উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

কার্তেসীয় গুণজ ও সেট প্রক্রিয়ার প্রতিজ্ঞা।

A = {১, ২} আর B = {a, b, c} থেকে একটি করে উপাদান নিয়ে জোড়া বানালে কয়টি জোড়া হয়? আর সংযোগ-ছেদের বন্ধনী সরালে বা পূরকের দাগ ভাঙলে উত্তর কখন বদলায়? এই নোটে নিয়মগুলো একে একে, প্রমাণসহ।

১. কার্তেসীয় গুণজ

দুটি সেট A এবং B এর কার্তেসীয় গুণজ হলো সেই সব ক্রমজোড়ের সেট, যার প্রথম অংশ A থেকে আর দ্বিতীয় অংশ B থেকে আসে: A × B = {(x, y) : x ∈ A এবং y ∈ B}।

উদাহরণ ১২: A = {১, ২}, B = {a, b, c} হলে A × B = {(১, a), (১, b), (১, c), (২, a), (২, b), (২, c)}। ক্রমজোড় ২ × ৩ = ৬টি। প্রথম অংশ সর্বদা A থেকে, তাই (a, ১) এখানে নেই।

A × B কে একটা ছক হিসেবে দেখো: সারিতে A, কলামে B, প্রতিটি ঘরে একটি ক্রমজোড়। উপাদান যোগ করো বা সরাও, আর দেখো জোড়ার সংখ্যা কীভাবে n(A) × n(B) থাকে।

২. বিনিময়, সংযোগ আর বণ্টন

বিনিময়বিধি: A ∪ B = B ∪ A এবং A ∩ B = B ∩ A। যাচাই: A = {১, ২, ৪}, B = {২, ৩, ৫} হলে দুই ক্রমেই সংযোগ {১, ২, ৩, ৪, ৫} এবং ছেদ {২}।

সংযোগবিধি: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) এবং (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)। যাচাই: A = {a, b, c, d}, B = {b, c, f}, C = {c, d, g} হলে দুই দিকেই সংযোগ {a, b, c, d, f, g} এবং ছেদ {c}।

বণ্টনবিধি: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) এবং A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)। সংযোগ ও ছেদের প্রতিটি অপরটির প্রেক্ষিতে বণ্টন নিয়ম মেনে চলে।

বইয়ের কাজের যাচাই: A = {১, ২, ৩, ৬}, B = {২, ৩, ৪, ৫}, C = {৩, ৫, ৬, ৭} হলে B ∩ C = {৩, ৫}, তাই A ∪ (B ∩ C) = {১, ২, ৩, ৫, ৬}। অন্য পাশে A ∪ B = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} আর A ∪ C = {১, ২, ৩, ৫, ৬, ৭}, এ দুটির ছেদ {১, ২, ৩, ৫, ৬}। দুই পাশ সমান।

এবার চোখে দেখো। এক পাশের বোতাম চাপো, তারপর অন্য পাশের। একই অঞ্চল রঙ হলে সেট দুটি একই।

৩. ডি মরগ্যানের সূত্র

পূরক নিলে ∪ আর ∩ বদলে যায়। ডি মরগ্যানের সূত্র দুটি: (A ∪ B)′ = A′ ∩ B′ এবং (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′।

চার বিধির আটটি সমীকরণ এখানে। প্রতিটি কোন বিধি, বলো।

প্রতিজ্ঞা ১ এর প্রমাণ উপাদান ধরে ধরে। x ∈ (A ∪ B)′ হলে x ∉ A ∪ B, তাই x ∉ A এবং x ∉ B, অর্থাৎ x ∈ A′ এবং x ∈ B′, অর্থাৎ x ∈ A′ ∩ B′। তাই (A ∪ B)′ ⊆ A′ ∩ B′। একই ধাপ উল্টো দিকে চালালে A′ ∩ B′ ⊆ (A ∪ B)′ পাওয়া যায়। দুটি মিলে সমতা। ধাপগুলো ক্রমে সাজাও।

৪. আরও কয়েকটি সূত্র

A ∪ A = A, A ∩ A = A। A ∪ ∅ = A, A ∩ ∅ = ∅। A ∪ U = U, A ∩ U = A।

A ⊆ B হলে A ∪ B = B, A ∩ B = A এবং B′ ⊆ A′।

যেকোনো A, B এর জন্য A ⊆ A ∪ B, B ⊆ A ∪ B, A ∩ B ⊆ A এবং A ∩ B ⊆ B। কারণ সংযোগে A এর সব উপাদান থাকে, আর ছেদের প্রতিটি উপাদান A তে থাকে।

৫. প্রতিজ্ঞা ২ ও ৩

প্রতিজ্ঞা ২: A \ B = A ∩ B′। প্রমাণ: x ∈ A \ B ⟺ x ∈ A এবং x ∉ B ⟺ x ∈ A এবং x ∈ B′ ⟺ x ∈ A ∩ B′।

প্রতিজ্ঞা ৩: A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) এবং A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C)। সংজ্ঞা থেকে (x, y) ধরে দুই দিকে উপসেট দেখিয়ে এর প্রমাণ।

সংখ্যা দিয়ে যাচাই: A = {a, b}, B = {২, ৩}, C = {২, ৪, ৫} হলে B ∪ C = {২, ৩, ৪, ৫}, তাই A × (B ∪ C) এ ২ × ৪ = ৮টি ক্রমজোড়। A × B তে ৪টি, A × C তে ৬টি; সাধারণ (a, ২) ও (b, ২) একবার ধরলে সংযোগে ৮টিই।

সব প্রমাণের ছক একই। সেট সমতা প্রমাণে একটি সাধারণ উপাদান x নিয়ে আগে দেখাও বাম পাশ ⊆ ডান পাশ, তারপর ডান পাশ ⊆ বাম পাশ। দুটি মিলে সমতা।

৬. কাজ আর অনুশীলনীর অভেদ

A \ A = ∅ এবং A \ (A \ A) = A \ ∅ = A।

A′ \ B′ = B \ A, কারণ প্রতিজ্ঞা ২ দিয়ে A′ \ B′ = A′ ∩ (B′)′ = A′ ∩ B = B ∩ A′ = B \ A।

তিন সেটেও ডি মরগ্যান চলে: (A ∪ B ∪ C)′ = A′ ∩ B′ ∩ C′ এবং (A ∩ B ∩ C)′ = A′ ∪ B′ ∪ C′।

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C), কারণ ডান পাশ = A ∩ A ∩ B ∩ C = A ∩ B ∩ C।

A ⊆ B এর সমতুল শর্ত পাঁচটি: A ∩ B = A, A ∪ B = B, B′ ⊆ A′, A ∩ B′ = ∅, B ∪ A′ = U। যেকোনো একটি খাটলেই A ⊆ B।

A ⊂ B এবং C ⊂ D হলে A × C ⊂ B × D, কারণ (x, y) ∈ A × C হলে x ∈ B এবং y ∈ D।

৭. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্ন দিয়ে শুরু।

দ্বিতীয়টা একটু আলাদা ধাঁচের।

শেষটায় সব বিধি কাজে লাগাও।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “কার্তেসীয় গুণজ ও সেট প্রক্রিয়ার প্রতিজ্ঞা” অংশ।