পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.১৩
ত্রুটির সংযোজন, তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক ও রাউন্ড অফ।
দোলক দিয়ে g মাপতে গেলে দুটো জিনিস মাপো: সুতার দৈর্ঘ্য l আর দোলনকাল T। দুটোতেই একটু করে ভুল থাকে। প্রশ্ন হলো, সেই ভুলগুলো g তে গিয়ে কতটা হয়? উত্তরটা অবাক করে: T এর ভুল ঢোকে দ্বিগুণ হয়ে। এই নোটে আগে দেখবে ত্রুটি কীভাবে জোড়ে, তারপর শিখবে উত্তরে কয়টা অঙ্ক রাখতে হয় আর কীভাবে রাউন্ড করতে হয়।
১. ঘাতটাই গুণক
ধরো একটা রাশি x অন্য দুটো মাপা রাশি y আর z থেকে আসে, x = yᵐzⁿ। দুই পাশে লগারিদম নিয়ে অবকলন করলে পাই নিচের সম্পর্ক। প্রতিটা মাপের আপেক্ষিক ত্রুটি তার ঘাত দিয়ে গুণ হয়ে যোগ হয়। সবচেয়ে খারাপ অবস্থায় সব পদ একই দিকে যায়, তখন পাই সর্বোচ্চ সম্ভাব্য ত্রুটি।
δx/x = m δy/y + n δz/z
এর মানে সোজা: যে রাশির ঘাত বেশি, তার ভুলও ফলাফলে বেশি গুণ হয়ে ঢোকে। তাই যে রাশির শক্তি সংখ্যা (power number) সবচেয়ে বেশি, সেটা সবচেয়ে সতর্কতার সঙ্গে মাপতে হয়।
সূত্রে যাওয়ার আগে দোলকের ত্রুটির হিসাবটা নিজে টানো। l আর T এর ভুল বদলাও, দেখো g এর মোট ভুলে কার ভাগ কত।
T এর টুকরো দুবার কেন?
দোলকের সূত্র g = 4π²l/T² এ l এর ঘাত ১, T এর ঘাত ২ (হরে থাকলেও সর্বোচ্চ ত্রুটিতে চিহ্ন বাদ, পদটা যোগ হয়)। 4π² ধ্রুবক, তার কোনো ত্রুটি নেই। তাই
δg/g = δl/l + 2δT/T
T এর সামান্য ভুলও g তে দ্বিগুণ হয়ে যুক্ত হয়।
২. বইয়ের হিসাবগুলো
উদাহরণ ১.৫(১): l = (০.৮ ± ০.০১) m, T = (২.২ ± ০.১০) s। তাহলে Δg/g = ০.০১/০.৮ + ২ × ০.১০/২.২ = ০.০১২৫ + ০.০৯০৯ = ০.১০৩৪, অর্থাৎ ১০.৩৪%। দেখো, l এর অংশ মাত্র ১.২৫%, বাকি প্রায় সবটাই T থেকে।
উচ্চতর দক্ষতার একটা উদাহরণও একই ছাঁচে: দৈর্ঘ্য (০.৬ ± ০.০১) m, পর্যায়কাল (২.৪ ± ০.১২) s। Δg/g = ০.০১/০.৬ + ২ × ০.১২/২.৪ = ০.০১৬৭ + ০.১ = ১১.৬৭%।
উদাহরণ ১.৫(২): ধারক C = (২.৫ ± ০.১) μF, বিভব V = (২৫ ± ০.২) V। আধান Q = CV = ২.৫ × ১০⁻⁶ × ২৫ = ৬.২৫ × ১০⁻⁵ C। দুটোরই ঘাত ১, তাই ΔQ/Q = ΔC/C + ΔV/V = ৪% + ০.৮% = ৪.৮%। ΔQ = ০.০৪৮ × ৬.২৫ × ১০⁻⁵ = ০.৩ × ১০⁻⁵ C, আর উত্তর Q = (৬.২৫ ± ০.৩) × ১০⁻⁵ C।
গোলকের আয়তন V = (4/3)πR³, তাই R এর ঘাত ৩। উদাহরণ ১.৬(১) এ R = ৫.৩ ± ০.১, ফলে ΔV/V = ৩ΔR/R = ৩ × ০.১/৫.৩, আয়তনে শতকরা ত্রুটি ৫.৭%। একই কারণে ব্যাসার্ধে ২% ত্রুটি থাকলে আয়তনে ত্রুটি ৩ × ২% = ৬%।
ভাগফলেও আপেক্ষিক ত্রুটি যোগ হয়, বিয়োগ না। M = ১০০ ± ২ kg, V = ১০০ ± ৩ m³ হলে ঘনত্ব ρ = M/V = ১ kgm⁻³, শতকরা ত্রুটি ২% + ৩% = ৫%, তাই Δρ = ০.০৫ kgm⁻³।
উদাহরণ ১.৮(২): গোলকের ব্যাস D = ০.১১ cm, মাপা হয়েছে ০.০০১ cm লঘিষ্ঠ ধ্রুবকের যন্ত্রে। V ∝ D³, তাই ΔV/V = ৩ × ০.০০১/০.১১ = ০.০২৭, সর্বোচ্চ ত্রুটি ২.৭%।
উদাহরণ ১.৮(৩): M = ৯০ ± ০.০০১ g, V = ৯ ± ০.১ cm³। ρ = ৯০/৯ = ১০ gcm⁻³। dρ/ρ = ০.০০১/৯০ + ০.১/৯ = ০.০০০০১ + ০.০১১১১ = ০.০১১১২, শতকরা ত্রুটি ১.১১%, আর dρ = ০.১১১ gcm⁻³। ভরের ত্রুটি এখানে প্রায় শূন্য; পুরো ভার আয়তনের।
এবার নিজে জোড়ো। প্রথমে প্রতিটা পদের ঘাত বসাও, তারপর মোট শতকরা ত্রুটি লেখো।
কার ঘাত কত?
এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
৩. তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক
একটা পরিমাপে যতগুলো অঙ্ক পর্যন্ত সম্পূর্ণ নিশ্চিত হওয়া যায়, আর তার পরের একটা অনিশ্চিত অঙ্ক, এই অঙ্কগুলোকে তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক বলে। মিটার স্কেলে একটা দৈর্ঘ্য ২৬.৫ cm পেলে ২ আর ৬ নিশ্চিত, ৫ শেষ অনিশ্চিত অঙ্ক: তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক ৩টি।
নিয়মের আগে দেখো অঙ্কগুলো আসে কোথা থেকে। একই বস্তু তিনটা যন্ত্রে মাপো।
এক দৈর্ঘ্য, তিন যন্ত্র
বস্তুটার দৈর্ঘ্য মডেল, মাপা মান না।
গোনার তিনটা নিয়ম আগে। অশূন্য সব অঙ্ক তাৎপর্যপূর্ণ: ১৬৫৭ এ ৪টি। দুই অশূন্য অঙ্কের মাঝের শূন্য তাৎপর্যপূর্ণ: ৩৮০৭৫ এ ৫টি। আর প্রথম অশূন্য অঙ্কের বামের শূন্য তাৎপর্যহীন, ওরা শুধু দশমিকের জায়গা দেখায়: ০.০০০৩৮৫ এ ৩টি, ০.০০৫৬৯ এ ৩টি।
চতুর্থ নিয়ম: দশমিকের পরে ডানের শূন্য তাৎপর্যপূর্ণ, কারণ কেউ ওটা মেপে লিখেছে: ২৯.৫৭০ এ ৫টি, ২৭৮৯.০০ এ ৬টি। আর একক বদলাতে গিয়ে দশমিক সরালে অঙ্কের সংখ্যা বদলায় না: ৪০৮.০ m = ৪.০৮০ km, দুটোতেই ৪টি।
তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক গোনো
এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
৪. যোগে দশমিক, গুণে অঙ্ক
যোগ-বিয়োগে ফলাফলের দশমিকের পরে ততগুলো অঙ্কই থাকবে, যতগুলো আছে সবচেয়ে কম দশমিক-অঙ্কের সংখ্যাটায়। ১.২৫৬ + ২.৭ = ৩.৯৫৬, কিন্তু ২.৭ এর দশমিকের পরে একটাই অঙ্ক, তাই উত্তর ৪.০।
গুণ-ভাগে গোনা হয় তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্ক: উত্তরে ততগুলো, যতগুলো আছে সবচেয়ে কম অঙ্কের রাশিটায়। ২.৩১২ × ১.৫/১.৩২ = ২.৬২৭, কিন্তু ১.৫ এ মাত্র ২টি অঙ্ক, তাই উত্তর ২.৬।
উদাহরণ ১.৭(১): R = ২৫.৬৫ Ω, I = ২.৩৮ A, তাই V = IR = ৬১.০৪৭০ V। ২.৩৮ তিন অঙ্কের, তাই V = ৬১.০ V; শেষের শূন্যটা রাখতেই হবে। উদাহরণ ১.৭(২): ঘরের মেঝে ৫.২২ m × ৩.৬৫ m = ১৯.০৫৩, লেখো ১৯.১ m²; উচ্চতা ৩.৯২ m দিয়ে গুণ করলে আয়তন ৭৪.৬৮৭৭৬, লেখো ৭৪.৭ m³।
ছয়টা হিসাব। প্রতিটায় আগে নিয়ম বাছো, তারপর উত্তর লেখো।
যোগ না গুণ?
এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
৫. রাউন্ড অফ
অতিরিক্ত অঙ্ক ফেলে দেওয়ার নিয়ম। রাখা শেষ অঙ্কের পরের অঙ্কটা দেখো। সেটা ৫ এর বেশি হলে আগের অঙ্কের সাথে ১ যোগ: ৩.৭৮ ≈ ৩.৮। ৫ এর কম হলে আগের অঙ্ক যেমন আছে: ২.২৩ ≈ ২.২। আর ঠিক ৫ হলে আগের অঙ্কটা দেখো: অযুগ্ম হলে ১ যোগ (২.৭৫ ≈ ২.৮), যুগ্ম হলে অপরিবর্তিত (৩.৪৫ ≈ ৩.৪)।
নিয়মটা একটা সংখ্যারেখায় দেখো। বাদ পড়া অঙ্কটা টানো, দেখো সংখ্যাটা কোন প্রান্তে যায়। ঠিক ৫ এ থেমে অন্য সংখ্যাটাও বেছে দেখো।
কোন দিকে যাবে?
আটটা সংখ্যা। প্রতিটা বলা অঙ্কে রাউন্ড করো, আর দেখো কোন নিয়মটা খাটল।
রাউন্ড অফ করো
সব নিয়ম একসাথে, উদাহরণ ১.৭(৩): প্রতিসরাঙ্কের সাতটা পাঠ ১.৫৪, ১.৫৫, ১.৫২, ১.৫১, ১.৪৮, ১.৪৬, ১.৫০। যোগফল ১০.৫৬, গড় μ = ১০.৫৬/৭ = ১.৫১ (তিন অঙ্কে রাউন্ড)। গড় থেকে পরম ত্রুটিগুলোর যোগফল ০.১৭, তাই গড় পরম ত্রুটি ০.১৭/৭ = ০.০২৪। আপেক্ষিক ত্রুটি ০.০২৪/১.৫১ = ০.০১৬, অর্থাৎ ১.৬%।
৬. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটায় ঘাতটা খোঁজো।
প্রশ্ন ১
V = (4/3)πr³ সমীকরণে r -এর মান পরিমাপে যদি 2% ত্রুটি হয় তবে V নির্ণয়ে ত্রুটি হবে,
দ্বিতীয়টায় ঠিক ৫ এর নিয়ম।
প্রশ্ন ২
3.45 কে দুটি তাৎপর্যপূর্ণ অঙ্কে রাউন্ড করলে কত হয়?
শেষটায় আবার গোলক, এবার নিজের সংখ্যায়।
প্রশ্ন ৩
একটি গোলকের ব্যাসার্ধ R = (10 ± 0.1) cm হলে এর আয়তনের শতকরা ত্রুটি কত?
পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।
আটটা কার্ড
সূত্র: পদার্থবিজ্ঞান ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ভৌতজগৎ ও পরিমাপ”, অনুচ্ছেদ ১.১৩।