গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

আবৃত্ত দশমিকের গুণ ও ভাগ।

০.৩̇ আর ০.৬̇ দুটোই অন্তহীন দশমিক। তবু ০.৩̇ ÷ ০.৬̇ = ০.৫, দশমিকের পর একটাই অঙ্ক, তারপর থেমে যায়। দুটো অন্তহীন সংখ্যার ভাগফল থেমে যায় কীভাবে? কারণ হিসাবটা আমরা দশমিকে করি না, করি ভগ্নাংশে।

১. আগে ভগ্নাংশ, পরে দশমিক

আবৃত্ত দশমিক গুণ বা ভাগ করার নিয়ম একটাই। আগে প্রতিটা সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশ বানাও, তারপর ভগ্নাংশ দিয়েই গুণ বা ভাগ করো, শেষে ফলটাকে আবার দশমিকে লেখো। সেটাই গুণফল বা ভাগফল। একটা সসীম আর একটা আবৃত্ত দশমিকের মধ্যে গুণ-ভাগেও এই নিয়ম। অঙ্ক ধরে ধরে গুণ করা ভরসার না, ভগ্নাংশের পথই নিরাপদ।

২. গুণের উদাহরণ

উদাহরণ ১৪। ৪.৩̇ = (৪৩ − ৪)/৯ = ১৩/৩ এবং ৫.৭̇ = (৫৭ − ৫)/৯ = ৫২/৯।
৪.৩̇ × ৫.৭̇ = ১৩/৩ × ৫২/৯ = ৬৭৬/২৭ = ২৫.০̇৩৭̇।

উদাহরণ ১৫। ০.২৮̇ = (২৮ − ২)/৯০ = ২৬/৯০ = ১৩/৪৫ এবং ৪২.১̇৮̇ = (৪২১৮ − ৪২)/৯৯ = ৪১৭৬/৯৯ = ৪৬৪/১১।
০.২৮̇ × ৪২.১̇৮̇ = ১৩/৪৫ × ৪৬৪/১১ = ৬০৩২/৪৯৫ = ১২.১৮̇৫̇।

উদাহরণ ১৬। তিনটা সংখ্যা: ২.৫ = ৫/২, ৪.৩৫̇ = ৩৯২/৯০, ১.২৩̇৪̇ = ৬১১/৪৯৫।
২.৫ × ৪.৩৫̇ × ১.২৩̇৪̇ = ১১৯৭৫৬/৮৯১০ = ১৩.৪৪০৬২৮… (আসন্ন)।

৩. ভাগের উদাহরণ

উদাহরণ ১৭। ৭.৩̇২̇ = (৭৩২ − ৭)/৯৯ = ৭২৫/৯৯ এবং ০.২৭̇ = (২৭ − ২)/৯০ = ২৫/৯০ = ৫/১৮। ভাগ মানে ভাজককে উল্টে গুণ।
৭.৩̇২̇ ÷ ০.২৭̇ = ৭২৫/৯৯ × ১৮/৫ = ২৯০/১১ = ২৬.৩̇৬̇।

উদাহরণ ১৮। ২.২̇৭১৮̇ = (২২৭১৮ − ২)/৯৯৯৯ = ২২৭১৬/৯৯৯৯ এবং ১.৯১̇২̇ = (১৯১২ − ১৯)/৯৯০ = ১৮৯৩/৯৯০।
ভাগফল = ২২৭১৬/৯৯৯৯ × ৯৯০/১৮৯৩ = ১২০/১০১ = ১.১̇৮৮১̇।

উদাহরণ ১৯। ৯.৪৫ = ৯৪৫/১০০ এবং ২.৮৬̇৩̇ = (২৮৬৩ − ২৮)/৯৯০ = ২৮৩৫/৯৯০।
৯.৪৫ ÷ ২.৮৬̇৩̇ = ৯৪৫/১০০ × ৯৯০/২৮৩৫ = ৩৩/১০ = ৩.৩।

এবার নিজের সংখ্যায় চালাও। ঘরে পুরো দশমিকটা লেখো, আর বলো শেষ কয়টা অঙ্ক আবৃত্ত। যেমন ০.২৮̇ এর জন্য লেখো ০.২৮, শেষ ১টি অঙ্ক। ওপরের উদাহরণগুলোও তালিকা থেকে বেছে নেওয়া যায়।

৪. ফল আবৃত্ত না-ও হতে পারে

ফল থামবে না ঘুরবে, তা বলে দেয় সরল ভগ্নাংশের হর। হরটা মৌলিক উৎপাদকে ভাঙো: কেবল ২ আর ৫ থাকলে দশমিক থামে।

আবৃত্ত দশমিকের গুণফল বা ভাগফল আবৃত্ত দশমিক নাও হতে পারে। উদাহরণ ১৯ এর ফল ৩.৩ থেমে গেছে, আবার কোনো গুণফল শুধু ২ হতে পারে। পাঁচটা হিসাবের ফল আগে অনুমান করো, তারপর চিপে ট্যাপ করে মিলিয়ে নাও।

হিসাবগুলো একবার পুরো দেখো।
০.৩̇ × ০.৬̇ = ১/৩ × ২/৩ = ২/৯ = ০.২̇।
০.৩̇ × ০.৩̇ = ১/৯ = ০.১̇।
২.৪̇ × ০.৮̇১̇ = ২২/৯ × ৮১/৯৯ = ২।

০.২̇ × ০.১৬̇ = ২/৯ × ১৫/৯০ = ২/৯ × ১/৬ = ১/২৭ = ০.০̇৩৭̇।

ভাগের তিনটা:
০.৩̇ ÷ ০.৬̇ = ১/৩ ÷ ২/৩ = ১/২ = ০.৫।
০.৩৫̇ ÷ ১.৭̇ = ৩২/৯০ ÷ ১৬/৯ = ০.২।
১.১̇৮৫̇ ÷ ০.২̇৪̇ = ৪.৮̇।

৫. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন। প্রথমটা দিয়ে শুরু।

দ্বিতীয়টাতেও হিসাব ভগ্নাংশে করো।

শেষ প্রশ্নটা ফল আবৃত্ত কিনা তা নিয়ে।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “আবৃত্ত দশমিকের গুণ ও ভাগ” অংশ।