উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৩-১.৪

নির্ণায়ক ও নির্ণায়কের মান নির্ণয়।

দুটো ছক, একই সংখ্যা: একটা [ ] এ, আরেকটা | | এ। প্রথমটা সাজানো সংখ্যার বিন্যাস, দ্বিতীয়টা মাত্র একটা সংখ্যা। দুই দাঁড়ির ভেতরের ছক থেকে সেই এক সংখ্যা বের করার তিনটা উপায় এই নোটে শিখব।

১. নির্ণায়ক একটা ফাংশন

যে নিয়মে প্রতিটা বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য একটা করে সংখ্যা পাওয়া যায়, তাকে নির্ণায়ক বলে। অর্থাৎ নির্ণায়ক একটা ফাংশন: ডোমেনের প্রতিটা উপাদান একটা বর্গ ম্যাট্রিক্স, আর রেঞ্জের প্রতিটা উপাদান একটা বাস্তব বা জটিল সংখ্যা। n ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স A = [a_ij] এর নির্ণায়ক লেখা হয় det(A) বা |A| দিয়ে। বিস্তার করলে সেটা একটা নির্দিষ্ট সংখ্যা হয়ে যায়।

ম্যাট্রিক্স আর নির্ণায়ক এক জিনিস না। ম্যাট্রিক্স সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস, যেকোনো m × n ক্রমের হতে পারে, লেখা হয় [ ] বা ( ) এ। নির্ণায়ক শুধু বর্গ ম্যাট্রিক্সের হয়, লেখা হয় | | বা det এ, আর তার মান একটাই সংখ্যা।

২. এক ক্রম আর দুই ক্রম

এক ক্রমের নির্ণায়ক সবচেয়ে সোজা: একটা সারি, একটা কলাম, মান ওই সংখ্যাটাই। |a₁₁| = a₁₁। তাই |৫| = ৫ আর |−৬| = −৬। এখানে | | মানে পরম মান না, নির্ণায়ক।

দুই ক্রমে লাগে দুটো গুণফল: ↘ বরাবর গুণফল থেকে ↙ বরাবর গুণফল বিয়োগ।

det[[a₁₁, a₁₂], [a₂₁, a₂₂]] = a₁₁a₂₂ − a₁₂a₂₁

উদাহরণ: det[[৭, −২], [৮, −২]] = ৭(−২) − (−২)(৮) = −১৪ + ১৬ = ২।

সংখ্যা বদলে দেখো: ↘ গুণফল থেকে ↙ গুণফল বাদ। ডানের ছবিতে দুই কলাম মিলে একটা সামান্তরিক আঁকে।

৩. সারাস ডায়াগ্রাম

তিন ক্রমে বইয়ের প্রথম পদ্ধতি সারাস ডায়াগ্রাম। ভূক্তিগুলো পাশাপাশি দুইবার লেখো, তারপর প্রতিটা ↘ বরাবর গুণফলের আগে + আর প্রতিটা ↙ বরাবর গুণফলের আগে − বসিয়ে যোগ করো:

|A| = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃

ছয় রেখা একসাথে আঁকলে ছক ঘন হয়ে যায়, তাই একটা একটা করে বাড়াও। ধনাত্মক তিন রেখা নীল, ঋণাত্মক তিন রেখা লাল। শেষে নিজের মানটা ঘরে লেখো। এটা কোথাও যাচ্ছে না, খাতাটা তোমার।

বইয়ের কাজে সারাস লাগালে det[[১, ৪, ০], [−১, ২, ২], [০, ০, ২]] = ১২ আর det[[p, q, r], [০, x, y], [০, ০, z]] = pxz আসে। দ্বিতীয়টায় মুখ্য কর্ণের নিচে সব শূন্য, তাই ছয় গুণফলের মধ্যে একটাই বাঁচে। এটাই নিয়ম: ত্রিভুজাকার (ঊর্ধ্ব বা নিম্ন) বা কর্ণ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান মুখ্য কর্ণের ভূক্তিগুলোর গুণফল। det[[২, ৪, ৬], [০, ৮, ১০], [০, ০, ১২]] = ২ × ৮ × ১২ = ১৯২।

উৎপাদক চিহ্নও ভূক্তি হতে পারে। det[[২!, ৩!, ২!], [৩!, ২!, ৪!], [০!, ৩!, ২!]] এ ০! = ১ ধরতে হয়, শূন্য না। তখন ভূক্তিগুলো ২, ৬, ২; ৬, ২, ২৪; ১, ৬, ২ আর মান = ২(৪ − ১৪৪) − ৬(১২ − ২৪) + ২(৩৬ − ২) = −২৮০ + ৭২ + ৬৮ = −১৪০।

৪. সারি বা কলাম ধরে বিস্তার

দ্বিতীয় পদ্ধতি বিস্তার। প্রথম সারি বরাবর: (১, ১)-তম ভূক্তি × তার অবশিষ্ট নির্ণায়ক, বিয়োগ (১, ২)-তম ভূক্তি × তার অবশিষ্ট নির্ণায়ক, যোগ (১, ৩)-তম ভূক্তি × তার অবশিষ্ট নির্ণায়ক।

|A| = a₁₁(a₂₂a₃₃ − a₂₃a₃₂) − a₁₂(a₂₁a₃₃ − a₂₃a₃₁) + a₁₃(a₂₁a₃₂ − a₂₂a₃₁)

উদাহরণ: det[[২, ১, ১], [০, ৫, −২], [১, −৩, ৪]] = ২·det[[৫, −২], [−৩, ৪]] − ১·det[[০, −২], [১, ৪]] + ১·det[[০, ৫], [১, −৩]] = ২(২০ − ৬) − (০ + ২) + (০ − ৫) = ২৮ − ২ − ৫ = ২১। সারাসের ২১ এর সাথে মিলল।

প্রথম সারিই বাধ্যতামূলক না। যেকোনো সারি বা কলাম বরাবর বিস্তার করলে একই মান আসে, শুধু (p, q)-তম ভূক্তির চিহ্ন হবে (−১)^p+q। চিহ্নগুলো দাবার ছকের মতো পালা করে: + − +, − + −, + − +। পাঁচটা চিপে ট্যাপ করে মিলিয়ে নাও।

একই নির্ণায়ক চার পথে ২১ দিল, তাই পথ বাছাই নিজের সুবিধার। যে সারি বা কলামে সবচেয়ে বেশি শূন্য, সেটা ধরলে হিসাব ছোট হয়। det[[০, ৩, ২x + ৭], [২, ৭x, ৯ + ৫x], [০, ০, ২x + ৫]] কে ১ম কলাম বরাবর বিস্তৃত করলে −২·৩(২x + ৫) = −৬(২x + ৫) পাই, যা ০ হয় x = −৫/২ এ।

৫. নির্ণায়ক শূন্য হলে অজানা বের করা

পরীক্ষায় প্রায়ই নির্ণায়কের ভেতরে x বা p থাকে, আর বলা হয় নির্ণায়কটা শূন্য। কাজ তিন ধাপে: বিস্তার করো, সরল করে সমীকরণ বানাও, তারপর অজানাটা বের করো। আগে নিজে ভাবো, উত্তরটা ঘরে লেখো, তারপর “বিস্তার দেখো” বেছে মিলিয়ে নাও।

৬. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে।

দ্বিতীয়টা একটু অন্য দিক থেকে।

শেষটায় চিহ্নগুলো খেয়াল করো।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৩-১.৪।