উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৫

নির্ণায়কের অনুরাশি ও সহগুণক।

একটা ভূক্তি ধরো, তার সারি আর কলাম ফেলে দাও। বাকি থাকে ছোট একটা নির্ণায়ক। ওই ছোট নির্ণায়ক আর একটা চিহ্ন থেকেই আসে সহগুণক, আর সহগুণক দিয়ে যেকোনো সারি বা কলাম ধরে নির্ণায়কের মান খোলা যায়। শেষে একটা চমক: ভুল সারির সহগুণক ধরলে যোগফল হয় ঠিক শূন্য।

১. ভূক্তি ধরো, সারি আর কলাম ফেলো

কোনো নির্ণায়কের একটা ভূক্তি ধরো। ভূক্তিটা যে সারিতে আর যে কলামে আছে, দুটোই বাদ দাও। বাকি সারি আর কলাম নিয়ে যে নির্ণায়ক গড়ে, সেটাই ঐ ভূক্তির অনুরাশি (minor)।

অনুরাশির সামনে ঠিক চিহ্নটা বসালে পাই ভূক্তির সহগুণক (cofactor)। (p, q)-তম ভূক্তির চিহ্ন (−1)^p+q, তাই সহগুণক = (−1)^p+q × অনুরাশি। p + q জোড় হলে চিহ্ন +, বিজোড় হলে −।

তিন ক্রমের নির্ণায়কে চিহ্নগুলো দাবার ছকের মতো সাজানো: প্রথম সারি + − +, দ্বিতীয় সারি − + −, তৃতীয় সারি + − +।

ভূক্তিগুলো ছোট হাতের অক্ষরে লিখলে সহগুণক লেখা হয় বড় হাতের অক্ষরে। প্রথম সারিতে a, দ্বিতীয়তে b, তৃতীয়তে c ধরলে (1, 1)-তম সহগুণক A₁₁ = b₂₂c₃₃ − b₂₃c₃₂, আর (1, 2)-তম সহগুণক A₁₂ = −(b₂₁c₃₃ − b₂₃c₃₁)।

২. অনুরাশি আর সহগুণক হাতে কষা

দুই ক্রমে অনুরাশি হলো বিপরীত কোণের ভূক্তি: det[[১, ০], [−২, ৫]] এর (২, ২)-তম অনুরাশি ১, (১, ২)-তম সহগুণক −(−২) = ২, আর মান ৫। তিন ক্রমে det[[১, ২, ৩], [−১, ২, −৩], [৪, −৫, ১]] এর (২, ৩)-তম অনুরাশি det[[১, ২], [৪, −৫]] = −৫ − ৮ = −১৩। det[[২, ১, ১], [০, ৫, x], [১, −৩, ৪]] এর a₁₂ এর অনুরাশি det[[০, x], [১, ৪]] = −x; এটা −২ হলে x = ২। আর det[[১, ২, ৩], [২, ৩, ৪], [১, ৫, ৭]] এর (৩, ২)-তম সহগুণক (−1)³⁺² det[[১, ৩], [২, ৪]] = −(৪ − ৬) = ২। নিচের ছকে নিজে করে দেখো: ভূক্তি ধরো, অনুরাশি আসবে, তারপর চিহ্নটা তুমি বাছো।

একই নিয়ম বড় ছকেও চলে। det[[৭, −৭, ০], [−১, ২, −১], [৫, p, ৩]] এ p এর সহগুণক (−1)³⁺² det[[৭, ০], [−১, −১]] = −(−৭) = ৭, আর নির্ণায়কের মান ৫৬ + ৭p। চার ক্রমের det[[২, −৩, ৭, ৫], [৩, ২০৫, ১, ৪], [৩, −১, ৯৭, ৪], [০, −৭, k, ৭]] এ ১ (২য় সারি, ৩য় কলাম) এর সহগুণক (−1)²⁺³ det[[২, −৩, ৫], [৩, −১, ৪], [০, −৭, ৭]] = −(৪২ + ৬৩ − ১০৫) = ০।

৩. সহগুণকে বিস্তৃতি

সহগুণক জানা থাকলে নির্ণায়ক খোলা সহজ: D = a₁₁A₁₁ + a₁₂A₁₂ + a₁₃A₁₃। এটা প্রথম সারি বরাবর বিস্তৃতি; যেকোনো সারি বা কলাম বরাবরই একই কাজ করা যায়।

এর পেছনে দুটো সিদ্ধান্ত। এক, একটা সারির (বা কলামের) ভূক্তিকে নিজ নিজ সহগুণক দিয়ে গুণ করে যোগ করলে নির্ণায়কের মান আসে। দুই, অন্য সারির অনুরূপ ভূক্তির সহগুণক দিয়ে গুণ করে যোগ করলে যোগফল ০। অনুশীলনী 1(B) এর ৮ নম্বরে এটাই: a₂A₁ + b₂B₁ + c₂C₁ = 0। নিচে একটা নির্ণায়কে তিনভাবে পদগুলো লিখে মিলিয়ে নাও।

৪. সহগুণক ম্যাট্রিক্স

ম্যাট্রিক্সের প্রতিটা ভূক্তির জায়গায় তার সহগুণক বসালে পাই সহগুণক ম্যাট্রিক্স। E = [[০, ১, ১], [১, ২, ০], [৩, −১, ৪]] এর জন্য উত্তর [[৮, −৪, −৭], [−৫, −৩, ৩], [−২, ১, −১]]। নয়টা ঘর নিজে ভরো; চিহ্নের নকশা মাথায় রাখলেই চলবে। মনে রেখো, এটা সহগুণক ম্যাট্রিক্সই, এর ট্রান্সপোজ অ্যাডজয়েন্ট, যা পরের বিষয়ে আসবে।

সৃজনশীল প্রশ্নেও একই হিসাব। B = [[৩, ৫, ২], [৪, −৩, −৪], [৬, ১, −১]] এ (৩, ১) ভূক্তির অনুরাশি det[[৫, ২], [−৩, −৪]] = −১৪। সহগুণকগুলো B₁₃ = ২২, B₂₁ = ৭, B₃₂ = ২০, B₂₂ = −১৫, তাই 2B₁₃ + 8B₂₁ − 2B₃₂ + 4B₂₂ = ৪৪ + ৫৬ − ৪০ − ৬০ = ০। আরেকটায় det[[৪, ৩, ২], [−১, ০, −৩], [৭, ৫, −৬]] এর (১, ২)-তম অনুরাশি det[[−১, −৩], [৭, −৬]] = ৬ + ২১ = ২৭, আর (৩, ১)-তম সহগুণক det[[৩, ২], [০, −৩]] = −৯।

শেষ উদাহরণ: B = [[১, −২, ৩], [২, ১, ২], [৩, ২, ১]] হলে B₁₁ = ১ − ৪ = −৩ এবং B₃₃ = ১ + ৪ = ৫, তাই B₁₁ + B₃₃ = ২।

৫. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্নটা পরীক্ষার ধাঁচে।

দ্বিতীয়টায় চিহ্নটা খেয়াল করো।

তৃতীয়টা শেষ বাঁক।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৫।