পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৭-১.৯

এক পদ্ধতি থেকে অন্য পদ্ধতিতে রূপান্তর, সমীকরণ যাচাই ও গঠন।

একটা সূত্র মনে নেই। তবু শুধু রাশিগুলোর মাত্রার দিকে তাকিয়ে সেটা প্রায় বের করে ফেলা যায়, বাকি থাকে কেবল সামনের ধ্রুবকটা। মাত্রা বিশ্লেষণ তিনটা কাজ করে: একক বদলায়, সমীকরণ যাচাই করে, সমীকরণ গড়ে। আর আটটা জায়গায় সে হার মানে।

১. এক পদ্ধতি থেকে অন্য পদ্ধতিতে

কোনো রাশির মান এক পদ্ধতিতে জানা থাকলে সমমাত্রিক নীতি আর মাত্রা বিশ্লেষণ দিয়ে অন্য পদ্ধতিতে তার মান বের করা যায়। রাশির মাত্রা [MˣLʸTᶻ] হলে রূপান্তর সূত্র হলো:

n₂ = n₁ [M₁/M₂]ˣ [L₁/L₂]ʸ [T₁/T₂]ᶻ

এখানে n₁ প্রথম পদ্ধতির মান, M₁, L₁, T₁ তার মৌলিক একক, আর M₂, L₂, T₂ দ্বিতীয় পদ্ধতির।

সূত্রটা চালু অবস্থায় দেখো। রাশি বদলাও, মান বদলাও; মাত্রার ঘাতই ঠিক করে গুণকটা কত।

এবার 1 N কত ডাইন। বলের মাত্রা [MLT⁻²], তাই x = 1, y = 1, z = −2। SI-তে একক kg, m, s আর CGS-এ g, cm, s। বসালে n = (10³ g/1 g)(10² cm/1 cm)(1 s/1 s)⁻² = 10⁵। অর্থাৎ 1 N = 10⁵ dyne, আর রূপান্তর গুণক 10⁵ dyne/N। ধাপগুলো ক্রমে সাজাও।

উদাহরণ ১.৩(১): 50 N কত ডাইন? n এর বদলে 50 ধরে একই গুণক বসাও: 50 N = 50 × 1000 × 100 × 1 = 5×10⁶ dyne।

এই পদ্ধতিতে এককও বের করা যায়। উদাহরণ ১.৩(২): ত্বরণের একক 9.8 ms⁻² আর বেগের একক 3×10⁸ ms⁻¹ হলে সময়ের একক কত? ত্বরণ = বেগ ÷ সময়, তাই T = [v]/[a] = 3×10⁸/9.8 = 3.06×10⁷ s।

২. সমীকরণ নির্ভুল কি না

সমীকরণ যাচাই করতে উভয় দিকের মাত্রা আলাদা করে বের করো, তারপর মেলাও। মিললে সমীকরণ মাত্রাগতভাবে নির্ভুল।

আগের নোটের দাঁড়িপাল্লাটা আবার। এবার এই নোটের সমীকরণগুলো তোলো।

s = ut + ½at² দেখো। [s] = L, [ut] = LT⁻¹ × T = L, [½at²] = LT⁻² × T² = L। প্রতিটা পদের মাত্রা L, দুই দিক সমান, তাই সমীকরণ মাত্রাগতভাবে নির্ভুল। এবার ছয়টা সমীকরণ নিজে বিচার করো।

৩. সমীকরণ গড়া

যে রাশির সূত্র চাই, তাকে যেসব রাশির ওপর নির্ভরশীল মনে করো তাদের গুণফল হিসেবে লেখো, প্রতিটার ঘাত অজানা: x, y, z। তারপর দুই পক্ষের মাত্রা সমান করো। M, L, T প্রতিটার জন্য একটা করে সমীকরণ পাবে। ঘাতগুলো সেখান থেকে বেরিয়ে আসে।

সরল দোলকে ধরো T = K mˣ lʸ gᶻ। মাত্রা বসিয়ে M: x = 0, L: y + z = 0, T: −2z = 1। তাই x = 0, z = −½, y = ½, আর T = K√(l/g)। x = 0 মানে পর্যায়কাল ভরের ওপর নির্ভর করে না; T ∝ √l এবং T ∝ 1/√g। তবে K এর মান মাত্রা বিশ্লেষণ থেকে জানা যায় না।

গ্যাসে শব্দের বেগ v ধরো ঘনত্ব ρ আর স্থিতিস্থাপক গুণাঙ্ক E এর ওপর নির্ভরশীল: v ∝ ρˣEʸ। সমাধানে x = −½, y = ½, তাই v = K√(E/ρ)। পরীক্ষা থেকে K = 1, তাই v = √(E/ρ)।

টানা তারের কম্পাঙ্ক n ধরো টান T, দৈর্ঘ্য l আর একক দৈর্ঘ্যের ভর m এর ওপর নির্ভরশীল: n ∝ Tˣ lʸ mᶻ। এখানে T সময় নয়, টান, মাত্রা [MLT⁻²]। সমাধানে x = ½, y = −1, z = −½, তাই n = K(1/l)√(T/m)। পরীক্ষা থেকে K = ½, তাই n = (1/2l)√(T/m)।

তিনটা সম্পর্কই এবার নিজে বের করো। ঘাত বসাও, আর দেখো কোন লাইনে মাত্রা মেলে না।

মৌলিক রাশি বদলালেও একই চাল। গতিবেগ (v), সময় (T) আর বল (F) মৌলিক ধরলে ভরের মাত্রা [m] = [F][v]⁻¹[T] = Fv⁻¹T।

৪. যেখানে পদ্ধতি হার মানে

আটটা সীমাবদ্ধতা। এক: সমীকরণের ধ্রুবকের মান বের করা যায় না, যেমন T = 2π√(l/g) এর 2π। দুই: মাত্রাযুক্ত ধ্রুবক থাকলে, যেমন G, সম্পর্ক পাওয়া যায় না। তিন: মাত্রাহীন রাশি থাকলে, যেমন W = Fs cos θ এর cos θ, তার সঙ্গে সম্পর্ক জানা যায় না।

চার: L, M, T এর বেশি রাশির ওপর নির্ভরশীল হলে মাত্রা সমীকরণ গঠন করা যায় না, যেমন তাপ ও তাপমাত্রা। পাঁচ: মাত্রাহীন ধ্রুবকের মান বের করা যায় না। ছয়: সূচকীয়, ত্রিকোণমিতিক বা লগারিদমিক রাশি থাকলে, যেমন sin θ, সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করা যায় না।

সাত: স্কেলার আর ভেক্টর রাশি আলাদা করা যায় না। আট: একই মাত্রার রাশি একই নাও হতে পারে। টর্ক, কাজ ও শক্তি সবারই মাত্রা [ML²T⁻²], অথচ কাজ ও শক্তি স্কেলার, টর্ক ভেক্টর। প্রতিটা সীমাবদ্ধতাকে তার উদাহরণের সঙ্গে জোড়া দাও।

৫. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।

এবার দ্বিতীয়টা।

শেষটায় প্রতিটা পদের মাত্রা মিলিয়ে নাও।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ভৌতজগৎ ও পরিমাপ”, অনুচ্ছেদ ১.৭-১.৯।