গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১

মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা।

√৯ এর গায়ে মূলের চিহ্ন, তবু মান ঠিক ৩। আর √১৩ লিখে শেষ করা যায় না। দুটোর তফাত কোথায়? একটা প্রশ্নেই সব মীমাংসা: সংখ্যাটাকে কি p/q আকারে লেখা যায়?

১. মূলদ সংখ্যা

p/q আকারের কোনো সংখ্যাকে মূলদ সংখ্যা বলা হয়, যখন p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ ০। যেমন ৩/১ = ৩, ১১/২ = ৫.৫, ৫/৩ = ১.৬৬৬… সবই মূলদ। তাই সকল পূর্ণসংখ্যা ও ভগ্নাংশই মূলদ সংখ্যা।

যেকোনো মূলদ সংখ্যাকে দুইটি সহমৌলিক সংখ্যার অনুপাত হিসাবেও লেখা যায়। এই কথাটা একটু পরে প্রমাণে কাজে লাগবে।

২. অমূলদ সংখ্যা

যে সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায় না, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q ≠ ০, তাকে অমূলদ সংখ্যা বলা হয়। কোনো অমূলদ সংখ্যাকে দুইটি পূর্ণসংখ্যার অনুপাত হিসাবে প্রকাশ করা যায় না।

পূর্ণবর্গ নয় এমন যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল, কিংবা তার ভগ্নাংশ, একটি অমূলদ সংখ্যা। যেমন √২ = ১.৪১৪২১৩…, √৩ = ১.৭৩২…, √৫/২ = ১.১১৮… সবই অমূলদ।

কোন সংখ্যা মূলদ, দশমিকে লিখলেই ধরা পড়ে। আগে আন্দাজ করো, তারপর অঙ্কগুলো আসতে দেখো।

৩. আগে মূলের ভেতর সরল করো

শুধু মূলের চিহ্ন দেখে রায় দিয়ো না। আগে ভেতরের সংখ্যা সরল করো। √৯ = ৩, √৬২৫ = ২৫, √(৪/৯) = ২/৩, √(১৬/৯) = ৪/৩, ∛২৭ = ৩, ∛(৮/২৭) = ২/৩, ∛১২৫ = ৫: এগুলো সব মূলদ। কিন্তু √১৩, √(২৫/৫০) = √(১/২), ∛৭ অমূলদ। a = b হলে √(ab) = √(a²) = a, তাই সেটাও মূলদ।

ভাগফলের আকারে মূল থাকলে দুই মূলকে এক মূলের নিচে আনো। √২৭/√৪৮ = √(২৭/৪৮) = √(৯/১৬) = ৩/৪, মূলদ। কিন্তু √৭/√২১ = ১/√৩ আর √৮/√৭ অমূলদ, ৫/√৩ ও অমূলদ।

একটা উদাহরণ: a = √৩, b = √১২ হলে ab = √৩৬ = ৬ মূলদ, a/b = √(৩/১২) = ১/২ মূলদ। কিন্তু a + b = √৩ + ২√৩ = ৩√৩ বাস্তব, অমূলদ। এবার নিজে ভাগ করো।

৪. দুই সংখ্যার মাঝে

√৩ = ১.৭৩২০৫০৮… আর ৪ এর মাঝে দুইটি অমূলদ সংখ্যা খুঁজতে বইয়ের উদাহরণ ১ নেয় a = √৩ + ১ ও b = √৩ + ২। কারণ √৩ < √৩ + ১ < √৩ + ২ < ৪। এভাবে অসংখ্য অমূলদ সংখ্যা পাওয়া যায়।

দুইটি দশমিকের মাঝে অমূলদ চাইলে মাঝের একটি অসীম অনাবৃত্ত দশমিক লেখো, যেমন ০.১২ ও ০.৩১ এর মাঝে ০.১৩০১০০১০০০১…। মূলদ চাইলে একটি সসীম দশমিক নাও, যেমন ০.১ ও ০.১২ এর মাঝে ০.১১, বা ১.১ ও ১.১১ এর মাঝে ১.১০০১।

পূর্ণসংখ্যা গুনতে √৩ ≈ ১.৭৩২ ধরো, তাহলে √৩ ও ৫ এর মাঝে ২, ৩, ৪: মোট ৩টি। বর্গমূল না করেও সীমা মেলে: ৯ < ১০ < ১৬ বলে ৩ < √১০ < ৪। তেমনি ১ < √৩ < ২ আর ৫ < √২৯ < ৬। দুই ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার মাঝে থাকে বলে এরা পূর্ণসংখ্যা নয়।

৫. √২ অমূলদ, তার প্রমাণ

প্রতিজ্ঞা: √২ একটি অমূলদ সংখ্যা। প্রমাণ: ধরি √২ একটি মূলদ সংখ্যা এবং √২ = p/q, যেখানে p ও q পরস্পর সহমৌলিক স্বাভাবিক সংখ্যা এবং q > ১। বর্গ করে ২ = p²/q², অর্থাৎ q দিয়ে গুণ করে ২q = p²/q। স্পষ্টত ২q পূর্ণসংখ্যা, কিন্তু p²/q পূর্ণসংখ্যা নয়, কারণ p ও q সহমৌলিক এবং q > ১। তাই ২q ≠ p²/q, অর্থাৎ √২ ≠ p/q। অতএব √২ অমূলদ। “সহমৌলিক” আর “q > ১” শর্ত দুটো ভুলো না, পুরো প্রমাণ এদের ওপরই দাঁড়িয়ে।

একই পদ্ধতিতে √৩, √৫, √৬, √৭, √১০, √২৯ অমূলদ প্রমাণ হয়। যেমন √৫ = p/q ধরলে ৫q = p²/q পাই। বাম পক্ষ পূর্ণসংখ্যা কিন্তু ডান পক্ষ নয়। আরেকটা প্রশ্নে n = ২m − ১ আর m = ৩ হলে n = ৫, তাই √n = √৫ অমূলদ।

৬. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।

দ্বিতীয়টায় আগে ভেতরটা সরল করো।

শেষটাও একই নিয়মে।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, “মূলদ ও অমূলদ সংখ্যা” অংশ।