উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১
সেটের অন্তর, পূরক, সংযোগ ও ছেদ।
দুটি সেট হাতে থাকলে তাদের দিয়ে নতুন সেট বানানো যায়: একটা থেকে অন্যটা বাদ দিয়ে, দুটো মিলিয়ে, বা শুধু সাধারণ অংশটুকু রেখে। চারটি প্রক্রিয়া, আর প্রতিটির জন্য ভেনচিত্রে একটা করে অঞ্চল। অঞ্চল চিনতে পারলে প্রশ্নের অর্ধেক কাজ শেষ।
১. সেটের অন্তর
A ও B সেট হলে A \ B = {x : x ∈ A এবং x ∉ B}। একে পড়া হয় “A বাদ B”। A এর যে উপাদানগুলো B তেও আছে, সেগুলো A থেকে বর্জন করলে যা থাকে, সেটাই A \ B।
A \ B তৈরি হয় A এর উপাদান থেকেই, বাইরে থেকে কিছু ঢোকে না। তাই সবসময় A \ B ⊆ A।
উদাহরণ ৪: A = {০, ১, ২, ···, ৯}, B = {০, ২, ৪, ৬, ৮, ১০} হলে A থেকে জোড় সংখ্যাগুলো বাদ যায়, আর A \ B = {১, ৩, ৫, ৭, ৯}। ১০ যে B তে আছে, তাতে কিছু আসে যায় না: ১০ তো A তেই ছিল না।
আর দুই সেটে কিছুই সাধারণ না থাকলে বাদ দেওয়ার মতো কিছু নেই। A = {১, ২, ৩}, B = {a, b, c} হলে A \ B = A।
২. পূরক সেট
সার্বিক সেট U এবং A ⊆ U হলে U \ A কে বলে A এর পূরক সেট: U \ A = {x : x ∈ U এবং x ∉ A}। লেখা হয় A′ বা Aᶜ। অর্থাৎ পূরক মানে সার্বিক সেট থেকে অন্তর।
উদাহরণ ৫: U সকল পূর্ণসংখ্যার সেট আর A সকল ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট হলে A′ = {০, ১, ২, ৩, ···}। খেয়াল করো, ০ ঋণাত্মক নয়, তাই ০ পূরকে আছে।
A আর A′ মিলে পুরো U, অথচ তাদের একটাও সাধারণ উপাদান নেই: A ∪ A′ = U এবং A ∩ A′ = ∅। আবার পূরকের পূরক নিলে আগের সেটই ফেরে: (A′)′ = A।
৩. ভেনচিত্র, সংযোগ আর ছেদ
সেটের তথ্য ছবিতে দেখানোর এই চিত্রকে বলে ভেনচিত্র, উদ্ভাবক John Venn (১৮৩৪-১৯২৩) এর নামে। বইয়ের ছবিতে আয়তক্ষেত্রটা সার্বিক সেট U, তার ভেতরের বৃত্ত A, আর আয়তক্ষেত্রের ভেতরে কিন্তু বৃত্তের বাইরের অংশটা A′।
A ও B এর সংযোগ সেট A ∪ B = {x : x ∈ A অথবা x ∈ B}: দুই সেটের সব উপাদান নিয়ে গঠিত সেট। একটা উপাদান দুটোতে থাকলেও তাকে একবারই লেখা হয়।
A ও B এর ছেদ সেট A ∩ B = {x : x ∈ A এবং x ∈ B}: A ও B এর সব সাধারণ উপাদান নিয়ে গঠিত সেট।
উদাহরণ ৮: U = {০, ১, ···, ৯}, A = {x : x মৌলিক} = {২, ৩, ৫, ৭}, B = {x : x বিজোড়} = {১, ৩, ৫, ৭, ৯}। তাহলে A ∪ B = {১, ২, ৩, ৫, ৭, ৯}, A ∩ B = {৩, ৫, ৭}, A′ = {০, ১, ৪, ৬, ৮, ৯} আর B′ = {০, ২, ৪, ৬, ৮}।
একই উদাহরণে A′ ∪ B′ = {০, ১, ২, ৪, ৬, ৮, ৯}, যা ঠিক (A ∩ B)′; আর A′ ∩ B′ = {০, ৪, ৬, ৮}, যা ঠিক (A ∪ B)′। পরের নোটে এর নাম ডি মরগ্যানের সূত্র।
উদাহরণ ৮ এর দশটা সংখ্যা ভেনচিত্রে নিজের নিজের অঞ্চলে বসানো। একটা প্রক্রিয়া বেছে নাও, আর দেখো কোন অঞ্চল রাঙা হয় আর কোন সংখ্যাগুলো তালিকায় ওঠে।
কোন অঞ্চল, কোন সংখ্যা?
ভেনচিত্র হাতে আঁকা, মাপা নয়। অঞ্চলের আকার সদস্য সংখ্যা বোঝায় না।
প্রতিটি প্রক্রিয়ায় প্রতিটি সংখ্যা আলাদা করে যাচাই করো। একটা সংখ্যায় ট্যাপ করো, দেখো সে কোন কোন সেটে আছে আর কেন।
প্রতিটি সংখ্যা যাচাই করো
| x | A | B | A ∪ B | A ∩ B | A′ | B′ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| ০ | · | · | · | · | ✓ | ✓ |
| ১ | · | ✓ | ✓ | · | ✓ | · |
| ২ | ✓ | · | ✓ | · | · | ✓ |
| ৩ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | · | · |
| ৪ | · | · | · | · | ✓ | ✓ |
| ৫ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | · | · |
| ৬ | · | · | · | · | ✓ | ✓ |
| ৭ | ✓ | ✓ | ✓ | ✓ | · | · |
| ৮ | · | · | · | · | ✓ | ✓ |
| ৯ | · | ✓ | ✓ | · | ✓ | · |
দুই বৃত্তের ভেনচিত্রে অঞ্চল চারটি। শুধু A = A \ B = A ∩ B′। দুই বৃত্তের সাধারণ অংশ = A ∩ B। শুধু B = B \ A। আর দুই বৃত্তের বাইরে, আয়তক্ষেত্রের ভেতরে = A′ ∩ B′ = (A ∪ B)′। যেকোনো রাশি এই চার টুকরো জুড়ে বানানো যায়। নিচে রাশিটা পড়ো, ঠিক টুকরোগুলোয় ট্যাপ করো, তারপর মিলিয়ে দেখো।
সঠিক অঞ্চল বেছে নাও
৪. নিশ্ছেদ সেট
A ∩ B = ∅ হলে, অর্থাৎ কোনো সাধারণ উপাদান না থাকলে, A ও B কে বলে নিশ্ছেদ সেট। উদাহরণ ৯: ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট আর ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট নিশ্ছেদ। ভেনচিত্রে বৃত্ত দুটো একটুও ছোঁয় না।
যেমন A = {১, ২, ৩}, B = {৪, ৫, ৬} হলে A ∩ B = ∅, আর A ∪ B = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬} = {x : x ∈ N, x < ৭}।
উদাহরণ ১০: A = {x ∈ R : ০ ≤ x ≤ ২}, B = {x ∈ N : ০ ≤ x ≤ ২}। B তে শুধু স্বাভাবিক সংখ্যা, আর ০ স্বাভাবিক নয়, তাই B = {১, ২}। B এর প্রতিটি উপাদান A তে আছে, তাই B ⊆ A, A ∪ B = A আর A ∩ B = B = {১, ২}।
উদাহরণ ১১: A = {x ∈ R : ১ ≤ x ≤ ২}, B = {x ∈ R : ০ < x < ১}। B ঠিক ১ এর আগে থামে, আর A শুরু হয় ১ থেকে। জোড়া লাগালে A ∪ B = {x ∈ R : ০ < x ≤ ২}, অথচ A ∩ B = ∅: A ও B নিশ্ছেদ।
৫. গুণিতকের সেট আর ব্যবধির সেট
Aₙ = {n, ২n, ৩n, ···} হলো n এর গুণিতকের সেট। Aₘ ∩ Aₙ এ থাকে সেই সংখ্যা যা m আর n দুটোরই গুণিতক, অর্থাৎ m ও n এর ল.সা.গু. এর গুণিতক। তাই A₁ ∩ A₂ = A₂, A₃ ∩ A₆ = A₆, আর A₂ ∩ A₃ = A₆।
বাস্তব সংখ্যার ব্যবধি দিয়ে লেখা সেটে সংখ্যারেখায় দুটো অংশ পাশাপাশি এঁকে মেলাও। A = {x : ২ < x ≤ ৫}, B = {x : ১ ≤ x < ৩} হলে দুটো একসাথে আছে ২ এর পর থেকে ৩ এর আগ পর্যন্ত, তাই A ∩ B = {x ∈ R : ২ < x < ৩}। U = R ধরলে A′ = {x : x ≤ ২ অথবা x > ৫}: A এর বন্ধ প্রান্ত পূরকে খোলা হয়ে যায়, খোলা প্রান্ত বন্ধ।
এবার নিজে মেলাও। দুটো ব্যবধি একই সংখ্যারেখায়, নিচে একটা প্রক্রিয়া বেছে নিলে নীল বারে তার ফল আঁকা হয়। প্রতিটি প্রান্ত ভরা না ফাঁপা, খেয়াল করো।
খোলা প্রান্ত মানে সংখ্যাটি নেই
সংখ্যারেখা হাতে আঁকা, মাপা নয়। বার দুটো আলাদা উচ্চতায় শুধু দেখার সুবিধার জন্য।
৬. মিলিয়ে দেখো
প্রথমটা পূরকের সংজ্ঞা থেকে সরাসরি।
প্রশ্ন ১
A এর পূরক সেট A′ হলে A ∩ A′ কী?
দ্বিতীয়টায় সেট দুটো আগে তালিকায় লিখে নাও।
প্রশ্ন ২
U = {x ∈ Z : 0 < x ≤ 10} নিয়ে A = {x ∈ Z : 3 < x ≤ 10} ও B = {x ∈ Z : 0 < x < 7} বিবেচনা করো। কোন উক্তিগুলো সত্য?
i. A′ ⊆ B
ii. B′ ⊄ A
iii. A ⊄ B
শেষটায় সাধারণ উপাদান আছে কিনা আগে দেখো।
প্রশ্ন ৩
A = {1, 2, 3} এবং B = {4, 5, 6} হলে নিচের উক্তিগুলোর কোনগুলো সঠিক?
i. A ∪ B = {x : x ∈ N এবং x < 7}
ii. A ∩ B = ∅
iii. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।
আটটা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “সেটের অন্তর, পূরক, সংযোগ ও ছেদ” অংশ।