এক মিস্ত্রী বলল, “আমি শুধু তাদের ঘর বানাই যারা নিজের ঘর নিজে বানায় না।” তাহলে মিস্ত্রী নিজের ঘর বানাবে কি? যেভাবেই ভাবো, নিয়মটা ভাঙে। এই ধাঁধার পেছনে একটা প্রশ্ন লুকিয়ে আছে: কখন একটা সংগ্রহকে সেট বলা যায়? উত্তর নোটের শেষে, তার আগে সেট লেখার হাতিয়ারগুলো।
১. সেট আর তার উপাদান
বাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহকে বলে সেট। সুনির্ধারিত মানে যেকোনো বস্তু নিয়ে নিশ্চিত বলা যায়, সেটা সংগ্রহে আছে কি নেই।
যে বস্তুগুলো নিয়ে সেট গঠিত, তাদের প্রত্যেকটিকে ওই সেটের উপাদান বলে। x যদি A সেটের উপাদান হয়, লিখি x ∈ A। উপাদান না হলে লিখি x ∉ A।
২. সেট লেখার দুই পদ্ধতি
তালিকা পদ্ধতিতে উপাদানগুলো তালিকা করে { } এর মধ্যে লেখা হয়। ১০ থেকে বড় নয় এমন স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গের সেট হলো S = {১, ৪, ৯, ১৬, ২৫, ৩৬, ৪৯, ৬৪, ৮১, ১০০}।
সেট গঠন পদ্ধতিতে উপাদানের সাধারণ ধর্ম দিয়ে সেট লেখা হয়। একই S কে লেখা যায় S = {x : x, ১০০ থেকে বড় নয় এমন পূর্ণবর্গ সংখ্যা}।
তাহলে সেট প্রকাশের পদ্ধতি দুটি: তালিকা পদ্ধতি আর সেট গঠন পদ্ধতি। {১, ২, ৩, ৪} যেমন তালিকা পদ্ধতিতে লেখা। নিচে ছয়টা সেট নিজে ভাগ করো।
কোন পদ্ধতি?চিপ, তারপর বাক্স
তালিকা নাকি সেট গঠন
একটা চিপ ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো। তালিকা মানে উপাদানগুলো লিখে দেওয়া।
ঠিক। পরেরটা।
এখনো না। { } এর ভেতরে উপাদানগুলো সরাসরি লেখা, নাকি x আর একটা শর্ত?
সব ঠিক জায়গায়। উপাদান লিখে দিলে তালিকা পদ্ধতি, সাধারণ ধর্ম দিয়ে বললে সেট গঠন পদ্ধতি।
৩. শর্ত থেকে তালিকা
সেট গঠন থেকে তালিকায় যেতে শর্তটা প্রতিটি উপাদানের সাথে মিলিয়ে দেখতে হয়। U = {১, ২, ···, ১০} হলে {x ∈ U : ৫x > ৩৭} = {৮, ৯, ১০}, {x ∈ U : x + ৫ < ১২} = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}, {x ∈ U : ৬ < ২x < ১৭} = {৪, ৫, ৬, ৭, ৮}, আর {x ∈ U : x² < ৩৭} = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}। নিজে একটা শর্ত বেছে দেখো কোন টাইল জ্বলে।
শর্ত বেছে নাওশর্ত বদলাও
শর্ত থেকে তালিকা
টাইলগুলো হাতে আঁকা, মাপা নয়। যে টাইল জ্বলে সেটাই উপাদান।
অনুশীলনী ১.১ এর ৫ নম্বর প্রশ্নে U = {x : ১ ≤ x ≤ ২০, x ∈ Z}। এতে বিজোড় সংখ্যার সেট A = {১, ৩, ৫, ···, ১৯}, আর মৌলিক সংখ্যার সেট B = {২, ৩, ৫, ৭, ১১, ১৩, ১৭, ১৯}।
৪. সার্বিক সেট
সেটসংক্রান্ত কোনো আলোচনায় আলোচনাধীন সকল সেটের উপাদান যদি একটি নির্দিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে ওই সেটকে সার্বিক সেট বলে। একে লেখা হয় U দিয়ে।
যেমন S = {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং ৫x ≤ ১৬} = {১, ২, ৩}, T = {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং x² < ২০} = {১, ২, ৩, ৪}, আর P = {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং √x ≤ ২} = {১, ২, ৩, ৪}। এই তিনটার জন্য সার্বিক সেট হলো U = {x : x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}।
৫. সংখ্যার সেট: N, Z, Q, R
N = {১, ২, ৩, ···} হলো সকল স্বাভাবিক সংখ্যা বা ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট। Z = {···, −২, −১, ০, ১, ২, ৩, ···} হলো সকল পূর্ণসংখ্যার সেট।
Q = {x : x = p/q, যেখানে p যেকোনো পূর্ণসংখ্যা এবং q যেকোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা} হলো সকল মূলদ সংখ্যার সেট। q ধনাত্মক, তাই q কখনো ০ হয় না। এজন্য Q = {p/q : p, q ∈ Z} লেখা ভুল, কিন্তু শর্ত যোগ করে Q = {p/q : p, q ∈ Z এবং q ≠ ০} লেখা সঠিক। ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার সেট লেখা হয় R₊ (বা ℝ⁺)।
চারটা সেট একটার ভেতরে আরেকটা বাক্সের মতো বসানো। একটা সংখ্যা ফেলো, সেটা যতগুলো সেটের উপাদান ততগুলো বাক্স পেরিয়ে ভেতরে ঢুকবে।
সংখ্যা ফেলোসংখ্যা, তারপর আন্দাজ
কোন বাক্সে থামে?
বাক্সগুলো হাতে আঁকা, মাপা নয়। বাক্সের আকার সেটের আকার বোঝায় না: চারটাই অনন্ত।
R = {x : x বাস্তব সংখ্যা} হলো সকল বাস্তব সংখ্যার সেট। প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা মূলদ, প্রতিটি মূলদ বাস্তব। তাই N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R। ছোট থেকে বড় ক্রমে সাজাও।
ছোট থেকে বড়ক্রমে ট্যাপ করো
সংখ্যা সেটের শিকল
সবচেয়ে ছোট সেট দিয়ে শুরু করো।
হ্যাঁ। এরপর কোনটা?
এখনো না। −১ পূর্ণসংখ্যা কিন্তু স্বাভাবিক নয়, তাই Z বড়। ১/২ মূলদ কিন্তু পূর্ণসংখ্যা নয়, তাই Q আরও বড়। √২ বাস্তব কিন্তু মূলদ নয়, তাই R সবার বড়।
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R। প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা মূলদ, প্রতিটি মূলদ বাস্তব।
৬. কখন সংগ্রহ সেট নয়
সেট হতে হলে সংগ্রহটি সুনির্ধারিত হতে হয়। মিস্ত্রীর ধাঁধায় ফিরি। মিস্ত্রী নিজের ঘর বানালে সে নিজের নিয়ম ভাঙে, না বানালে নিয়ম অনুযায়ী তাকেই বানাতে হয়। একইভাবে A = {x : x ∉ A} এ A ∈ A ধরলে A ∉ A হয়, আবার A ∉ A ধরলে A ∈ A হয়। এমন বর্ণনা কোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহ দেয় না, তাই এটি সেট নয়। ফাঁকা সংগ্রহ কিন্তু সুনির্ধারিত, তাই সেট। সাতটা বর্ণনায় ট্যাপ করে দেখো।
সেট চিনে নাওচিপে ট্যাপ করো
সংগ্রহটি কি সুনির্ধারিত?
সেট। প্রতিটি সংখ্যা আছে কিনা নিশ্চিত বলা যায়।
সেট। এর উপাদান ১, ২, ৩।
সেট। এটি ফাঁকা সেট, কিন্তু সুনির্ধারিত।
সেট। ফাঁকা সেট; বইয়ে ২০১৪ সালের হিসাবে।
সেট নয়। মিস্ত্রী আছে ধরলেও বিরোধ, নেই ধরলেও বিরোধ।
সেট নয়। A ∈ A হলে A ∉ A, আবার উল্টো।
সেট। এটি Q, সুনির্ধারিত।
সাতটাই দেখা হলো। সুনির্ধারিত হলেই সেট, ফাঁকা হলেও। বিরোধ বাধালে সেট নয়।
৭. মিলিয়ে দেখো
প্রথম প্রশ্নটা একদম গোড়ার।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
স্বাভাবিক (N), পূর্ণ (Z), মূলদ (Q) ও বাস্তব (R) সংখ্যার সেটের মধ্যে কোন সম্পর্কটি সঠিক?
N সবচেয়ে ছোট, তাই শুরুতে থাকবে; Q ⊂ N নয়, কারণ 1/2 স্বাভাবিক সংখ্যা নয়। সঠিক ক্রম N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R।
R সবচেয়ে বড়, তাই শেষে থাকবে; R ⊂ Q নয়, কারণ √2 মূলদ নয়।
ঠিক। প্রতিটি স্বাভাবিক সংখ্যা পূর্ণসংখ্যা, প্রতিটি পূর্ণসংখ্যা মূলদ এবং প্রতিটি মূলদ সংখ্যা বাস্তব।
Q ⊂ N নয়, কারণ 1/2 মূলদ কিন্তু স্বাভাবিক সংখ্যা নয়; সঠিক ক্রম N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R।
দ্বিতীয়টায় চিহ্নটা খেয়াল করো।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
S = {x : x ∈ R এবং x(x − 2) = x² − 2x} সেটটি নিচের কোনটির সমান?
x(x − 2) গুণ করলে সব সময় x² − 2x হয়, তাই কোনো x শর্তে ব্যর্থ হয় না; সেটটি ফাঁকা নয়, R।
শর্তটি শুধু স্বাভাবিক সংখ্যায় নয়, সব বাস্তব সংখ্যায় খাটে, আর x ∈ R বলা আছে; তাই S = R।
−1/2 এর মতো অপূর্ণ বাস্তব সংখ্যাও শর্তটি মানে; তাই S পুরো R।
ঠিক। x(x − 2) = x² − 2x একটি অভেদ, প্রতিটি বাস্তব x এর জন্য সত্য; তাই S = R।
তৃতীয়টা শর্ত মিলিয়ে দেখার।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
নিচের উক্তিগুলোর কোনগুলো সঠিক?
i. কোনো সেটের সদস্য সংখ্যা 2n হলে এর উপসেটের সংখ্যা 4ⁿ ii. Q = {p/q : p, q ∈ Z এবং q ≠ 0} সকল মূলদ সংখ্যার সেট iii. a, b ∈ R হলে (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}
iii ও সঠিক: (a, b) হলো খোলা ব্যবধি {x ∈ R : a < x < b}; তাই তিনটিই সত্য।
ii ও সঠিক: q ≠ 0 শর্ত থাকায় p/q সব মূলদ সংখ্যা দেয়; তাই তিনটিই সত্য।
i ও সঠিক: 2n উপাদানে উপসেট 2²ⁿ = 4ⁿ; তাই তিনটিই সত্য।
ঠিক। i: 2²ⁿ = 4ⁿ; ii: q ≠ 0 থাকায় এটি মূলদ সংখ্যার সেট; iii: খোলা ব্যবধির সংজ্ঞা।
পুরো নোটটা ছয়টা কার্ডে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
ছয়টা কার্ড
প্রশ্নবই অনুযায়ী সেট কাকে বলে?
উত্তরবাস্তব বা চিন্তা জগতের বস্তুর যেকোনো সুনির্ধারিত সংগ্রহ।
প্রশ্ন{1, 4, 9, 16, 25} এভাবে উপাদান লিখে সেট প্রকাশের পদ্ধতির নাম কী?
উত্তরতালিকা পদ্ধতি
প্রশ্ন{x : x, 100 থেকে বড় নয় এমন পূর্ণবর্গ সংখ্যা} এভাবে লেখার পদ্ধতির নাম কী?
উত্তরসেট গঠন পদ্ধতি
প্রশ্নআলোচনাধীন সকল সেটের উপাদান যে নির্দিষ্ট সেটের অন্তর্ভুক্ত, তাকে কী বলে?
উত্তরসার্বিক সেট (U)
প্রশ্নস্বাভাবিক, পূর্ণ, মূলদ ও বাস্তব সংখ্যার সেটের সম্পর্ক: N ⊂ … ⊂ Q ⊂ R
উত্তরZ
প্রশ্নA = {x : x ∉ A} কে সেট বলা যায় না কেন?
উত্তরA ∈ A ধরলে A ∉ A হয় এবং উল্টো; সংগ্রহটি সুনির্ধারিত নয়।
সূত্র: উচ্চতর গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “সেট ও ফাংশন”, “সেট ও সেট প্রকাশের পদ্ধতি” অংশ।