উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৬

ধর্ম প্রয়োগ: নির্ণায়কের মান, প্রমাণ ও সমীকরণ।

অনুশীলনী ১(B) খুললে মনে হয় প্রতিটা নির্ণায়ক আলাদা ধাঁধা। আসলে প্রায় সবগুলো চারটা চালের কোনো একটায় খোলে: সমান যোগফলে সারি বা কলাম যোগ, শূন্য বানিয়ে বিস্তার, পাশাপাশি দুটোর বিয়োগে উৎপাদক, আর দুই সারি সমানুপাতিক দেখিয়ে শূন্য। আসল কাজ হলো প্রথম চালটা চেনা।

১. যোগফল সমান হলে কলাম যোগ করো

বইয়ের উদাহরণ-২: |৩ + x, ৪, ২ ; ৪, ২ + x, ৩ ; ২, ৩, ৪ + x| = ০ সমাধান করো (সারিগুলো ; দিয়ে আলাদা)। প্রতিটা সারির যোগফল x + ৯। তাই c₁′ = c₁ + c₂ + c₃ করলে প্রথম কলামের তিনটা ভূক্তিই x + ৯ হয়। (x + ৯) বাইরে আনলে প্রথম কলাম হয় ১, ১, ১। এবার r₁′ = r₁ − r₂ আর r₂′ = r₂ − r₃ করলে প্রথম কলামে দুটো শূন্য আসে, আর প্রথম কলাম বরাবর বিস্তার করে পাই (x + ৯)(x² − ৩) = ০। তাই x = −৯, ±√৩।

সমীকরণটা চোখে দেখো। x সরালে নির্ণায়কের ভূক্তি বদলায়, কিন্তু প্রতিটা সারির যোগফল সবসময় x + ৯ থাকে। রেখাটা যেখানে শূন্য ছোঁয়, সেখানে মূল। তিনটাই খুঁজে বের করো।

বোর্ড উত্তরের সাথে ধাপগুলোও ক্রমে চায়। ছয়টা ধাপ এলোমেলো আছে, ঠিক ক্রমে ট্যাপ করো।

একই চাল অন্য অঙ্কেও খাটে, শুধু সারির জায়গায় কলাম। অনুশীলনী ১(B) ৪(i): |a − b − c, ২a, ২a ; ২b, b − c − a, ২b ; ২c, ২c, c − a − b|। এখানে সারির যোগফল আলাদা, কিন্তু প্রতিটা কলামের যোগফল a + b + c। তাই r₁′ = r₁ + r₂ + r₃ করলে প্রথম সারি হয় (a + b + c)(১, ১, ১)। সেটা বাইরে এনে শূন্য বানালে মান (a + b + c)³।

ω একের জটিল ঘনমূল হলে (ω³ = ১, ১ + ω + ω² = ০) অনুশীলনী ১(v): |১, −ω, ω² ; −ω, ω², ১ ; ω², ১, −ω|। প্রতিটা সারির যোগফল −২ω (যেমন ১ − ω + ω² = −২ω), তাই c₁′ = c₁ + c₂ + c₃ করে −২ω বাইরে আনা যায়। মান −৪।

২. শূন্য বানাও, তারপর বিস্তার

সপ্তম ধর্ম বলে, এক সারি থেকে অন্য সারি বিয়োগ করলে মান বদলায় না। তাই বিস্তারের আগে যত পারো শূন্য বানাও। অনুশীলনী ১(B) ৩(i): |১, ১, ১ ; ১, ১ + x, ১ ; ১, ১, ১ + y| এ r₂′ = r₂ − r₁ আর r₃′ = r₃ − r₁ করলে পাই |১, ১, ১ ; ০, x, ০ ; ০, ০, y|। এটা ত্রিভুজাকার, মান কর্ণের গুণফল: xy।

উদাহরণ-১ এ শূন্য আসে একটু চালাকিতে। প্রমাণ করতে হবে |a, b, ax + by ; b, c, bx + cy ; ax + by, bx + cy, ০| = (b² − ac)(ax² + ২bxy + cy²)। তৃতীয় কলামটা প্রথম দুই কলামের মিশ্রণ, তাই c₃′ = c₃ − (x c₁ + y c₂) করলে উপরের দুটো ভূক্তি শূন্য হয়ে যায়।

সংখ্যার নির্ণায়কে কোনো শর্টকাট না দেখলে সরাসরি প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করো। অনুশীলনী ১(B) ১(i): |১০, −৫, ৩ ; ৪, ২০, ১১ ; −৩০, ১৫, ১৪| = ১০(২৮০ − ১৬৫) + ৫(৫৬ + ৩৩০) + ৩(৬০ + ৬০০) = ১১৫০ + ১৯৩০ + ১৯৮০ = ৫০৬০।

৩. বিয়োগ করে উৎপাদক

সারিতে a, b, c আর তাদের ঘাত থাকলে পাশের দুটো কলাম বিয়োগ করো। অনুশীলনী ১(B) ২(i): |১, ১, ১ ; a, b, c ; a³, b³, c³| এ c₁′ = c₁ − c₂ আর c₂′ = c₂ − c₃ করলে প্রথম কলামে a − b আর a³ − b³ আসে, দুটোতেই (a − b) উৎপাদক। একইভাবে দ্বিতীয় কলাম থেকে (b − c)। বাকিটা হিসাব করলে মান (a − b)(b − c)(c − a)(a + b + c)।

(a − b) কেন উৎপাদক, হাতে পরখ করো। a, b, c এর মান বদলাও। যেকোনো দুটো সমান করলেই দুটো কলাম এক হয়ে যায়, আর মান শূন্য।

এই চালেই আরও দুটো: ২(iv) |a², ab, b² ; ২a, a + b, ২b ; ১, ১, ১| = (a − b)³। আর ৫(i) |a, b, c ; a², b², c² ; a³, b³, c³| থেকে প্রতিটা কলামের a, b, c বাইরে আনলে ২(i) এর মতো একটা নির্ণায়ক থাকে, মান abc(a − b)(b − c)(c − a)।

উদাহরণ-৬(খ) একটু ঘুরিয়ে: |bc, a, a² ; ca, b, b² ; ab, c, c²|। সারিগুলোকে যথাক্রমে a, b, c দিয়ে গুণ করে বাইরে abc দিয়ে ভাগ করো। প্রথম কলাম হয় abc, abc, abc; সেটা বাইরে আনলে abc কেটে যায়, থাকে |১, a², a³ ; ১, b², b³ ; ১, c², c³| = (a − b)(b − c)(c − a)(ab + bc + ca)।

৪. মান শূন্য দেখানো

“দেখাও যে মান শূন্য” মানে সাধারণত দুটো সারি বা কলাম একই বা সমানুপাতিক বানাতে হবে। ২(ii): |p, a, b + c ; p, b, c + a ; p, c, a + b| এ c₃′ = c₃ + c₂ করলে তৃতীয় কলাম (a + b + c)(১, ১, ১), আর প্রথম কলাম আগে থেকেই p(১, ১, ১)। দুটো কলাম সমানুপাতিক, তাই মান ০।

লগের অঙ্কেও একই কৌশল। ২(vi): |log x, log y, log z ; log ২x, log ২y, log ২z ; log ৩x, log ৩y, log ৩z|। log ২x − log x = log ২, তাই r₂′ = r₂ − r₁ আর r₃′ = r₃ − r₁ করলে দ্বিতীয় সারি (log ২)(১, ১, ১), তৃতীয় সারি (log ৩)(১, ১, ১)। সারি দুটো সমানুপাতিক, মান ০।

৫(iv): |০, b − a, c − a ; a − b, ০, c − b ; a − c, b − c, ০|। কর্ণ শূন্য আর a_ij = −a_ji, অর্থাৎ বিপ্রতিসম। ট্রান্সপোজ করলে মান একই (দ্বিতীয় ধর্ম), আবার ট্রান্সপোজের প্রতিটা সারি থেকে −১ বাইরে আনলে মূলটাই ফিরে আসে। তাই D = (−১)³D = −D, মানে D = ০। বিজোড় ক্রমের বিপ্রতিসম নির্ণায়কের মান সবসময় ০।

এবার চালগুলো চেনার পালা। প্রতিটা নির্ণায়কের প্রথম চাল কোনটা?

৫. বিস্তার না করে প্রমাণ, আর আরও কিছু মান

অনুশীলনী ১(B) ৭ বলে “বিস্তার না করে প্রমাণ কর”। (i) এ c₂′ = c₂ + a c₁ দ্বিতীয় কলামে a ফিরিয়ে দেয় আর c₃′ = c₃ + b c₁ তৃতীয় কলামে b, তাই |১, x − a, y − b ; …| হয়ে যায় |১, x, y ; …|, আর সপ্তম ধর্মে মান একই। (iii) এ |b + c, c + a, a + b ; q + r, r + p, p + q ; y + z, z + x, x + y| = ২|a, b, c ; p, q, r ; x, y, z|: প্রতিটা ভূক্তি দুই সংখ্যার যোগফল, তাই ষষ্ঠ ধর্মে ভেঙে ফেলো; যে অংশে দুটো কলাম একই সেগুলো শূন্য, বাকি দুটো মিলে মূলটার ২ গুণ।

অনুশীলনী ১(ii) থেকে (iv) এর উত্তরগুলো মনে রাখার মতো। |x + y, x, y ; x, x + z, z ; y, z, y + z| = ৪xyz। |−a², ab, ac ; ab, −b², bc ; ac, bc, −c²| এ সারি থেকে a, b, c আর কলাম থেকে a, b, c বের করলে থাকে a²b²c² × |−১, ১, ১ ; ১, −১, ১ ; ১, ১, −১|, আর শেষেরটার মান ৪, তাই উত্তর ৪a²b²c²। আর |১, ১, ১ ; a, b, c ; a² − bc, b² − ca, c² − ab| = ০।

দুটো বড় প্রমাণ: ৬(i) |b² + c², ab, ca ; ab, c² + a², bc ; ca, bc, a² + b²| = ৪a²b²c² (সারিগুলোকে a, b, c দিয়ে গুণ করে কলাম থেকে a, b, c বের করে সরল করো), আর ৬(vi) |−২a, a + b, a + c ; b + a, −২b, b + c ; c + a, c + b, −২c| = ৪(a + b)(b + c)(c + a)।

সংখ্যার নির্ণায়ক প্রায় প্রতি বছর আসে। একটা বেছে মান লেখো, তারপর দেখো শর্টকাট ছিল কি না।

৬. নির্ণায়ক সমীকরণ

সমীকরণে x থাকলে লক্ষ্য একটাই: নির্ণায়কটাকে উৎপাদকে ভাঙো, তারপর প্রতিটা উৎপাদক শূন্য ধরো। অনুশীলনী ১(B) ৯(i): |x + a, a, a ; b, x + b, b ; c, c, x + c| = ০। r₁′ = r₁ + r₂ + r₃ করলে প্রথম সারিতে x + a + b + c বেরিয়ে আসে, মান x²(x + a + b + c), তাই x = ০, −(a + b + c)। ৯(ii): |২ + x, ৩, ১ ; ৩, ১ + x, ২ ; ১, ২, ৩ + x| = ০ উদাহরণ-২ এর যমজ, প্রতিটা সারির যোগফল x + ৬, তাই x = −৬, ±√৩।

মূল খুঁজে বের করো। একটা সমীকরণ বেছে নাও, তারপর x এর একটা মান বসিয়ে দেখো নির্ণায়ক শূন্য হয় কি না।

৭. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, তিনটাতেই উত্তর আসে বিস্তার ছাড়া। দুটো কলাম সমানুপাতিক বানানো যায় কি না দেখো।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৬।