গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১
ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা সংক্রান্ত প্রমাণ।
১·২·৩·৪ + ১ = ২৫, আর ২৫ = ৫²। ২·৩·৪·৫ + ১ = ১২১, আর ১২১ = ১১²। দুবারই পূর্ণবর্গ। কাকতালীয় মনে হচ্ছে? কয়েক লাইন বীজগণিতেই দেখা যাবে, যেকোনো চারটি ক্রমিক সংখ্যা নিলেই এমন হয়। এই নোটে সেই কৌশল, আর জোড়-বিজোড়ের কয়েকটা ছোট প্রমাণ।
১. চারটি ক্রমিক সংখ্যা, এক যোগ
ক্রমিক সংখ্যা মানে পরপর সংখ্যা। চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা ধরা হয় x, x + ১, x + ২, x + ৩। একটা অক্ষর দিয়েই চারটাকে ধরে ফেলা গেল, আর এটাই প্রমাণের প্রথম চাল।
বইয়ের উদাহরণ ২ দেখায়, x(x + ১)(x + ২)(x + ৩) + ১ একটা পূর্ণবর্গ। ধাপে ধাপে চলো; চালাকিটা দ্বিতীয় ধাপে।
উদাহরণ ২ ধাপে ধাপে
শুরু: যা প্রমাণ করব। x যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যা।
প্রথম ও শেষ, মাঝের দুটি জোড়া করা।
x(x + ৩) = x² + ৩x, আর (x + ১)(x + ২) = x² + ৩x + ২। দুই জোড়াতেই x² + ৩x আছে।
x² + ৩x = a ধরে। রাশিটা এখন একটা অক্ষরের।
a এর জায়গায় আবার x² + ৩x বসালাম। বর্গ হয়ে গেল, তাই প্রমাণ শেষ।
x = ২: ২·৩·৪·৫ + ১ = ১২১ = ১১²
দুটোই পূর্ণবর্গ, ঠিক প্রমাণের মতো।
প্রমাণটা x এর কোনো নির্দিষ্ট মানের ওপর নির্ভর করে না। তাই যেকোনো চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে ১ যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়। a, b, c, d ক্রমিক হলে abcd + ১ পূর্ণবর্গ।
২. জোড় আর বিজোড়, অক্ষরে
জোড় সংখ্যা ২ দ্বারা বিভাজ্য: ২, ৪, ৬, ৮, … এরা জোড় স্বাভাবিক সংখ্যা, সাধারণ রূপ ২m। বিজোড় সংখ্যার রূপ ২m − ১ (m ∈ N), যেমন n = ২m − ১। আর n ∈ N হলে ২n + ১ ও বিজোড়।
জোড় সংখ্যার বর্গ জোড়। তাই a, b ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে a² ও b² জোড়, b² + ২ জোড়, কিন্তু a² + ১ বিজোড়। বিজোড় সংখ্যার বর্গ বিজোড়: (২m − ১)² = ৪m² − ৪m + ১ = ২(২m² − ২m) + ১।
দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা ২m ও ২m + ২ নাও। গুণফল ২m(২m + ২) = ৪m(m + ১)। m ও m + ১ এর একটি জোড়, তাই m(m + ১) জোড়। গুণফল ৪ গুণ একটা জোড় সংখ্যা, অর্থাৎ ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
এবার নিজে ভাগ করো। a, b ক্রমিক জোড় সংখ্যা, আর n একটা বিজোড় স্বাভাবিক সংখ্যা।
জোড় না বিজোড়?
৩. ৮ আর ৬ দিয়ে বিভাজ্যতা
n = ২m − ১ হলে n² − ১ = (২m − ১)² − ১ = ৪m² − ৪m = ৪m(m − ১)। m(m − ১) দুই ক্রমিক সংখ্যার গুণফল, তাই জোড়। অতএব বিজোড় n এর জন্য n² − ১ সর্বদা ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
তিনটি ক্রমিক সংখ্যার মধ্যে অন্তত একটি জোড় এবং একটি ৩ এর গুণিতক। তাই তাদের গুণফল সর্বদা ৬ দ্বারা বিভাজ্য, যেমন ৪ × ৫ × ৬ = ১২০।
৪. বর্গের অন্তর, আর পূর্ণবর্গ বানানো
a² + b² + ২ab = (a + b)², তাই a² + b² এর সাথে ২ab যোগ করলে পূর্ণবর্গ হয়।
কথাকে বীজগণিতে অনুবাদ করাই অর্ধেক কাজ। যেমন, একটি স্বাভাবিক সংখ্যা x এর বর্গের সাথে সংখ্যাটি যোগ করলে হয় x² + x।
দুইটি ক্রমিক সংখ্যা n ও n + ১ এর বর্গের অন্তর (n + ১)² − n² = ২n + ১। অন্তর ৭ হলে ২n + ১ = ৭, n = ৩। সংখ্যা দুটি ৩ ও ৪।
দুইটি ক্রমিক বিজোড় সংখ্যা n ও n + ২ হলে (n + ২)² − n² = ৪n + ৪। অন্তর ৭২ হলে ৪n + ৪ = ৭২, n = ১৭, বড় সংখ্যা ১৯। যাচাই: ১৯² − ১৭² = ৩৬১ − ২৮৯ = ৭২।
এবার অন্তর বদলে দেখো, আগে সাধারণ রাশি, তারপর সমীকরণ। তুমি যে সংখ্যা লেখো, সেটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
ক্রমিক বর্গের অন্তর
৫. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।
প্রশ্ন ১
চারটি ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যার গুণফলের সাথে কোন সংখ্যা যোগ করলে পূর্ণবর্গ পাওয়া যায়?
দ্বিতীয়টায় অক্ষরে লেখা রূপগুলো কাজে লাগাও।
প্রশ্ন ২
a ও b দুইটি ক্রমিক জোড় সংখ্যা হলে নিচের কোনটি বিজোড় সংখ্যা?
শেষটায় একটা একটা করে বিচার করো।
প্রশ্ন ৩
পরপর দুইটি বিজোড় সংখ্যার বর্গের পার্থক্য ৭২। বড় সংখ্যাটি কত?
পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।
সাতটা কার্ড
সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “ক্রমিক স্বাভাবিক সংখ্যা সংক্রান্ত প্রমাণ” অংশ।