২ < ৫, এটা সবাই জানে। এবার দুই পাশকে −১ দিয়ে গুণ করো। −২ < −৫ হবে কি? না, হবে −২ > −৫। যোগ আর গুণের কিছু নিয়ম আমরা না ভেবেই মানি, আর তার একটায় অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়।
১. যোগ আর গুণের ছয় নিয়ম
a ও b বাস্তব সংখ্যা হলে a + b এবং ab দুটোই বাস্তব সংখ্যা।
নিয়মগুলোর নাম পড়ার আগে নিজে পরখ করো। a, b, c টেনে যা খুশি বানাও, প্রতিটা নিয়মের দুই পাশ সাথে সাথে হিসাব হবে।
নিয়মের খেলাঘরa, b, c টানো
দুই পাশ কি মেলে?
ক্রম বদলালে ফল বদলায় না: a + b = b + a এবং ab = ba। তিনটা সংখ্যায় কাকে আগে জুড়ছ তাতেও ফল একই: (a + b) + c = a + (b + c) এবং (ab)c = a(bc)।
যোগে ০ কিছু বদলায় না, গুণে ১ কিছু বদলায় না: a + ০ = ০ + a = a এবং a·১ = ১·a = a। বই বলে, এ কাজ করে কেবল দুইটি বাস্তব সংখ্যা ০ ও ১, আর ০ ≠ ১।
প্রতিটা a এর যোগের বিপরীত আছে: a + (−a) = ০। a ≠ ০ হলে গুণেরও বিপরীত আছে: a·(১/a) = ১।
যোগ আর গুণ মেলে এই নিয়মে: a(b + c) = ab + ac। ছয়টা সমীকরণ নিচে, ট্যাপ করে দেখো কোনটা কোন নিয়ম।
নাম দাওসমীকরণের দুই পাশ তুলনা করো
বৈশিষ্ট্য মেলাও
সমীকরণ
নং
৩ + ৫ = ৫ + ৩
২
(২ × ৩) × ৪ = ২ × (৩ × ৪)
৩
৭ + ০ = ৭
৪
৫ + (−৫) = ০
৫
৪ × ১/৪ = ১
৫
২(৩ + ৪) = ২·৩ + ২·৪
৬
বিনিময়। ক্রম উল্টালেও যোগফল একই: a + b = b + a (বৈশিষ্ট্য ২)।
সংযোগ। কোন দুটোকে আগে গুণ করছ তাতে ফল বদলায় না: (ab)c = a(bc) (বৈশিষ্ট্য ৩)।
অভেদ (০)। ০ যোগ করলে সংখ্যা যেমন ছিল তেমনই থাকে: a + ০ = a (বৈশিষ্ট্য ৪)।
যোগাত্মক বিপরীত। a আর −a যোগ করলে ০: a + (−a) = ০ (বৈশিষ্ট্য ৫)।
গুণাত্মক বিপরীত। a ≠ ০ হলে a·(১/a) = ১ (বৈশিষ্ট্য ৫)।
বণ্টন। গুণ ভেঙে যোগের দুই অংশে যায়: a(b + c) = ab + ac (বৈশিষ্ট্য ৬)।
ছয়টাই দেখা হলো।
২. অসমতার তিন নিয়ম
যেকোনো দুই বাস্তব সংখ্যা a, b এর জন্য তিনটার একটা সবসময় সত্য: a < b, অথবা a = b, অথবা a > b।
দুই পাশে একই সংখ্যা যোগ করলে অসমতা টিকে থাকে: a < b হলে a + c < b + c। ধনাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলেও টিকে থাকে: a < b এবং c > ০ হলে ac < bc।
কিন্তু c < ০ হলে ac > bc। ঋণাত্মক সংখ্যা দিয়ে গুণ করলে অসমতার চিহ্ন উল্টে যায়। ২ < ৫ ধরে c কে ঋণাত্মক করে দেখো।
হাতলc কে ঋণাত্মক করে দেখো
অসমতাকে গুণ করো
রেখাটা হাতে আঁকা, মাপা নয়।
৩. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, একটা একটা করে।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ১
কোন শর্তে a·(১/a) = ১ হয়?
ঋণাত্মক a তেও নিয়মটি খাটে, যেমন (−২)(−১/২) = ১। শর্ত কেবল a ≠ ০।
a = ১ এ সত্য, কিন্তু অন্য সব শূন্য-নয় a তেও সত্য। শর্ত a ≠ ০।
ধনাত্মক a তেও নিয়মটি খাটে, যেমন ২ × ১/২ = ১। শর্ত a ≠ ০।
ঠিক। বই: a ≠ ০ হলে a·(১/a) = ১; শূন্য দিয়ে ভাগ করা যায় না।
এবার দ্বিতীয়টা।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ২
a, b, c বাস্তব সংখ্যা এবং a < b হলে নিচের কোনটি সঠিক?
c > ০ হলে চিহ্ন বদলায় না: ac < bc। চিহ্ন উল্টায় কেবল c < ০ হলে।
ঠিক। বই অনুযায়ী a < b এবং c < ০ হলে ac > bc: ঋণাত্মক দিয়ে গুণে চিহ্ন উল্টায়।
ঋণাত্মক c দিয়ে ভাগেও চিহ্ন উল্টায়, তাই a/c > b/c হবে। সঠিক হলো ac > bc, c < ০।
ধনাত্মক c দিয়ে ভাগে চিহ্ন বদলায় না: a/c < b/c। সঠিক উত্তর ac > bc, c < ০।
শেষটা।
মিলিয়ে দেখোএকটা উত্তর বেছে নাও
প্রশ্ন ৩
৩(৪ + ৫) কে বণ্টন বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী লিখলে কোনটি হয়?
ঠিক। a(b + c) = ab + ac থেকে ৩(৪ + ৫) = ৩ × ৪ + ৩ × ৫ = ২৭।
৩ কেবল ৪ এর সাথে গুণ হয়েছে, ৫ এর সাথে নয়: ১৭ হয়, ২৭ নয়।
এতে গুণ ও যোগের জায়গা বদলে গেছে: ২৩ হয়। সঠিক ৩ × ৪ + ৩ × ৫।
এটি ৭ × ৮ = ৫৬, বণ্টন নিয়ম নয়। সঠিক ৩ × ৪ + ৩ × ৫ = ২৭।
পুরো পাতার নিয়মগুলো কয়েকটা কার্ডে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
সাতটা কার্ড
প্রশ্নa ও b বাস্তব সংখ্যা হলে a + b ও ab কোন ধরনের সংখ্যা?
উত্তরদুটিই বাস্তব সংখ্যা
প্রশ্নকোন দুইটি বাস্তব সংখ্যার জন্য a + ০ = a এবং a·১ = a হয়?
উত্তর০ ও ১ (এবং ০ ≠ ১)
প্রশ্নa·(১/a) = ১ হওয়ার জন্য a এর উপর কী শর্ত?
উত্তরa ≠ ০
প্রশ্নa(b + c) = …
উত্তরab + ac
প্রশ্নদুইটি বাস্তব সংখ্যা a ও b এর মধ্যে কোন তিনটি সম্পর্কের একটি থাকবেই?
উত্তরa < b অথবা a = b অথবা a > b
প্রশ্নa < b এবং c > ০ হলে ac ও bc এর সম্পর্ক কী?
উত্তরac < bc
প্রশ্নa < b এবং c < ০ হলে ac ও bc এর সম্পর্ক কী?
উত্তরac > bc (চিহ্ন উল্টে যায়)
সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “বাস্তব সংখ্যার যোগ ও গুণন প্রক্রিয়ার মৌলিক বিধি” অংশ।