গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

সদৃশ আবৃত্ত দশমিক এবং যোগ ও বিয়োগ।

৩.৮̇৯̇ আর ২.১৭̇৮̇ যোগ করতে গেলেই প্রথম ঝামেলা: দুটোর অঙ্ক ঘোরে আলাদা তালে। একটার আবৃত্তি শুরু দশমিকের ঠিক পরে, অন্যটার এক ঘর পরে। তাই যোগের আগে দুটোকে একই মাপে কাটতে হয়, আর শেষে লাগে ছোট্ট একটা সংশোধন। এই নোট সেই দুটো কাজের।

১. সদৃশ আর অসদৃশ

দুই বা ততোধিক আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশের অনাবৃত্ত অংশে সমান সংখ্যক অঙ্ক আর আবৃত্ত অংশেও সমান সংখ্যক অঙ্ক থাকলে এদের সদৃশ আবৃত্ত দশমিক বলে। তা না হলে এরা অসদৃশ (বিসদৃশ)। ১২.৪̇৫̇ ও ৬.৩̇২̇ সদৃশ: দুটোতেই আবৃত্তির আগে কোনো দশমিক অঙ্ক নেই, আর আবৃত্ত অঙ্ক দুটি করে। ৯.৪৫৩̇ ও ১২৫.৮৯৭̇ ও সদৃশ: অনাবৃত্ত দশমিক অঙ্ক দুটি করে, আবৃত্ত অঙ্ক একটি করে। পূর্ণ অংশ কত বড়, তা গোনায় আসে না।

অসদৃশকে সদৃশ বানানো যায় একটা সহজ সত্যের জোরে: আবৃত্ত অংশের অঙ্কগুলো বারবার লিখলে মান বদলায় না। ৬.৪৫৩̇৭̇ কে ৬.৪৫৩৭̇৩̇ বা ৬.৪৫৩̇৭৩৭̇ লিখলেও সবই ৬.৪৫৩৭৩৭৩৭…, যার মান ৬৩৮৯২/৯৯০০। অনাবৃত্ত অংশের পরে যে কোনো অঙ্ক থেকে আবৃত্ত অংশ শুরু ধরা যায়।

২. সদৃশ করার দুই ধাপ

নিয়মে যাওয়ার আগে নিজে নাড়িয়ে দেখো। বিন্দু দুটো ডানে সরাও বা আবৃত্ত অংশ লম্বা করো। লেখাটা বদলাবে, ভগ্নাংশটা একই থাকবে।

এবার নিয়মটা, দুই ধাপে।

ধাপ ১। যে সংখ্যার অনাবৃত্ত অংশে অঙ্ক সবচেয়ে বেশি, সেটা খুঁজে নাও। প্রত্যেকটা সংখ্যার অনাবৃত্ত অংশ তত অঙ্কের করো। ছোটগুলো আবৃত্ত অঙ্ক আরেকবার লিখে অনাবৃত্ত অংশ লম্বা করে।

ধাপ ২। প্রত্যেকটার আবৃত্ত অংশে কয়টা অঙ্ক, গুনে তাদের ল.সা.গু. নাও। প্রত্যেকটার আবৃত্ত অংশ তত অঙ্কের করো। অনাবৃত্তে সবচেয়ে বড়টা, আবৃত্তে ল.সা.গু.: দুই জায়গায় দুই নিয়ম, গুলিয়ে ফেলো না।

উদাহরণ ৮। ৫.৬̇, ৭.৩৪̇৫̇ ও ১০.৭৮৪̇২৩̇ কে সদৃশ করো। অনাবৃত্ত দশমিক অঙ্ক ০, ১ ও ২টি, তাই সবার হবে ২টি। আবৃত্ত অঙ্ক ১, ২ ও ৩টি, ল.সা.গু. ৬, তাই সবার হবে ৬টি।
৫.৬̇ = ৫.৬৬৬̇৬৬৬৬৬̇
৭.৩৪̇৫̇ = ৭.৩৪৫̇৪৫৪৫৪̇
১০.৭৮৪̇২৩̇ = ১০.৭৮৪̇২৩৪২৩̇

উদাহরণ ৯। সসীম দশমিক থাকলে তার শেষে শূন্য বসিয়ে আবৃত্ত অংশ বানাও। ১.৭৬৪৩, ৩.২̇৪̇ ও ২.৭৮৩̇৪৬̇ এর মধ্যে অনাবৃত্ত দশমিক অঙ্ক সবচেয়ে বেশি ১.৭৬৪৩ এ, ৪টি। আবৃত্ত অঙ্ক ২ ও ৩টি, ল.সা.গু. ৬।
১.৭৬৪৩ = ১.৭৬৪৩০̇০০০০০̇
৩.২̇৪̇ = ৩.২৪২৪২̇৪২৪২৪̇
২.৭৮৩̇৪৬̇ = ২.৭৮৩৪৬̇৩৪৬৩৪̇

এবার নিজের সংখ্যায় চালাও। ঘরে পুরো দশমিকটা লেখো, আর বলো শেষ কয়টা অঙ্ক আবৃত্ত। যেমন ৭.৩৪̇৫̇ এর জন্য লেখো ৭.৩৪৫, শেষ ২টি অঙ্ক। তালিকায় বইয়ের উদাহরণ আর অনুশীলনীর দুটো জোড়াও আছে। তোমার সংখ্যা কোথাও যাচ্ছে না।

৩. যোগ: হাতের অঙ্ক ঘুরে আসে

সদৃশ করার পর সসীম দশমিকের মতোই কলাম ধরে যোগ করো। কাজ বাকি থাকে একটাই। আবৃত্ত অংশের সবচেয়ে বামের অঙ্কগুলো যোগ করলে হাতে যা থাকে, সেটা যোগফলের সবচেয়ে ডানের অঙ্কের সাথে যোগ করো। তবেই প্রকৃত যোগফল।

কেন শেষ অঙ্কে? কারণ আবৃত্ত অংশ লাইনে থামে না, লাইনের ডানে একই অঙ্ক আবার শুরু হয়। একটা উদাহরণ বাছো, লাইনের পরে একটা একটা করে অঙ্ক খোলো, আর দেখো হাতের অঙ্ক কোথা থেকে আসে।

উদাহরণ ১০। ৩.৮̇৯̇ + ২.১৭̇৮̇ + ৫.৮৯৭̇৯৮̇ এর যোগফল বের করো। হিসাবটা ধাপে ধাপে চলবে, আবৃত্ত অংশ যেখানে শেষ সেই লাইনের ডানের অঙ্কসহ।

উদাহরণ ১১। ৮.৯৪̇৭৮̇ + ২.৩৪৬ + ৪.৭̇১̇। সসীম ২.৩৪৬ এর অনাবৃত্ত অঙ্ক ৩টি, সেটাই সবচেয়ে বেশি; তার আবৃত্ত অংশ শূন্য। আবৃত্ত অংশ ৬ অঙ্কের করি।
৮.৯৪৭৮̇৪৭৮৪৭̇ + ২.৩৪৬০̇০০০০০̇ + ৪.৭১৭১̇৭১৭১৭̇ = ১৬.০১১০১৯৫৬৪
লাইনের ডান থেকে হাতে আসে ১: ১৬.০১১০১৯৫৬৪ + ১ (শেষ ঘরে) = ১৬.০১১০১৯৫৬৫
ফল ১৬.০১১০̇১৯৫৬৫̇।

যোগফলটাও একটা আবৃত্ত দশমিক, আর তার মাপ আগে থেকেই জানা। অনাবৃত্ত অঙ্ক হবে সবচেয়ে লম্বা অনাবৃত্ত অংশের সমান, আবৃত্ত অঙ্ক হবে আবৃত্ত অঙ্ক সংখ্যাগুলোর ল.সা.গু.। বিয়োগফলেও একই কথা। উদাহরণ ১১ এর ফলে তাই অনাবৃত্ত ৩টি, আবৃত্ত ৬টি।

৪. বিয়োগ: ধার করা ১

বিয়োগেও আগে সদৃশ করো, তারপর সসীমের মতো বিয়োগ। এবার সংশোধন উল্টো দিকে। পৌনঃপুনিক বিন্দু যেখান থেকে শুরু, সেখান থেকে বিয়োজ্যের অঙ্ক বিয়োজকের অঙ্কের চেয়ে ছোট হলে, মানে লাইনের ডানে হাতে ১ নিতে হলে, বিয়োগফলের সবচেয়ে ডানের অঙ্ক থেকে ১ বিয়োগ করো।

উদাহরণ ১২। ৮.২৪̇৩̇ − ৫.২৪৬̇৭৩̇। অনাবৃত্ত ২টি; আবৃত্ত ২ ও ৩ এর ল.সা.গু. ৬।
৮.২৪৩̇৪৩৪৩৪̇ − ৫.২৪৬̇৭৩৬৭৩̇ = ২.৯৯৬৬৯৭৬১
আবৃত্ত অংশ শুরু ৩ আর ৬ দিয়ে; ৩ থেকে ৬ বিয়োগ হয় না, তাই শেষ অঙ্ক থেকে ১ বাদ: ২.৯৯৬৬৯৭৬১ − ১ (শেষ ঘরে) = ২.৯৯৬৬৯৭৬০
ফল ২.৯৯৬̇৬৯৭৬০̇।

উদাহরণ ১৩। ২৪.৪৫৬̇৪৫̇ − ১৬.৪̇৩৭̇। দ্বিতীয়টাকে ২টি অনাবৃত্ত অঙ্কে আনি: ১৬.৪৩৭̇৪৩̇। আবৃত্ত অংশ দুটোরই ৩ অঙ্কের।
২৪.৪৫৬̇৪৫̇ − ১৬.৪৩৭̇৪৩̇ = ৮.০১৯০২
৬৪৫ থেকে ৭৪৩ বিয়োগ হয় না, তাই শেষ অঙ্ক থেকে ১ বাদ: ৮.০১৯০২ − ১ (শেষ ঘরে) = ৮.০১৯০১
ফল ৮.০১৯̇০১̇।

যোগে হাতের অঙ্ক যোগ, বিয়োগে ১ বাদ, আর কখনো কিছুই না। পাঁচটা হিসাব। প্রতিটায় আগে নিজে বলো সংশোধন কী, তারপর ট্যাপ করে মিলিয়ে নাও।

৫. ভগ্নাংশের পথ

আরেকটা পথ আছে: প্রতিটা সংখ্যাকে সাধারণ ভগ্নাংশ বানাও, ভগ্নাংশে যোগ বা বিয়োগ করো, তারপর ফলটা আবার দশমিকে লেখো। পথটা ঠিক, শুধু সময় বেশি লাগে।
০.১̇ + ০.০১̇ = ১/৯ + ১/৯০ = ১১/৯০
০.২̇ + ০.৩̇ = ২/৯ + ৩/৯ = ৫/৯ = ০.৫̇, একটি মূলদ সংখ্যা
০.৭̇ + ০.১৫̇ = ৭/৯ + ১৪/৯০ = ৮৪/৯০ = ০.৯৩̇

৬. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন। প্রথমটা যোগের সংশোধন নিয়ে।

দ্বিতীয়টায় বিয়োগের শেষ ধাপ।

শেষটা পুরো একটা যোগ।

কার্ডগুলো উল্টে নিজেকে ঝালিয়ে নাও।

সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “সদৃশ আবৃত্ত দশমিক এবং যোগ ও বিয়োগ” অংশ।