উচ্চতর গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

শক্তি সেট।

তিন উপাদানের একটা সেটের কয়টা উপসেট? গুনতে বসলে প্রায় সবাই একটা না একটা ফেলে দেয়, বেশিরভাগ সময় ∅ বা পুরো সেটটা। এই নোটের শেষে আর গুনতে হবে না: একটা সূত্রেই সব হিসাব।

১. উপসেটের সেট

A সেটের সকল উপসেটের সেটকে A এর শক্তি সেট বলে, লিখি P(A)। এর উপাদানগুলো নিজেরাই সেট। তাই B ∈ P(A) মানে B, A এর একটি উপসেট, অর্থাৎ B ⊆ A।

দুটো সদস্য সবসময় থাকে। ∅ ⊆ A, তাই ∅ সর্বদা P(A) এর উপাদান। A ⊆ A, তাই A নিজেও P(A) এর উপাদান। হাতে তালিকা করতে গেলে মানুষ ঠিক এই দুটোই ভোলে।

বইয়ের টেবিলটা ছোট সেট থেকে শুরু:
A = ∅ হলে P(A) = {∅}
A = {a} হলে P(A) = {∅, A}
A = {a, b} হলে P(A) = {∅, {a}, {b}, A}
A = {a, b, c} হলে P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, A}
এবার নিজে বানাও: উপাদান কয়টা হবে বেছে নাও, চিপ ছুঁয়ে একটা উপসেট বানাও, তারপর বাক্সে যোগ করো।

২. গোনার সূত্র

টেবিলে ০, ১, ২, ৩ উপাদানে উপসেট ১, ২, ৪, ৮। প্রতিটা নতুন উপাদান সংখ্যাটা দ্বিগুণ করে, কারণ আগের প্রতিটা উপসেট নতুন উপাদানটা নিয়ে এবং না নিয়ে দুভাবে হয়। তাই n(A) = n হলে A এর উপসেট সংখ্যা, অর্থাৎ P(A) এর উপাদান সংখ্যা, ২ⁿ।

প্রকৃত উপসেট হলো A নিজে ছাড়া বাকি সব উপসেট, আর বইয়ের মতে ∅ একটি প্রকৃত উপসেট। তাই n উপাদানের সেটের প্রকৃত উপসেট ২ⁿ − ১টি: তিন উপাদানে ৭, চার উপাদানে ১৫, {২, ৩} এর ৩, {১} এর ১। ওপরের বাক্সে পুরো সেটটা ধূসর হয়ে যায়, প্রকৃত উপসেটের গোনায় ধরা হয় না।

২n উপাদানের সেটের উপসেট ২^২n = (২^২)ⁿ = ৪ⁿ। অনুশীলনী ১.১ এর ১ নম্বর প্রশ্নের (i) উক্তিটা তাই সত্য।

সেট শর্ত দিয়ে লেখা থাকলে আগে তালিকা করে n বের করো, তারপর ২ⁿ। A = {x ∈ N : ৬ < ২x < ১৭} = {৪, ৫, ৬, ৭, ৮} বলে n = ৫, আর n(P(A)) = ২^৫ = ৩২। A = {x ∈ Z : ৯ ≤ x² ≤ ৩৬} = {±৩, ±৪, ±৫, ±৬} বলে n = ৮, আর ২^৮ = ২৫৬। নিচের যন্ত্রে মিলিয়ে নাও।

৩. দুই সেটের শক্তি সেট

উদাহরণ ৬: A = {a, b}, B = {b, c}। তাহলে P(A) ∪ P(B) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}}, মাত্র ছয়টি। আর A ∪ B = {a, b, c}, তাই P(A ∪ B) এ আটটি উপাদান। ছয়টিই আটটির ভেতরে আছে, তাই P(A) ∪ P(B) ⊆ P(A ∪ B)। কিন্তু সমান নয়, কারণ {a, c} আর {a, b, c} বাদ পড়ে। হাতল টেনে দেখো।

ছেদের বেলায় কথাটা অন্যরকম। একটি সেট A ও B দুটিরই উপসেট হলে সেটা A ∩ B এর উপসেট, তাই P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)। কাজ: A = {১, ২}, B = {২, ৫} হলে দুই পাশেই {∅, {২}}। আবার P(A) ∪ P(B) এ {১, ২, ৫} নেই, তাই P(A) ∪ P(B) ≠ P(A ∪ B)।

৪. দুটো ছোট উদাহরণ

P(∅) = {∅}, এতে একটি উপাদান। আর P({∅}) = {∅, {∅}}, এতে দুটি উপাদান। {∅} সেটে উপাদান একটাই, ∅, তাই সূত্রে ২^১ = ২।

কাজ: A = {১, ২, ৩}, B = {১, ২}, C = {২, ৩}, D = {১, ৩} হলে P(A) = {A, B, C, D, {১}, {২}, {৩}, ∅}। গুনে দেখো: এক উপাদানের ৩টি, দুই উপাদানের ৩টি, তার সঙ্গে ∅ আর A, মোট ৮টি।

৫. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, গোনার সূত্র কাজে লাগাও।

দ্বিতীয়টায় শর্ত থেকে আগে সেটটা লেখো।

শেষটায় ∅ আর পুরো সেটটার কথা মনে রেখো।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “শক্তি সেট” অংশ।