পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৬
(অংশ) মাত্রা ও মাত্রা সমীকরণ।
কোনো সমীকরণ ঠিক কি না, একটা সংখ্যাও না বসিয়ে প্রায়ই বলে দেওয়া যায়, শুধু দুই পক্ষের মাত্রা মিলিয়ে। পরীক্ষায় এটাই সবচেয়ে বেশি আসে। তাই আগে শিখতে হবে প্রতিটা রাশির মাত্রা কী, তারপর মাত্রা দিয়ে কী কী করা যায়।
১. মাত্রা কাকে বলে
কোনো রাশি আর তার মৌলিক এককের মধ্যে সম্পর্ক বোঝাতে যে সংকেত ব্যবহার করা হয়, সেটাই ওই রাশির মাত্রা। আরেকভাবেও বলা যায়: কোনো লব্ধ একক গড়তে মৌলিক এককগুলোকে যে ঘাতে তোলা হয়, সেই ঘাতই ওই লব্ধ এককের মাত্রা।
দৈর্ঘ্য, ভর ও সময়ের মাত্রা যথাক্রমে L, M ও T। ক্ষেত্রফলে দৈর্ঘ্য দুবার আছে, তাই মাত্রা L²; আয়তনে তিনবার, তাই L³। বর্গবন্ধনী [ ] মানে “এর মাত্রা”।
যে সমীকরণ মৌলিক একক আর লব্ধ এককের সম্পর্ক দেখায়, তার নাম মাত্রা সমীকরণ। যেমন বেগ = সরণ ÷ সময়, তাই [v] = L/T = [LT⁻¹]।
২. যান্ত্রিক রাশির মাত্রা
বেগের মাত্রা [LT⁻¹], ত্বরণের [LT⁻²], বলের [MLT⁻²]। ভরবেগ আর বলের ঘাত, দুটোরই মাত্রা [MLT⁻¹]।
চাপ, পীড়ন আর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্কের মাত্রা একই, [ML⁻¹T⁻²]। ঘনত্বের মাত্রা [ML⁻³], সান্দ্রতাঙ্কের [ML⁻¹T⁻¹], পৃষ্ঠটানের [MT⁻²]।
কাজ, শক্তি, বলের ভ্রামক আর টর্ক, চারটারই মাত্রা [ML²T⁻²]। ক্ষমতার মাত্রা [ML²T⁻³], অর্থাৎ কাজ ÷ সময়।
ঘূর্ণনের রাশিগুলো: জড়তার ভ্রামক [ML²], কৌণিক ভরবেগ [ML²T⁻¹], চক্রগতির ব্যাসার্ধ [L]। কম্পাঙ্ক আর কৌণিক বেগ দুটোই [T⁻¹], কৌণিক ত্বরণ [T⁻²]।
মহাকর্ষীয় প্রাবল্য আর অভিকর্ষজ ত্বরণের মাত্রা একই, [LT⁻²]। মহাকর্ষীয় বিভবের মাত্রা [L²T⁻²], আর বেগের নতিমাত্রার [T⁻¹]।
৩. তাপ, তড়িৎ ও চুম্বকের মাত্রা
তাপমাত্রার মাত্রা θ। আপেক্ষিক তাপের মাত্রা [L²T⁻²θ⁻¹], লীন তাপের [L²T⁻²]। তাপ ধারকত্ব, এনট্রপি আর বোল্টজম্যান ধ্রুবকের মাত্রা এক: [ML²T⁻²θ⁻¹]।
তাপ পরিবাহিতাঙ্কের মাত্রা [MLT⁻³θ⁻¹], স্টিফান ধ্রুবকের [MT⁻³θ⁻⁴], তাপমাত্রার নতিমাত্রার [θL⁻¹], মোলার গ্যাস ধ্রুবকের [ML²T⁻²θ⁻¹mol⁻¹]।
তড়িতে প্রবাহের প্রতীক I। তড়িৎ আধানের মাত্রা [IT], প্রবাহ ঘনত্বের [IL⁻²], তড়িৎ দ্বিমেরু ভ্রামকের [ITL]।
তড়িৎ বিভবের মাত্রা [ML²T⁻³I⁻¹], তড়িৎ ক্ষেত্রের প্রাবল্যের [MLT⁻³I⁻¹], তড়িৎ রোধের [ML²T⁻³I⁻²], রোধাঙ্কের [ML³T⁻³I⁻²]।
ধারকত্বের মাত্রা [M⁻¹L⁻²T⁴I²], স্বাবেশাঙ্কের [ML²T⁻²I⁻²]।
চৌম্বক ফ্লাক্সের মাত্রা [ML²T⁻²I⁻¹], চৌম্বক প্রবাহ ঘনত্বের [MT⁻²I⁻¹], চৌম্বক দ্বিমেরু ভ্রামকের [IL²], চৌম্বক মেরুশক্তির [IL]।
শেষে দুটো: তরঙ্গের তীব্রতার মাত্রা [MT⁻³], পৃষ্ঠ শক্তির [MT⁻²]।
মুখস্থের আগে উল্টো দিক থেকে খেলো। M, L আর T এর ঘাত নিজে বসাও, দেখো কোন কোন রাশির এই মাত্রা।
ঘাত বসাও, রাশি চেনো
মুখস্থ করার আগে মিলিয়ে নাও। যোলোটা রাশি, চার পরিবার: রাশি ধরো, তারপর তার মাত্রায় ট্যাপ করো। ভুল হলে নিচে দেখবে মাত্রাটা সম্পর্ক থেকে কীভাবে বের হয়।
কার মাত্রা কী?
৪. যাদের মাত্রা নেই
কিছু রাশির কোনো মাত্রা নেই, এরা মাত্রাহীন: কোণ, ঘনকোণ, বিকৃতি, পয়সনের অনুপাত আর আপেক্ষিক গুরুত্ব।
কেন? সমতলিক কোণ θ = বৃত্তচাপ ÷ ব্যাসার্ধ = [L]/[L] = ১। দৈর্ঘ্য দৈর্ঘ্যকে কেটে দেয়, কিছু বাকি থাকে না, তাই সমতলিক কোণ মাত্রাহীন।
মাত্রা আছে কি?
৫. সমমাত্রিক নীতি আর মাত্রা সমীকরণের কাজ
সমমাত্রিক নীতি: কোনো সঠিক সম্পর্ক বা সমীকরণের দুই দিকের মাত্রা সব সময় অভিন্ন হবে। দুই পক্ষের মাত্রা না মিললে সমীকরণটা ভুল, এটুকু দেখতেই কোনো সংখ্যা লাগে না।
মাত্রা সমীকরণ কাজে লাগে পাঁচ জায়গায়: এক পদ্ধতির একক অন্য পদ্ধতিতে রূপান্তরে, সমীকরণের নির্ভুলতা যাচাইয়ে, সমীকরণ গঠনে, কোনো ভৌত রাশির একক নির্ণয়ে, আর ভৌত সমস্যার সমাধানে।
নীতিটা একটা দাঁড়িপাল্লা। দুই পক্ষের মাত্রা দুই পাল্লায়; না মিললে পাল্লা হেলে পড়ে।
সমীকরণের দাঁড়িপাল্লা
৬. মাত্রা বের করা
বইয়ের উদাহরণ ১.২ তিনটা। (১) E = F/q, [F] = MLT⁻², [q] = IT, তাই [E] = MLT⁻²/IT = [MLT⁻³I⁻¹] (বইয়ে প্রবাহের প্রতীক A লেখা)। (২) কৌণিক ভরবেগ mvr = [M][LT⁻¹][L] = [ML²T⁻¹], আর প্ল্যাঙ্কের ধ্রুবক h = E/ν = [ML²T⁻²]/[T⁻¹] = [ML²T⁻¹], তাই দুটির মাত্রা একই। (৩) বল (F), দৈর্ঘ্য (L) আর সময় (T) মৌলিক হলে ভর = বল ÷ ত্বরণ = F/LT⁻² = [FL⁻¹T²]। প্রতিবারই চার ধাপ: সম্পর্ক লেখো, মাত্রা বসাও, সরল করো, উত্তর বলো। নিজে ধাপ খুলে দেখো, চাপও আছে।
ধাপে ধাপে মাত্রা
৭. সমীকরণ যাচাই
এবার নীতিটা কাজে লাগাও, উদাহরণ ১.৪ এ। (১) v = √(P/D) মাত্রাগতভাবে সঠিক, কারণ ডানপক্ষ √(ML⁻¹T⁻²/ML⁻³) = [LT⁻¹], আর বামপক্ষ বেগেরও মাত্রা [LT⁻¹]। (২) Fs = ½mv² − ½mu² সঠিক, কারণ দুই পক্ষেরই মাত্রা [ML²T⁻²]। কৌশল একটাই: দুই পক্ষ আলাদা করে বের করো, তারপর মেলাও। প্রথমে প্রথমটার ধাপগুলো ক্রমে সাজাও।
ধাপগুলো সাজাও: v = √(P/D)
দ্বিতীয়টা কাজ আর শক্তির সমীকরণ। এখানে দুটো পদ বিয়োগ হচ্ছে, তাই মাত্রা মিলতেই হবে।
ধাপগুলো সাজাও: Fs = ½mv² − ½mu²
৮. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।
প্রশ্ন ১
সান্দ্রতা গুণাঙ্কের মাত্রা কোনটি?
দ্বিতীয়টায় সম্পর্ক থেকে মাত্রা বের করতে হবে।
প্রশ্ন ২
ফোটন কণিকার শক্তি E = hυ, υ = কম্পাঙ্ক এবং h = প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক। h-এর মাত্রা কোন রাশির মাত্রার সমান?
তৃতীয়টায় ঘাতের চিহ্নগুলো খেয়াল করো।
প্রশ্ন ৩
যদি v = দ্রুতি, r = ব্যাসার্ধ এবং g = অভিকর্ষজ ত্বরণ হয়, তাহলে নিম্নের কোন রাশিটি মাত্রাহীন?
পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।
আটটা কার্ড
সূত্র: পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ভৌতজগৎ ও পরিমাপ”, অনুচ্ছেদ ১.৬।