উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৭-১.৮

ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স এবং বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ধারণা।

[[৬, ৪], [৩, ২]] ম্যাট্রিক্সের দ্বিতীয় সারিটা প্রথম সারির অর্ধেক, নতুন কোনো কথা বলছে না। এমন ম্যাট্রিক্সকে উল্টানো যায় না। হিসাব শুরুর আগেই কীভাবে বুঝবে উল্টানো যাবে কি না? একটা সংখ্যা দেখলেই: নির্ণায়ক।

১. ব্যতিক্রমী না অব্যতিক্রমী

বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর নির্ণায়ক |A| = det(A) শূন্য হলে A কে ব্যতিক্রমী (singular) ম্যাট্রিক্স বলে, শূন্য না হলে অব্যতিক্রমী (non-singular)। যেমন A = [[৭, ৪], [১৪, ৮]] এর |A| = ৫৬ − ৫৬ = ০, তাই ব্যতিক্রমী। B = [[৫, ৬], [১০, ১৩]] এর |B| = ৬৫ − ৬০ = ৫, তাই অব্যতিক্রমী।

উদাহরণ ৩: A = [[−৮, ৫], [৭, −৪]] এর |A| = ৩২ − ৩৫ = −৩ ≠ ০, তাই A অব্যতিক্রমী ও বিপরীতযোগ্য। উদাহরণ ৪: B = [[৬, ৪], [৩, ২]] এর |B| = ১২ − ১২ = ০, তাই B ব্যতিক্রমী এবং B⁻¹ নির্ণয় করা যায় না।

অনুশীলনী ১(B) ১০: [[৬, ২], [৯, ৩]], [[২, ৫], [১০, ২৫]] ও [[২৮, ২৯, ৩০], [৩১, ৩৩, ৩৫], [৩৪, ৩৭, ৪০]] এর নির্ণায়ক ০, তাই এগুলো বিপরীতযোগ্য নয়। [[৪, ৪, ০], [৩, ৭, ৬], [−৩, ১১, ১৫]] এর নির্ণায়ক −৯৬ ≠ ০, তাই বিপরীতযোগ্য। এখন নিজে ভাগ করো: নির্ণায়ক হিসাব করে চিপটা বাক্সে ফেলো।

২. কোন মানে ব্যতিক্রমী?

ম্যাট্রিক্সে অজানা থাকলে আর ব্যতিক্রমী বলা থাকলে নির্ণায়ক = ০ ধরো, তারপর সমীকরণ সমাধান করো। অনুশীলনী ১(B) ১১: [[x + ৫, ৫], [৩, x − ৯]] ব্যতিক্রমী হলে (x + ৫)(x − ৯) − ১৫ = x² − ৪x − ৬০ = ০, তাই x = ১০ অথবা −৬।

অংশ ১.৩ এর ছবিটা মনে করো: দুই কলাম মিলে একটা সামান্তরিক আঁকে, আর এর ক্ষেত্রফলই নির্ণায়ক। এবার অজানাটা সরাও। x = ১০ বা −৬ এ কী হয়, দেখো।

দুই ক্রমের অন্য রূপ: [[m − ২, ৬], [২, m − ৩]] ব্যতিক্রমী হলে m² − ৫m − ৬ = (m − ৬)(m + ১) = ০, m = ৬, −১। [[k − ৩, −২], [−২, k − ২]] বিপরীতযোগ্য না হলে k² − ৫k + ২ = ০, k = (৫ ± √১৭)/২। [[২ − x, ১৩], [৫, ১০ − x]] ব্যতিক্রমী হলে x² − ১২x − ৪৫ = ০, x = ১৫, −৩।

তিন ক্রমেও একই পথ। [[১, ২, a], [৪, ৫, ৬], [৭, ৮, ৯]] ব্যতিক্রমী হলে নির্ণায়ক ৯ − ৩a = ০, a = ৩। [[১, λ, ৩], [২, ১, λ], [৫, ৪, ৭]] ব্যতিক্রমী হলে ৫λ² − ১৮λ + ১৬ = (λ − ২)(৫λ − ৮) = ০, λ = ২ অথবা ৮/৫। ছয়টা ম্যাট্রিক্সই নিচে আছে; একটা বেছে নিজের একটা মান বসিয়ে দেখো নির্ণায়ক কত হয়।

৩. বিপরীত ম্যাট্রিক্স

দুইটি ম্যাট্রিক্সের গুণফল একক ম্যাট্রিক্স হলে একটিকে অপরটির বিপরীত বলা হয়। বর্গ ম্যাট্রিক্স A এর জন্য একই ক্রমের ম্যাট্রিক্স B থাকলে যদি AB = BA = I হয়, তবে B কে A এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলে, লেখা হয় A⁻¹।

সবার বিপরীত থাকে না: শুধু অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স আছে। ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নেই।

সংজ্ঞাটা হাতে মিলিয়ে নাও। A = [[−৫/২, ২], [৩/২, −১]] আর B = [[২, ৪], [৩, ৫]] হলে AB = [[−৫ + ৬, −১০ + ১০], [৩ − ৩, ৬ − ৫]] = [[১, ০], [০, ১]] = I, আর BA = I। সুতরাং A = B⁻¹ এবং B = A⁻¹।

কাজ ১: B = [[২, ৩], [৪, ৬]] এর নির্ণায়ক ০। C = [[১, ৪, ৬], [২, ৬, ৪], [১, ৪, ৬]] এর প্রথম ও তৃতীয় সারি একই, নির্ণায়ক ০। দুটোরই বিপরীত নেই। A = [[−১, ২, −৩], [২, ১, ০], [৪, −২, ৫]] এর নির্ণায়ক −১ ≠ ০, তাই বিপরীত আছে।

৪. দুই ক্রমের বিপরীত

দুই ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স [[a, b], [c, d]] এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো (১/(ad − bc)) [[d, −b], [−c, a]]। কর্ণ বদল, বাকি দুইয়ের চিহ্ন বদল, তারপর নির্ণায়ক দিয়ে ভাগ: কর্ণের দুই ভূক্তি অদলবদল, অন্য দুই ভূক্তির চিহ্ন বদল।

অনুশীলনী ১(B) ১২: [[৩, ১], [৭, ৫]] এর নির্ণায়ক ৮, বিপরীত [[৫/৮, −১/৮], [−৭/৮, ৩/৮]]। [[৩, ৭], [২, ৬]] এর নির্ণায়ক ৪, বিপরীত [[৩/২, −৭/৪], [−১/২, ৩/৪]]।

ভূক্তি জটিল সংখ্যা হলেও একই সূত্র চলে। [[i, i], [২i, i]] (i² = −১) এর নির্ণায়ক i·i − i·২i = −i² = ১, তাই বিপরীত [[i, −i], [−২i, i]]। আবার [[৪, ৩], [৩, ২]] এর নির্ণায়ক −১, বিপরীত [[−২, ৩], [৩, −৪]]। নিচের যন্ত্রে চারটা ঘর বদলে নিজে বানিয়ে দেখো; যন্ত্র A·A⁻¹ ও মিলিয়ে দেয়।

বড় ক্রমের ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বের করার পদ্ধতি আর বিপরীতের নিয়মগুলো পরের নোটে।

৫. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্নটা পরীক্ষার ধাঁচে।

দ্বিতীয়টায় নির্ণায়কটা আগে লেখো।

শেষটায় চিহ্নের দিকে খেয়াল রাখো।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৭-১.৮।