উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৬

নির্ণায়কের ধর্মাবলি।

একটা নির্ণায়কের মান ২১। এর দুটো সারির জায়গা বদলালে মান কত হবে? পুরোটা আবার বিস্তৃত না করেই বলা যায়: −২১। নির্ণায়কের সাতটা ধর্ম এমনই সব ছোট সুবিধা, আর পরের টপিকের প্রতিটা হিসাব এদের ওপর দাঁড়িয়ে।

১. তিনটা সহজ ধর্ম

প্রথম ধর্ম: কোনো সারির (বা কলামের) সব ভূক্তি শূন্য হলে নির্ণায়কের মান শূন্য। কারণটা সোজা। ঐ সারি বরাবর বিস্তৃত করলে প্রতিটা পদে একটা করে 0 গুণ থাকে, তাই সব পদই শূন্য।

দ্বিতীয় ধর্ম: সারিগুলোকে কলাম আর কলামগুলোকে সারি করে দিলে মান বদলায় না, |Aᵗ| = |A|। তাই সারির জন্য যা বলা হয়, কলামের জন্যও তা চলে।

তৃতীয় ধর্ম: দুটো সারি (বা কলাম) পরস্পর অদলবদল করলে নির্ণায়কের সাংখ্যিক মান একই থাকে, কিন্তু চিহ্ন বদলে যায়।

২. দুই সারি একই হলে

চতুর্থ ধর্ম: দুটো সারি (বা কলাম) একই হলে নির্ণায়কের মান শূন্য।

বই এর কারণ দেখিয়েছে সারির রূপান্তর দিয়ে। ধরো r₁ = r₃। তখন r₁′ = r₁ − r₃ করলে প্রথম সারি পুরোটা শূন্য হয়ে যায়, আর এই রূপান্তরে মান বদলায় না (সপ্তম ধর্ম, একটু পরেই আসছে)। শূন্য সারি মানে মান শূন্য। কলামের বেলায় একই কাজ c₂′ = c₂ − c₃।

৩. গুণ, যোগ আর রূপান্তর

পঞ্চম ধর্ম: কোনো একটা সারির (বা কলামের) প্রতিটা ভূক্তিকে m দিয়ে গুণ করলে নির্ণায়কের মান m গুণ হয়। আগের মান D হলে নতুন মান mD। উল্টো দিকে পড়লে: এক সারির সাধারণ উৎপাদক নির্ণায়কের বাইরে আনা যায়।

ষষ্ঠ ধর্ম: কোনো সারির (বা কলামের) প্রতিটা ভূক্তি দুই সংখ্যার যোগফল হলে নির্ণায়ককে দুটো নির্ণায়কের যোগফল করে লেখা যায়। প্রথম কলামে দেখানো হলো (সারিগুলো ; দিয়ে আলাদা):

|a₁+k₁, b₁, c₁ ; a₂+k₂, b₂, c₂ ; a₃+k₃, b₃, c₃| = |a₁, b₁, c₁ ; a₂, b₂, c₂ ; a₃, b₃, c₃| + |k₁, b₁, c₁ ; k₂, b₂, c₂ ; k₃, b₃, c₃|

সপ্তম ধর্ম: একটা সারির (বা কলামের) ভূক্তির সাথে অপর এক বা একাধিক সারির অনুরূপ ভূক্তির k গুণিতক যোগ করলে মান অপরিবর্তিত থাকে। বই এটা ষষ্ঠ, পঞ্চম আর চতুর্থ ধর্ম দিয়ে প্রমাণ করেছে: যোগ ভেঙে দুই নির্ণায়ক হয়, দ্বিতীয়টা থেকে k বাইরে আসে, আর ভেতরে দুটো সারি একই, তাই সেটা শূন্য।

মিলানোর আগে ধর্মগুলো চালিয়ে দেখো। নিচে অংশ ৫ এর D = |২, ১, ১ ; ০, ৫, −২ ; ১, −৩, ৪| = ২১। একটা রূপান্তর চাপো, ভূক্তি বদলাবে আর মান সাথে সাথে নতুন করে হিসাব হবে।

সাতটা ধর্মকে সাতটা ফলের সাথে মেলাও। প্রতিবার একটাই প্রশ্ন: মান বদলায় কি?

৪. রূপান্তরের সংকেত পড়া

নির্ণায়কের হিসাবে সারি-কলামের রূপান্তর একটা সংকেতে লেখা হয়। r₁′ = r₁ − r₂ মানে প্রথম সারি থেকে দ্বিতীয় সারি বিয়োগ করে ফল প্রথম সারিতে বসানো। c₃′ = c₁ + c₂ + c₃ মানে তিনটা কলাম যোগ করে ফল তৃতীয় কলামে বসানো। r মানে সারি, c মানে কলাম, আর ডানে লেখা r₁, r₂ হলো পুরোনো সারি।

৫. একটা নির্ণায়কে সাতটা ধর্ম

ধরো D = |2, 1, 1 ; 0, 5, −2 ; 1, −3, 4| = 21। বিস্তৃত করে নিজে মিলিয়ে নিতে পারো। এবার একটা করে কাজ বেছে নাও আর নতুন মান লেখো, নির্ণায়ক আবার বিস্তৃত না করে। ঋণাত্মক হলে কিবোর্ডের হাইফেন (-) দিয়ে লেখো। এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।

একটা জায়গায় গুলিয়ে ফেলা সহজ। নির্ণায়কের এক সারি m দিয়ে গুণ করলে মান m গুণ হয়, কিন্তু ম্যাট্রিক্সের স্কেলার গুণিতক kA তে প্রতিটা ভূক্তিই k দিয়ে গুণ হয়। আর এই সাতটা ধর্ম নির্ণায়কের মান নিয়ে, ম্যাট্রিক্স নিয়ে না: ম্যাট্রিক্সের সারি অদলবদলে উল্টানোর মতো কোনো মান নেই, তাই লেখার সময় “নির্ণায়ক” শব্দটা রাখো।

৬. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা।

দ্বিতীয়টায় সাতটা ধর্মের কোনটা লাগে, আগে সেটা ঠিক করো।

শেষটা, আর মান বদলায় কি না সেটাই আবার প্রশ্ন।

পুরো নোটটা আটটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৬।