গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিবর্তন।

০.৩৩৩… এর ৩ কখনো শেষ হয় না, অথচ তার মান ঠিক ১/৩। অসীম লেজওয়ালা সংখ্যাকে একটা সসীম ভগ্নাংশে বেঁধে ফেলার কৌশল একটা বিয়োগ, আর তার একটা শর্টকাট নিয়মও আছে। এই নিয়ম হাতে এলে পরের দুই পাঠের যোগ-বিয়োগ-গুণ-ভাগ সহজ হয়ে যায়।

১. গুণ করো, বিয়োগ করো

সবচেয়ে ছোট উদাহরণ দিয়ে শুরু (উদাহরণ ৪)। ০.৩̇ কে ১০ দিয়ে গুণ করলে পাই ৩.৩৩৩…, আর ১ দিয়ে গুণ করলে ০.৩৩৩…। দুটোর লেজ হুবহু এক, তাই বিয়োগ করলে লেজ উড়ে যায়।
০.৩̇ × ১০ = ৩.৩৩৩…
০.৩̇ × ১ = ০.৩৩৩…
বিয়োগ করে: ০.৩̇ × ৯ = ৩, তাই ০.৩̇ = ৩/৯ = ১/৩।

দুটো অঙ্ক পালা করে এলে লেজ মেলাতে ১০ নয়, ১০০ লাগে।
০.২̇৪̇ × ১০০ = ২৪.২৪২৪…
০.২̇৪̇ × ১ = ০.২৪২৪…
বিয়োগ করে: ০.২̇৪̇ × ৯৯ = ২৪, তাই ০.২̇৪̇ = ২৪/৯৯ = ৮/৩৩।

এবার অনাবৃত্ত অঙ্কসহ ৪২.৩৪৭̇৮̇ = ৪২.৩৪৭৮৭৮৭৮…। এখানে ৩৪ একবারই আসে, ৭৮ ঘুরে ঘুরে আসে।
৪২.৩৪৭̇৮̇ × ১০০০০ = ৪২৩৪৭৮.৭৮৭৮…
৪২.৩৪৭̇৮̇ × ১০০ = ৪২৩৪.৭৮৭৮…
বিয়োগ করে: ৪২.৩৪৭̇৮̇ × ৯৯০০ = ৪১৯২৪৪
তাই ৪২.৩৪৭̇৮̇ = ৪১৯২৪৪/৯৯০০ = ৩৪৯৩৭/৮২৫ = ৪২ ২৮৭/৮২৫।

গুণক দুটো যেকোনো হলে চলে না। নিজে বেছে দেখো কোন দুটোয় লেজ হুবহু মেলে, আর বিয়োগে কাটাকাটি হয়।

১০০০০ আর ১০০ কেন? দশমিক বিন্দুর পর লেখা অঙ্ক চারটি (৩৪৭৮), তাই ১ এর ডানে চারটি শূন্য বসিয়ে প্রথমে গুণ করি। অনাবৃত্ত অঙ্ক দুটি (৩৪), তাই ১ এর ডানে দুটি শূন্য বসিয়ে আবার গুণ করি। প্রথম গুণফল থেকে দ্বিতীয়টি বিয়োগ করলে দুই লেজ কাটাকাটি হয়, ডানপক্ষে থাকে একটা পূর্ণসংখ্যা। ধাপগুলো এলোমেলো আছে, ক্রমে সাজাও।

২. নিয়মটা একবারে

প্রতিবার দুটো গুণ করতে হয় না, নিয়ম আছে। লব = দশমিক বিন্দু আর আবৃত্তির বিন্দু বাদ দিয়ে যে পূর্ণসংখ্যা পাও, তা থেকে অনাবৃত্ত অংশ দিয়ে গঠিত পূর্ণসংখ্যার বিয়োগফল। অনাবৃত্ত অংশ বলতে পূর্ণ অংশ আর আবৃত্তির আগের দশমিক অঙ্কগুলো মিলিয়ে।

হর = দশমিক বিন্দুর পরে আবৃত্ত অংশে যতগুলো অঙ্ক ততগুলো নয় (৯), তার ডানে অনাবৃত্ত অংশে যতগুলো অঙ্ক ততগুলো শূন্য (০) দিয়ে গঠিত সংখ্যা।

সরল করার আগে শুধু হরটা চেনার অভ্যাস করো। আটটা দশমিক, আটটা হর। প্রথমে আবৃত্ত অঙ্ক গোনো, তারপর আবৃত্তির আগের দশমিক অঙ্ক।

উদাহরণ ৫। ৫.২৩৪̇৫৭̇ এর আবৃত্ত অংশ ৪৫৭ (তিনটি অঙ্ক), অনাবৃত্ত অংশ ৫.২৩।
৫.২৩৪̇৫৭̇ = (৫২৩৪৫৭ − ৫২৩)/৯৯৯০০ = ৫২২৯৩৪/৯৯৯০০ = ২৬১৪৬৭/৪৯৯৫০ = ৫ ১১৭১৭/৪৯৯৫০।

উদাহরণ ৬। ৪৫.২৩̇৪৬̇ এ আবৃত্ত অংশ ৩৪৬, অনাবৃত্ত অংশ ৪৫.২।
৪৫.২৩̇৪৬̇ = (৪৫২৩৪৬ − ৪৫২)/৯৯৯০ = ৪৫১৮৯৪/৯৯৯০ = ২২৫৯৪৭/৪৯৯৫ = ৪৫ ১১৭২/৪৯৯৫।

উদাহরণ ৭। ৩২.৫̇৬৭̇ এ সব দশমিক অঙ্কই আবৃত্ত, তাই হরে শূন্য নেই।
৩২.৫̇৬৭̇ = (৩২৫৬৭ − ৩২)/৯৯৯ = ৩২৫৩৫/৯৯৯ = ৩৬১৫/১১১ = ১২০৫/৩৭ = ৩২ ২১/৩৭।

এবার নিজে ঘুরিয়ে দেখো। পূর্ণ অংশ, অনাবৃত্ত অঙ্ক আর আবৃত্ত অঙ্ক বসাও, যন্ত্র লব, হর আর সরল ভগ্নাংশ দেখাবে। অঙ্ক সংখ্যা আলাদা বাছতে হয়, যাতে ০১ আর ১ আলাদা থাকে। তোমার সংখ্যা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।

৩. সব আবৃত্ত দশমিকই মূলদ

নিয়মটা কখনো আটকায় না: আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সব সময় সাধারণ ভগ্নাংশে পরিণত করা যায়। তাই সকল আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ মূলদ সংখ্যা।

বিশুদ্ধ আবৃত্ত দশমিকে অনাবৃত্ত দশমিক অঙ্ক নেই, তাই হর শুধু ৯। ০.৪̇ = ৪/৯, ০.২̇ = ২/৯, ০.৩̇৫̇ = ৩৫/৯৯, আর ০.৯̇ = ৯/৯ = ১। হ্যাঁ, ০.৯৯৯… ঠিক ১।

মিশ্র আবৃত্ত দশমিকে একটি আবৃত্ত অঙ্ক হলে হর ৯০ (একটা ৯, একটা ০)।
০.১৩̇ = (১৩ − ১)/৯০ = ২/১৫
০.২৪̇ = (২৪ − ২)/৯০ = ১১/৪৫
০.৬৯̇ = (৬৯ − ৬)/৯০ = ৬৩/৯০ = ৭/১০
৩.৭৮̇ = (৩৭৮ − ৩৭)/৯০ = ৩ ৭১/৯০

একাধিক আবৃত্ত অঙ্কেও একই নিয়ম। আবৃত্তির আগে শূন্য থাকলে সেটাও অনাবৃত্ত অঙ্ক, হরে তার জন্য ০ বসে।
০.০১̇২̇ = (১২ − ০)/৯৯০ = ২/১৬৫
৬.২৩̇০৯̇ = (৬২৩০৯ − ৬২)/৯৯৯০ = ৬ ৭৬৯/৩৩৩০

৪. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্নে হর আর লব দুটোই খেয়াল করো।

দ্বিতীয়টা নিয়মটা কোথায় খাটে তা নিয়ে।

শেষটায় হর গুনে নিও।

পুরো পাঠটা ছয়টা কার্ডে।

সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে পরিবর্তন” অংশ।