{১, ২, ৩, ৪} আর {১, ২, ২, ৩, ৪, ৪, ৪}: দুটো কি আলাদা সেট? আর যে সেটে কিছুই নেই, সে কি সব সেটের ভেতরে ঢুকে বসে আছে? এই নোটে দুটো প্রশ্নেরই উত্তর মিলবে, আর ⊆ ও ⊂ এর ফাঁদটাও ধরা পড়বে।
১. উপসেট
A ও B সেট হলে, A এর প্রত্যেক উপাদান B এরও উপাদান হলেই A কে B এর উপসেট বলে, আর লেখা হয় A ⊆ B। যেমন A = {২, ৩} সেটটি B = {২, ৩, ৫, ৭} এর উপসেট। একটা উপাদানও বাইরে পড়লে আর হবে না: {১, ৩} ⊈ {২, ৩, ৫, ৭}, কারণ ১ ∉ B। অনেক বই ও প্রশ্নে একই অর্থে A ⊄ B লেখা হয়।
উদাহরণ ১: A = {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}, B = {০} আর X = {x : x পূর্ণসংখ্যা}। তাহলে A ⊆ X এবং B ⊆ X, কিন্তু B ⊈ A, কারণ শূন্য ধনাত্মক নয়।
২. ফাঁকা সেট
যে সেটে কোনো উপাদান থাকে না তাকে ফাঁকা সেট বলে। একে ∅ অথবা { } লিখে প্রকাশ করা হয়, আর এর সদস্য সংখ্যা ০।
ফাঁকা সেট অনেক সময় শর্তের আড়ালে লুকিয়ে থাকে। {x : x বাস্তব সংখ্যা এবং x² < ০} ফাঁকা, কেননা কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক নয়। {x : x, ২০১৪ সাল পর্যন্ত ফুটবলের বিশ্বকাপ বিজয়ী আফ্রিকার দেশ} ও ফাঁকা, কারণ বইয়ের হিসাবে ২০১৪ সাল পর্যন্ত আফ্রিকার কোনো দেশ বিশ্বকাপ জেতেনি। আর {x ∈ N : x² + ৯x + ২০ = ০} এ (x + ৪)(x + ৫) = ০ থেকে x = −৪, −৫ আসে। এরা স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, তাই সেটটি ∅। ধাপে ধাপে দেখো।
ধাপে ধাপেপরে চাপো
ফাঁকা সেট চেনা
{x ∈ R : x² < 0} বর্গ কখনো ঋণাত্মক নয়, তাই কোনো বাস্তব সংখ্যাই শর্ত মানে না। কিছুই নেই, সেটটি ∅।
{x ∈ N : x² + 9x + 20 = 0} আগে উপাদান খোঁজো: (x + ৪)(x + ৫) = ০, তাই x = −৪ অথবা x = −৫।
−4, −5 ∉ N এবার শর্ত মিলাও: দুটোর কোনোটাই স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। কেউ টিকল না, সেটটি ∅, সদস্য সংখ্যা ০।
২০১৪ পর্যন্ত বিশ্বকাপজয়ী আফ্রিকার দেশ বইয়ের হিসাবে কেউ নেই, তাই ∅। তথ্যটা ২০১৪ সাল পর্যন্তই।
তিনটাতেই একই চাল: আগে উপাদান খোঁজো, তারপর শর্ত মিলাও। কেউ না টিকলে সেটটি ফাঁকা।
৩. সেট সমতা
A ও B এর উপাদানগুলো একই হলে দুটো একই সেট, A = B। কোনো সেটে একই উপাদান বার বার থাকলেও তা একবারই ধরা হয়: {১, ২, ৩, ৪} = {১, ২, ২, ৩, ৪, ৪, ৪}। তাই প্রথম প্রশ্নের উত্তর: আলাদা না, একই সেট।
সমতা প্রমাণের কাজের সূত্রটা এই: A = B হয় যদি ও কেবল যদি A ⊆ B এবং B ⊆ A হয়। দুদিকের উপসেট দেখালেই সমান প্রমাণ হয়ে যায়।
সমান সেট?উল্টে দেখো
সমান কি না
সমান?{১, ২, ৩, ৪} ও {১, ২, ২, ৩, ৪, ৪, ৪}
উত্তরসমান: পুনরাবৃত্তি একবার ধরা হয়।
সমান?{১, ২} ও {২, ১}
উত্তরসমান: ক্রম গুরুত্বহীন।
সমান?∅ ও {∅}
উত্তরসমান নয়: {∅} এ একটি উপাদান আছে।
সমান?{০} ও ∅
উত্তরসমান নয়: {০} এ উপাদান ০ আছে।
৪. প্রকৃত উপসেট
A ⊆ B হওয়ার সঙ্গে A ≠ B ও হলে A কে B এর প্রকৃত উপসেট বলে, লেখা হয় A ⊂ B। অর্থাৎ B তে অন্তত একটি উপাদান আছে যা A তে নেই। যেমন {১, ২} ⊂ {১, ২, ৩}।
যেকোনো সেট A এর জন্য A ⊆ A, কারণ x ∈ A হলে x ∈ A। কিন্তু A নিজের প্রকৃত উপসেট নয়, কারণ A ≠ A মিথ্যা।
ফাঁকা সেটও এই খেলায় আছে: যেকোনো সেট A এর জন্য ∅ ⊆ A। না হলে ∅ এ এমন একটি উপাদান থাকত যা A তে নেই, আর সেটা অসম্ভব। বইয়ের কথা: ∅ যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট। আরও দুটো কথা: A ⊆ ∅ হলে A = ∅ (কারণ ∅ ⊆ A তো আছেই), আর A ⊆ B এবং B ⊆ C হলে A ⊆ C।
চিহ্ন বসানোর নিয়ম: ∈ বসে উপাদান আর সেটের মাঝে, ⊆ বা ⊂ বসে দুটি সেটের মাঝে। P = {২, ৪} আর Q = {২, ৪, ৬} হলে P ⊂ Q এবং ২ ∈ Q, কিন্তু P ∈ Q নয়, কারণ Q এর উপাদান শুধু ২, ৪, ৬।
প্রকৃত উপসেট বাছতে আগে মূল সেটের তালিকা করো, তারপর এমন সেট খোঁজো যার সব উপাদান তাতে আছে অথচ যা পুরো সেট নয়। U = {৩, ৪, ৫, ৬} এ S = {x : x + ২ ≤ ৭} = {৩, ৪, ৫}। এখানে {৩, ৫} ⊂ S, কিন্তু {৩, ৪, ৫} হলো S নিজেই, আর {৩, ৬} এ ৬ ∉ S।
নিজে সেট বানাও। A আর B-তে উপাদান যোগ করো বা সরাও, আর দেখো কোন চিহ্ন সত্য থাকে।
সেটের খেলাসংখ্যায় ট্যাপ করো
⊆, ⊂ আর =
এবার আটটা জোড়া তিন বাক্সে ভাগ করো। প্রতিবার প্রথম সেটের সঙ্গে দ্বিতীয়টির সম্পর্ক দেখবে।
ভাগ করোজোড়া, তারপর বাক্স
⊆, ⊂ নাকি ⊈
একটা জোড়া ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো। প্রথমে দেখো প্রথম সেটের সব উপাদান দ্বিতীয়টিতে আছে কি না।
ঠিক। পরেরটা।
এখনো না। আগে দেখো প্রথম সেটের কোনো উপাদান দ্বিতীয়টিতে নেই কি না; থাকলে ⊈। না থাকলে দেখো দ্বিতীয়টিতে বাড়তি কিছু আছে কি না।
সব ঠিক জায়গায়। ১ ∉ {২, ৩, ৫, ৭} আর ৬ ∉ {৩, ৪, ৫} তাই দুটো ⊈; শূন্য ধনাত্মক নয়, তাই {০} ও ⊈। −১ ∈ Z অথচ ধনাত্মক নয়, তাই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা ⊂ Z। ∅ বইয়ের মতে যেকোনো সেটের প্রকৃত উপসেট। আর সমান দুটি সেট ⊆ ঠিকই, ⊂ নয়।
৫. মিলিয়ে দেখো
প্রথম প্রশ্নটা পরীক্ষার ধাঁচে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
A ∩ B = B এবং A ≠ B হলে A ও B এর মধ্যে কোন সম্পর্কটি সত্য?
A ∩ B = B মানে B এর প্রতিটি উপাদান A তেও আছে, অর্থাৎ B ⊆ A; উল্টোটি নয়।
ঠিক। A ∩ B = B থেকে B ⊆ A, আর A ≠ B বলে B ⊂ A (প্রকৃত উপসেট)।
B ⊆ A হলে A ∪ B = A হয়, B নয়, কারণ A ≠ B।
A ∩ B = B মানেই B এর সব উপাদান A তে আছে; তাই B ⊄ A মিথ্যা।
দ্বিতীয়টায় সংজ্ঞাগুলো মিলিয়ে নাও।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
A = {x : x∈ℕ, x² + 9x + 20 = 0} হলে n(A) = কত?
4টি উপাদান নেই; x² + 9x + 20 = (x + 4)(x + 5) এর মূল −4 ও −5, যারা স্বাভাবিক নয়, তাই n(A) = 0।
মূল দুটি −4 ও −5, কিন্তু x ∈ ℕ শর্তে কোনোটিই চলে না; n(A) = 0।
−4 বা −5 কোনোটিই স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, তাই A তে একটিও উপাদান নেই।
ঠিক। মূল −4 ও −5 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, তাই A = ∅ এবং n(A) = 0।
শেষটায় প্রতিটা উপাদান ধরে ধরে দেখো।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
P = {2, 4} এবং Q = {2, 4, 6} হলে নিচের উক্তিগুলোর কোনগুলো সঠিক?
i. P ∈ Q ii. P ⊂ Q iii. x ∈ P ⟹ x ∈ Q
i ভুল: Q এর উপাদান 2, 4, 6; P = {2, 4} সেটটি নিজে Q এর উপাদান নয়।
i ভুল: P ∈ Q নয়, P ⊂ Q; তাই সঠিক হলো ii ও iii।
ঠিক। P এর প্রতিটি উপাদান Q তে আছে এবং 6 বেশি, তাই P ⊂ Q; আর P ∈ Q মিথ্যা।
i ভুল: P সেটটি Q এর উপাদান নয়; শুধু ii ও iii সঠিক।
পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
সাতটা কার্ড
প্রশ্নA কে B এর উপসেট বলা হয় কখন?
উত্তরযখন A এর প্রত্যেক উপাদান B এর উপাদান; লেখা হয় A ⊆ B।
প্রশ্নফাঁকা সেটের সদস্য সংখ্যা কত এবং একে কীভাবে লেখা হয়?
উত্তর0; ∅ অথবা { }।
প্রশ্ন{1, 2, 3, 4} ও {1, 2, 2, 3, 4, 4, 4} সমান কি?
উত্তরহ্যাঁ; একই উপাদান বার বার থাকলেও একবার ধরা হয়।
প্রশ্নA কে B এর প্রকৃত উপসেট বলা হয় কখন?
উত্তরA ⊆ B এবং A ≠ B হলে; লেখা হয় A ⊂ B।
প্রশ্ন⊆ ও ⊂ এর পার্থক্য কী?
উত্তর⊆ এ দুটি সেট সমানও হতে পারে; ⊂ মানে উপসেট কিন্তু সমান নয়।
প্রশ্ন∅ ⊆ A কেন সত্য?
উত্তরতা না হলে ∅ এ এমন উপাদান থাকত যা A তে নেই; ∅ এ কোনো উপাদানই নেই।
প্রশ্নP = {2, 4}, Q = {2, 4, 6} হলে P ∈ Q নাকি P ⊂ Q?
উত্তরP ⊂ Q; Q এর উপাদান 2, 4, 6, P এদের একটি নয়।
সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “উপসেট, ফাঁকা সেট ও সেট সমতা” অংশ।