গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

অসীম দশমিক ভগ্নাংশ ও আসন্ন মান।

√২ এর দশমিক লিখতে বসলে কখন থামবে? কখনোই না। তবু কত দশমিক স্থান পর্যন্ত রাখবে আর শেষ অঙ্কটা কী হবে, তার একটা পরিষ্কার নিয়ম আছে। পরীক্ষার প্রশ্ন সেই নিয়ম ধরেই আসে।

১. যে দশমিক থামে না, ঘোরেও না

কিছু দশমিক ভগ্নাংশে দশমিক বিন্দুর ডানের অঙ্কের শেষ নেই, আবার এক বা একাধিক অঙ্ক বারবার পর্যায়ক্রমে আসেও না। এদের বলে অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। যেমন ৫.১৩৪২৪৮৫১৩৯৪২৩০১…। আবৃত্ত দশমিকেও শেষ নেই, কিন্তু সেখানে অঙ্কগুলো ঘুরে ঘুরে আসে; এখানে আসে না।

ভাগ পদ্ধতিতে √২ বের করো। প্রতিবার এ পর্যন্ত পাওয়া মূলকে দ্বিগুণ করো, তার ডানে একটা অঙ্ক বসাও, আর দুটো করে শূন্য নামাও। পাবে ১, ২৪ × ৪ = ৯৬, ২৮১ × ১ = ২৮১, ২৮২৪ × ৪ = ১১২৯৬, এভাবে চলতেই থাকবে। প্রক্রিয়া অনন্তকাল চললেও শেষ হবে না, তাই √২ = ১.৪১৪২১৩৫… একটি অসীম দশমিক ভগ্নাংশ। এক ধাপ করে ট্যাপ করে চালিয়ে দেখো।

√৫ = ২.২৩৬০৬৭৯… সসীমও নয়, আবৃত্তও নয়। এটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক, তাই অমূলদ। একইভাবে √২ × √৫ = √১০ একটি অসীম দশমিক। তবে √ চিহ্ন দেখলেই অসীম ধরে নিয়ো না। আগে সরল করো, তারপর দেখো কেমন দশমিক হলো।

কোনো অমূলদ সংখ্যার মান যত দশমিক স্থান পর্যন্ত ইচ্ছা নির্ণয় করা যায়। প্রশ্নই বলে দেয় কত স্থান পর্যন্ত চাই।

২. মান আর আসন্ন মান এক জিনিস না

যত দশমিক স্থান পর্যন্ত মান চাওয়া হয়েছে, তত স্থান পর্যন্ত অঙ্কগুলো হুবহু লিখলেই সেটা মান। আসন্ন মানে পরের স্থানের অঙ্কটা দেখতে হয়। সেটা ৫, ৬, ৭, ৮ বা ৯ হলে শেষ স্থানের অঙ্কের সাথে ১ যোগ করো। ০, ১, ২, ৩ বা ৪ হলে অঙ্ক যেমন ছিল তেমনই থাকবে, তখন মান ও আসন্ন মান একই। তাই যত স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান চাই, তার চেয়ে এক স্থান বেশি বের করে নাও।

৫.৪৩২৫৮৯৩… এর ৪ দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ৫.৪৩২৫। পরের অঙ্ক ৮, তাই আসন্ন মান ৫.৪৩২৬। ২ স্থান পর্যন্ত পরের অঙ্ক ২, তাই দুটিই ৫.৪৩।

উদাহরণ ২১ এর সংখ্যা ৪.৪৬২৩৮৪৫…। হাতল টেনে ১ থেকে ৫ স্থান পর্যন্ত মান আর আসন্ন মান মিলিয়ে দেখো। ঘেরা অঙ্কটাই ঠিক করে দেয় শেষ অঙ্ক বদলাবে কি না।

৩. বর্গমূলের আসন্ন মান

ভাগ পদ্ধতিটা একটা যন্ত্রের মতো চলে। সংখ্যা বাছো, প্রতি চাপে একটা নতুন অঙ্ক আসবে, আর সাথে মান ও আসন্ন মান।

উদাহরণ ২০: ভাগ পদ্ধতিতে √১৩ = ৩.৬০৫৫৫১…। ৩ দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান চাই, তাই ৪ স্থান পর্যন্ত দেখি: ৩.৬০৫৫। চতুর্থ অঙ্ক ৫, তাই ৩.৬০৫ এর শেষ ৫ এর সাথে ১ যোগ, আসন্ন মান ৩.৬০৬। ধাপগুলো ট্যাপ করে দেখো, মাঝে একবার অঙ্কটা ০।

এবার √২৯ = ৫.৩৮৫১…। ২ দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ৫.৩৮। পরের অঙ্ক ৫, তাই আসন্ন মান ৫.৩৯।

অনুশীলনীর প্রশ্নে চার দশমিক স্থান পর্যন্ত বর্গমূল বের করে তিন স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান লিখতে বলা হয়। নিয়ম একই: চার স্থান বের করো, চতুর্থ অঙ্ক দেখে তিন স্থানে গোল করো। আবৃত্ত দশমিকের বর্গমূলে আগে অঙ্কগুলো বিস্তারিত লিখে নাও, যেমন ৫.১৩̇০২̇ = ৫.১৩০২৩০২…।

উত্তরমালার ফল: √১২ = ৩.৪৬৪১, আসন্ন মান ৩.৪৬৪। √০.২̇৫̇ = ০.৫০২৫, আসন্ন মান ০.৫০৩। √১.৩̇৪̇ = ১.১৫৯০, আসন্ন মান ১.১৫৯: উত্তরমালায় ১.১৬০ ছাপা আছে, কিন্তু পরের অঙ্ক ০ হওয়ায় নিয়ম মতে ১.১৫৯। √৫.১৩̇০২̇ = ২.২৬৫০, আসন্ন মান ২.২৬৫।

৪. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্নটা দিয়ে শুরু করো।

দ্বিতীয়টায় পরের অঙ্কটা খেয়াল করো।

তৃতীয়টা শেষ প্রশ্ন।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “অসীম দশমিক ভগ্নাংশ ও আসন্ন মান” অংশ।