২/৫ কে দশমিকে লিখলে ০.৪ হয়, এখানেই থেমে যায়। ১/৩ কে লিখলে ০.৩৩৩… হয়, আর থামে না। দুটোই ভগ্নাংশ, তবু একটা থামে, একটা থামে না। আর √২ এর দশমিক তো থামেও না, তার কোনো অংশ ফিরেও আসে না। এই তিন রকমকে আলাদা করে চিনতে পারলেই এ অধ্যায়ের বাকি অর্ধেক সহজ।
১. দশমিক ভগ্নাংশ তিন রকম
আমরা জানি, প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যাকে দশমিক ভগ্নাংশে প্রকাশ করা যায়। যেমন ২ = ২.০, ২/৫ = ০.৪, ১/৩ = ০.৩৩৩… ইত্যাদি।
দশমিক ভগ্নাংশ তিন প্রকার: সসীম, আবৃত্ত আর অসীম। সসীম দশমিকে দশমিক বিন্দুর ডানদিকে অঙ্ক থাকে সসীম সংখ্যক। যেমন ০.১২, ১.০২৩, ৭.৮৩২, ৫৪.৬৭।
আবৃত্ত দশমিকে বিন্দুর ডানের অঙ্কগুলোর সব, অথবা পরপর থাকা কিছু অংশ, বারবার আসতে থাকে। যেমন ৩.৩৩৩…, ২.৪৫৪৫৪৫…, ৫.১২৭৬৫৭৬৫…। বইয়ে একে পৌনঃপুনিক দশমিকও বলা হয়।
অসীম দশমিকে বিন্দুর ডানের অঙ্ক কখনো শেষ হয় না, আবার কোনো অংশও বারবার আসে না। যেমন √২ = ১.৪১৪২১৩৫৬২৪…, √৭ = ২.৬৪৫৭৫১৩১১১…। আবৃত্তও অনন্ত চলে, কিন্তু তার একটা অংশ ঘুরে ঘুরে আসে বলে তাকে আলাদা রাখা হয়েছে। অসীম বলতে এখানে বোঝায়, যার কোনো অংশ ফেরে না।
সসীম আর আবৃত্ত দশমিক ভগ্নাংশ হলো মূলদ সংখ্যা। অসীম দশমিক ভগ্নাংশ হলো অমূলদ সংখ্যা। নিচের সাতটা সংখ্যাকে তিন বাক্সে ভাগ করো।
ভাগ করোসংখ্যা, তারপর বাক্স
দশমিকের তিন রকম
একটা সংখ্যা ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো। কোনো অংশ বারবার আসছে কি?
ঠিক। সসীম আর আবৃত্ত মূলদ, অসীম অমূলদ। পরেরটা।
এখনো না। দেখো ডানের অঙ্ক কোথাও শেষ হয়েছে কি না, আর কোনো অংশ ফিরে ফিরে আসছে কি না।
সব ঠিক জায়গায়। ০.০১০৫০১০৫… তে ০১০৫ বারবার আসে, আর ৫.১২৭৬৫৭৬৫… তে ৭৬৫। দুটোই আবৃত্ত, তাই মূলদ।
২. ভাগ করলে আবৃত্ত আসে, আর তার নাম
ভগ্নাংশকে দশমিকে লিখতে লবকে হর দিয়ে ভাগ করি। ২৩/৬ এ ভাগ আর শেষ হয় না, ভাগফলে একই অঙ্ক ৩ বারবার আসে। তাই ২৩/৬ = ৩.৮৩৩৩…, একটি আবৃত্ত দশমিক।
আবৃত্ত দশমিকে যে অংশ বারবার আসে তাকে বলে আবৃত্ত অংশ। বাকি অংশ অনাবৃত্ত অংশ। ৩.৮৩৩৩… এ ৩ আবৃত্ত, আর ৮ অনাবৃত্ত।
অনন্ত অঙ্ক লিখে লাভ নেই, তাই বিন্দু বসাই। একটি অঙ্ক আবৃত্ত হলে সেই অঙ্কের উপর একটি বিন্দু। একাধিক অঙ্ক আবৃত্ত হলে শুধু প্রথম আর শেষ অঙ্কের উপর। ২.৫৫৫… লিখি ২.৫, আর ৩.১২৪১২৪১২৪… লিখি ৩.১২৪।
দশমিক বিন্দুর পরে আবৃত্ত অংশ ছাড়া আর কোনো অঙ্ক না থাকলে সেটা বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ, যেমন ১.৩। আবৃত্ত অংশের আগে এক বা একাধিক অনাবৃত্ত অঙ্ক থাকলে সেটা মিশ্র পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ, যেমন ৪.২৩৫১১২। প্রতিটায় ট্যাপ করে মিলিয়ে নাও।
চিনতে পারো?কোনো অংশ বারবার আসছে কি?
বিশুদ্ধ না মিশ্র পৌনঃপুনিক?
বিশুদ্ধ। বিন্দুর পরে একটাই অঙ্ক, ৩, আর সেটাই আবৃত্ত।
বিশুদ্ধ। প্রথম বিন্দু ঠিক বিন্দুর পরের অঙ্ক ৩ এর উপর, শেষ বিন্দু ৬ এর উপর। দশমিকের পরের সব অঙ্ক আবৃত্ত।
বিশুদ্ধ। ২ আর ৭ দুটোই আবৃত্ত, বিন্দুর পরে আর কিছু নেই।
মিশ্র। ২৩৫১ আবৃত্ত নয়; বিন্দু পড়েছে পরের ১ আর ২ এর উপর।
মিশ্র। ১ আবৃত্ত নয়, শুধু ৬ বারবার আসে।
মিশ্র। ৩২ অনাবৃত্ত অংশ, ৭৮৯ আবৃত্ত অংশ।
ছয়টাই দেখা হলো। বিশুদ্ধ: প্রথম তিনটা। মিশ্র: শেষ তিনটা। পার্থক্য একটাই: বিন্দু আর বিন্দুর মাঝে আগে অনাবৃত্ত অঙ্ক আছে কি না।
৩. কখন থামে, কখন ঘোরে
হরের মৌলিক উৎপাদকে ২ আর ৫ ছাড়া অন্য কিছু থাকলে সেই হর দিয়ে লবকে কখনো নিঃশেষে ভাগ করা যায় না, তাই আবৃত্ত দশমিক আসে: ৩/১১, ৫/৩। হরে কেবল ২ আর ৫ থাকলে ভাগ থেমে যায়, সসীম দশমিক আসে: ৫/২ = ২.৫, ৫/৪ = ১.২৫।
ভাগশেষ সবসময় হরের চেয়ে ছোট হয়। তাই ভাগ করতে করতে এক সময় একই ভাগশেষ আবার ফিরে আসে, আর একই ভাগশেষ মানে একই অঙ্ক। ফলে আবৃত্ত অংশের অঙ্ক সংখ্যা সবসময় হরের চেয়ে কম। একটা ভগ্নাংশ বেছে এক ধাপ করে ভাগ করো, আর লাল চিহ্নে ফেরা ভাগশেষ দেখো।
ভাগ করে দেখোএকই ভাগশেষ আবার এলে অঙ্কও ফিরে আসবে
ভাগ যেখানে ঘুরে আসে
উদাহরণ ৩ এ বই এই দুটো করে দেখিয়েছে: ৩/১১ = ০.২৭২৭… = ০.২৭ এবং ৯৫/৩৭ = ২.৫৬৭৫৬৭… = ২.৫৬৭।
আরও চারটা মনে রাখার মতো: ১/৬ = ০.১৬, ৭/১১ = ০.৬৩, ৩ ২/৯ = ৩.২, ৩ ৮/১৫ = ৩.৫৩।
৪. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, প্রথমটা তিন রকম নিয়ে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
বই অনুসারে দশমিক ভগ্নাংশ মোট কয় প্রকার?
সসীম ও অসীম ধরলে দুই মনে হয়, কিন্তু বই আবৃত্তকে আলাদা ধরে: সসীম, আবৃত্ত, অসীম, মোট তিন।
ঠিক। বই: দশমিক ভগ্নাংশ তিন প্রকার: সসীম, আবৃত্ত ও অসীম।
বইয়ে চতুর্থ কোনো ধরন নেই; প্রকার তিনটি: সসীম, আবৃত্ত, অসীম।
পাঁচ প্রকার বইয়ে নেই। দশমিক ভগ্নাংশ তিন প্রকার।
দ্বিতীয়টায় বিন্দুগুলো খেয়াল করো।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
নিচের কোনটি বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ?
১ আবৃত্ত নয়, কেবল ৬; তাই এটি মিশ্র। বিশুদ্ধ হলো ৪.৩̇৪২৬̇।
৩২ আবৃত্ত নয়, তাই মিশ্র। দশমিকের পর সব অঙ্ক আবৃত্ত ৪.৩̇৪২৬̇ এ।
ঠিক। দশমিক বিন্দুর ঠিক পরের অঙ্ক থেকেই সব আবৃত্ত, তাই বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক।
৪ আবৃত্ত নয়, তাই মিশ্র পৌনঃপুনিক। উত্তর ৪.৩̇৪২৬̇।
শেষটা আরেকবার ভাগ আর আবৃত্ত নিয়ে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
কোন ভগ্নাংশকে দশমিকে নিলে আবৃত্ত দশমিক আসে?
হরে কেবল ২, তাই ২.৫ সসীম। ৩/১১ এর হরে ১১ থাকায় আবৃত্ত।
ঠিক। হরে ২, ৫ ছাড়া ১১ আছে, তাই ৩/১১ = ০.২̇৭̇ আবৃত্ত।
৪ = ২ × ২, তাই ৫/৪ = ১.২৫ সসীম। উত্তর ৩/১১।
√৫/২ অমূলদ, তাই অসীম অনাবৃত্ত। আবৃত্ত হয় ৩/১১।
পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
আটটা কার্ড
প্রশ্নবই অনুযায়ী দশমিক ভগ্নাংশ কত প্রকার ও কী কী?
উত্তরতিন প্রকার: সসীম, আবৃত্ত, অসীম
প্রশ্নকোন দশমিক ভগ্নাংশকে আবৃত্ত বলে?
উত্তরদশমিক বিন্দুর ডানে সকল বা কিছু অঙ্ক বারবার এলে, যেমন ২.৪৫৪৫৪৫…
প্রশ্নকোন ধরনের দশমিক ভগ্নাংশ অমূলদ সংখ্যা?
উত্তরঅসীম (অনাবৃত্ত) দশমিক; সসীম ও আবৃত্ত দশমিক মূলদ
প্রশ্নআবৃত্ত দশমিকের আবৃত্ত অংশ কাকে বলে?
উত্তরযে অংশ বারবার আসে; বাকি অংশ অনাবৃত্ত
প্রশ্ন৩.১২৪১২৪১২৪… কে বিন্দু দিয়ে কীভাবে লেখা হয়?
উত্তর৩.১̇২৪̇ (প্রথম ও শেষ আবৃত্ত অঙ্কে বিন্দু)
প্রশ্ন১.৩̇ ও ৪.২৩৫১১̇২̇ এর কোনটি বিশুদ্ধ পৌনঃপুনিক ভগ্নাংশ?
উত্তর১.৩̇, কারণ দশমিকের পর সব অঙ্ক আবৃত্ত
প্রশ্নহরে কোন মৌলিক উৎপাদক থাকলে ভগ্নাংশটি আবৃত্ত দশমিক হয়?