঞা ১০: কোনো ফাংশন f এর অধীনে ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিবিম্ব সবসময় ভিন্ন হলে f কে এক-এক ফাংশন বলে: x₁, x₂ ∈ ডোম f এবং x₁ ≠ x₂ হলে f(x₁) ≠ f(x₂)। একই কথা উল্টো করে: f(x₁) = f(x₂) হলে x₁ = x₂।

প্রমাণে দ্বিতীয় রূপটাই সহজ: f(a) = f(b) ধরে a = b দেখাও। উদাহরণ ৩০: f(x) = ৩x + ৫ এ ৩a + ৫ = ৩b + ৫ ⟹ ৩a = ৩b ⟹ a = b, তাই f এক-এক। একইভাবে ২x − ৩, ৫x − ৩ আর x³ এক-এক।

এক-এক নয় দেখাতে একটা উদাহরণই যথেষ্ট। উদাহরণ ৩১: F(x) = x² এ x₁ = −১ আর x₂ = ১ ভিন্ন, কিন্তু F(−১) = F(১) = ১, তাই F এক-এক নয়। একই কারণে x² + ১, (x − ১)² আর |x| এক-এক নয়।

ভগ্নাংশের ফাংশনে একটা কৌশল কাজে লাগে। উদাহরণ ৩৬: f(x) = (২x − ১)/(২x + ৩) এ f(x₁) = f(x₂) ধরে দুই পাশ থেকে ১ বাদ দিলে −৪/(২x₁ + ৩) = −৪/(২x₂ + ৩), তাই ২x₁ + ৩ = ২x₂ + ৩, অর্থাৎ x₁ = x₂। f এক-এক।

৩. সার্বিক ফাংশন

সংজ্ঞা ১১: f : A → B কে সার্বিক ফাংশন বলে যদি প্রত্যেক b ∈ B এর জন্য এমন a ∈ A পাওয়া যায় যেন f(a) = b; অর্থাৎ B = রেঞ্জ f। যেমন A = {১, ২, ৩}, B = {৫, ৭, ৯} এ ১ → ৫, ২ → ৭, ৩ → ৯।

যাচাইয়ের উপায়: y = f(x) কে x এর জন্য সমাধান করো, আর দেখো প্রত্যেক y এর জন্য x ডোমেনে আছে কিনা। f(x) = x + ৫ (R → R) এ x = y − ৫, যা সবসময় বাস্তব, তাই f সার্বিক। কিন্তু f : {১, ২, ৩, ৪} → R, f(x) = ২x + ১ এর রেঞ্জ মাত্র {৩, ৫, ৭, ৯}, যা R নয়: এক-এক হলেও সার্বিক নয়।

কোনো একটা y এর প্রাক প্রতিবিম্ব না থাকলেই সার্বিক নয়। f(x) = (x − ৩)/(x + ৫) (কোডোমেন R) এ y = (x − ৩)/(x + ৫) থেকে x = (৩ + ৫y)/(১ − y); y = ১ হলে হর শূন্য, কোনো x নেই। রেঞ্জ R − {১}, তাই সার্বিক নয়। একইভাবে (২x + ২)/(x − ১) এর রেঞ্জ R − {২}।

বইয়ের কাজ: f : {−২, −১, ০, ১, ২} → {−৮, −১, ০, ১, ৮}, f(x) = x³। পাঁচটা ভিন্ন x থেকে পাঁচটা ভিন্ন ইমেজ, আর কোডোমেনের সবাই কারও না কারও ইমেজ। তাই এক-এক ও সার্বিক।

৪. বিপরীত ফাংশন

সংজ্ঞা ৯: f : A → B এক-এক ও সার্বিক হলে একটা ফাংশন g : B → A বর্ণিত হয়, যেখানে প্রত্যেক b ∈ B এর জন্য g(b) = a যদি ও কেবল যদি f(a) = b। এই g হলো f এর বিপরীত ফাংশন, লেখা হয় f⁻¹।

যেকোনো ফাংশনের তীর উল্টালে একটা অন্বয় পাওয়া যায়, কিন্তু সেটা ফাংশন নাও হতে পারে। f এক-এক না হলে কোনো y এর দুটো প্রাক প্রতিবিম্ব থাকে, আর উল্টো তীরে y দুই দিকে যায়: তখন f⁻¹ ফাংশন নয়।

সূত্র বের করার ধাপ তিনটা: y = f(x) লেখো, x কে y দিয়ে প্রকাশ করো, তারপর y এর জায়গায় x বসাও। উদাহরণ ৩৩: y = ৩x + ১ ⟹ x = (১/৩)(y − ১), তাই f⁻¹(x) = (১/৩)(x − ১)।

একই উদাহরণে ডোমেন ০ ≤ x ≤ ২। প্রান্ত বিন্দু (০, ১) আর (২, ৭), তাই রেঞ্জ f = {y : ১ ≤ y ≤ ৭} = [১, ৭]। f এক-এক, আর f⁻¹ এর রেখা y = (১/৩)(x − ১), ১ ≤ x ≤ ৭: f এর রেঞ্জই f⁻¹ এর ডোমেন।

উদাহরণ ৩৩ এর f(x) = ৩x + ১, ০ ≤ x ≤ ২ আর তার বিপরীত একই ছক কাগজে। x টানো: f এর লেখে একটা বিন্দু, f⁻¹ এর লেখে তার জোড়া।

উদাহরণ ৩৪: f(x) = x + ৫ আর g(x) = x − ৫ (R → R)। f এক-এক ও সার্বিক। f⁻¹(x) = y হলে f(y) = x, অর্থাৎ y + ৫ = x, y = x − ৫ = g(x)। ডোমেন একই, তাই f⁻¹ = g।

সাধারণভাবে f(x) = ax + b (a, b ∈ R, a ≠ ০, R → R) এক-এক ও সার্বিক, আর f⁻¹(x) = (x − b)/a।

ঘাতের ফাংশনেও একই ধাপ। F(x) = x³ (R → R) এক-এক ও সার্বিক, F⁻¹(x) = x^(১/৩) = ∛x। f(x) = x³ + ৫ হলে f⁻¹(x) = (x − ৫)^(১/৩); x³ + ৩ এ F⁻¹(৩) = ০। রৈখিক থেকে: ৫x − ৪ ⟹ (x + ৪)/৫; x + ১ এ f⁻¹(২) = ১; ৩x + ৩ এর বিপরীত (x − ৩)/৩।

(ax + b)/(cx + d) ধরনে আগে হর দিয়ে গুণ করো। বইয়ের কাজ: f(x) = (৪x − ৯)/(x − ২) ⟹ xy − ২y = ৪x − ৯ ⟹ f⁻¹(x) = (২x − ৯)/(x − ৪), x ≠ ৪। তাহলে f⁻¹(১) = ৭/৩, f⁻¹(−১) = ১১/৫, f⁻¹(−৩) = ১৫/৭। আর ৪f⁻¹(x) = x হলে x² − ১২x + ৩৬ = ০, x = ৬।

কাজের আরও কয়েকটি: ৩/(x − ১) ⟹ f⁻¹(x) = (x + ৩)/x, f⁻¹(৩) = ২। ২x/(x − ২) ⟹ f⁻¹(x) = ২x/(x − ২): ফাংশনটি নিজেই নিজের বিপরীত। (২x + ৩)/(২x − ১) ⟹ (x + ৩)/(২(x − ১))। (২x + ২)/(x − ১) ⟹ (x + ২)/(x − ২), f⁻¹(৩) = ৫, আর f⁻¹(p) = kp হলে k = (p + ২)/(p(p − ২))।

উদাহরণ ৩৬ এর শেষ অংশ: f(x) = (২x − ১)/(২x + ৩) হলে y(২x + ৩) = ২x − ১ ⟹ x = (১ + ৩y)/(২(১ − y)), তাই f⁻¹(x) = (১ + ৩x)/(২(১ − x))। ২f⁻¹(x) = x হলে (১ + ৩x)/(১ − x) = x ⟹ x² + ২x + ১ = ০ ⟹ x = −১।

বর্গমূলের ফাংশনে x বের করতে দুই পাশ বর্গ করো। y = √(x − ৪) ⟹ x = y² + ৪, তাই f⁻¹(x) = x² + ৪ (x ≥ ০)। y = √(১ − ২x) ⟹ F⁻¹(x) = (১ − x²)/২। y = √(২ − ৫x) ⟹ f⁻¹(x) = (২ − x²)/৫, f⁻¹(২) = −২/৫।

একটা ফাংশন বেছে নাও, তারপর এক ধাপ এক ধাপ করে বিপরীত বের করো। শেষে অক্ষর বদলাতে ভুলো না।

৫. পুরো সূত্র ছাড়াই f⁻¹(k)

শুধু একটা মান চাইলে পুরো সূত্র লাগে না। a = f⁻¹(k) ধরো, তাহলে f(a) = k, আর এই সমীকরণটা সমাধান করো। উদাহরণ ৩২: f(x) = x/(x − ২) এ a/(a − ২) = ২ ⟹ a = ২a − ৪ ⟹ a = ৪, তাই f⁻¹(২) = ৪। আর সামনের দিকে f(৫) = ৫/৩ = ১⅔।

ফাংশন আর k দাও। দ্বিতীয় প্রশ্নের ধাঁচ c·f⁻¹(x) = x বেছে নিলে c দাও।

শেষে x² এর কথা। F(x) = x² (R → R) এক-এক নয়, তাই F⁻¹ ফাংশন নয়। এর রেঞ্জ {y ∈ R : y ≥ ০}, কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক নয়। F⁻¹ কে অন্বয় ধরলে F⁻¹(x) = ±√x: যেমন x² + ১ এ ৫ এর প্রাক প্রতিবিম্ব {২, −২}। কিন্তু ডোমেন আর কোডোমেন দুটোই R₊ নিলে F : R₊ → R₊, F(x) = x² এক-এক ও সার্বিক, রেঞ্জ R₊, আর F⁻¹(x) = √x।

৬. মিলিয়ে দেখো

প্রথমটা সংজ্ঞা থেকে।

দ্বিতীয়টায় y = x + ২ থেকে x বের করো।

শেষটায় দুটো উত্তর খোঁজো।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “এক-এক, সার্বিক ও বিপরীত ফাংশন” অংশ।