উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.২
ম্যাট্রিক্সের গুণ ও ম্যাট্রিক্সের ঘাত।
A আর B গুণ করতে বসেছ। AB বের হলো, কিন্তু BA চাইতেই লেখা হলো “নির্ণয় সম্ভব নয়”। ভুল তোমার না। ম্যাট্রিক্সের গুণে সংখ্যা গুণ করার আগে ক্রম দেখতে হয়।
১. গুণ হবে কি, ক্রম কত
AB নির্ণয় করতে হলে A এর কলাম সংখ্যা আর B এর সারি সংখ্যা সমান হতে হবে। A (m × n) এবং B (n × r) হলে AB এর ক্রম m × r।
AB বের হলেও BA বের না-ও হতে পারে। BA এর জন্য B এর কলাম সংখ্যা r আর A এর সারি সংখ্যা m সমান হতে হয়। সমান না হলে BA নির্ণয় করা যায় না।
গুণ হবে কি, ক্রম কত?
প্রথম চারটা বইয়ের উদাহরণ। নিজের সংখ্যা লিখলে সেটা কোথাও যাচ্ছে না, খাতাটা তোমার।
২. একটা ভূক্তি কীভাবে বানাই
AB এর (i, j)-তম ভূক্তি পেতে A এর i-তম সারির ভূক্তিগুলোকে B এর j-তম কলামের অনুরূপ ভূক্তি দিয়ে গুণ করো, তারপর যোগ করো। A = [[২, ২, −৩], [৫, ০, ২], [২, −১, ১]] আর B = [[৩, −১, ২], [৪, ২, ৫], [১, −৩, −৪]] নিলে (১, ২)-তম ভূক্তি = ২(−১) + ২·২ + (−৩)(−৩) = ১১। আর (২, ৩)-তম ভূক্তি = ৫·২ + ০·৫ + ২(−৪) = ২।
পুরোটা করলে AB = [[১১, ১১, ২৬], [১৭, −১১, ২], [৩, −৭, −৫]]। নিচের ছকে AB এর ঘরে ঘরে ট্যাপ করে মিলিয়ে নাও।
সারি × কলাম
হাতে আঁকা ছক। সংখ্যাগুলো বইয়ের, প্রতিটা ঘর সারি ধরে কলাম বেয়ে হিসাব করা।
উদাহরণ-২ এ A = [[১, ২], [৩, ৪], [০, ১]] (৩ × ২), B = [[৪, ৩], [২, ১]] আর C = [[১, ২], [২, ৩]]। তখন AB = [[৮, ৫], [২০, ১৩], [২, ১]] আর BC = [[১০, ১৭], [৪, ৭]]। কিন্তু B এর কলাম ২, A এর সারি ৩। মেলে না, তাই BA নির্ণয় সম্ভব নয়।
৩. AB আর BA এক নয়
নিয়মটা পড়ার আগে নিজে দেখো। A একই রেখে B বদলাও, আর AB আর BA পাশাপাশি রেখে মেলাও। যে ভূক্তি আলাদা, সেটা লাল।
AB আর BA, একসাথে
B = I আর B = A আমাদের নিজের বাছাই, তুলনার জন্য।
সাধারণত AB ≠ BA। ম্যাট্রিক্সের গুণে বিনিময় বিধি খাটে না। A = [[১, ৬], [−৩, ৫]] আর B = [[৪, ০], [২, −১]] হলে AB = [[১৬, −৬], [−২, −৫]], কিন্তু BA = [[৪, ২৪], [৫, ৭]]।
তবে কখনো কখনো AB = BA = I হয়ে যায়। A = [[৩, −৪, ২], [−২, ১, ০], [−১, −১, ১]] আর B = [[১, ২, −২], [২, ৫, −৪], [৩, ৭, −৫]] এর জন্য AB = BA = I₃।
AB = BA হয় কি?
৪. সহযোজন, সারি আর কলাম, একক ম্যাট্রিক্স
গুণে সহযোজন বিধি খাটে: (AB)C = A(BC)। উদাহরণ-৩ এ A = [[১, −১], [০, ২]], B = [[১, ৩, ০], [২, ০, ১]], C = [[২], [৩], [৪]]। তাহলে AB = [[−১, ৩, −১], [৪, ০, ২]] আর (AB)C = [[৩], [১৬]]। অন্যদিকে BC = [[১১], [৮]] আর A(BC) = [[৩], [১৬]]। দুই পথেই একই উত্তর।
সারি ম্যাট্রিক্স (১ × n) গুণ কলাম ম্যাট্রিক্স (n × ১) হয় ১ × ১ ম্যাট্রিক্স। আর কলাম গুণ সারি হয় n × n ম্যাট্রিক্স। যেমন [৩, ২, −১] × [[৪], [৩], [৮]] = [১০], আর [[৩], [৯], [০]] × [১, ২, ৫] = [[৩, ৬, ১৫], [৯, ১৮, ৪৫], [০, ০, ০]]।
একাধিক ম্যাট্রিক্সের রাশিতে ক্রম মিলিয়ে ধাপে ধাপে এগোও। A (৪ × ৫), B (৫ × ৪), C (৪ × ২) হলে Aᵗ হয় ৫ × ৪ আর B ও ৫ × ৪, তাই Aᵗ + B হয় ৫ × ৪। তারপর (Aᵗ + B)C এর ক্রম ৫ × ২। ওপরের যন্ত্রে চার নম্বর উদাহরণটা বেছে মিলিয়ে নাও।
I একক ম্যাট্রিক্স হলে AI = IA = A আর I² = I। তাই A = I₃ হলে A² + ২A = I + ২I = ৩A।
৫. ম্যাট্রিক্সের ঘাত আর বহুপদী
ঘাত মানে বারবার গুণ। × A চাপো, A থেকে A², তারপর A³। A² এ পৌঁছালে দেখো A² + ২A − ১১I কী দাঁড়ায়।
A, A², A³
ম্যাট্রিক্সের বহুপদী f(A) বের করতে ধ্রুবক পদকে I এর গুণিতক করে লিখতে হয়। A = [[৩, ২], [৫, −১]] হলে A² − ৫A + ৬I = [[১৯, ৪], [১০, ১১]] − [[১৫, ১০], [২৫, −৫]] + [[৬, ০], [০, ৬]] = [[১০, −৬], [−১৫, ২২]]। ধ্রুবক পদ ৬ কে লিখতে হলো ৬I।
f(A) বের করি
প্রথম তিনটা বইয়ের উদাহরণ। নিজের সংখ্যা লিখলে সেটা কোথাও যাচ্ছে না, খাতাটা তোমার।
A = [[১, ২], [৪, −৩]] হলে A² = [[৯, −৪], [−৮, ১৭]], A³ = [[−৭, ৩০], [৬০, −৬৭]] আর A² + ২A − ১১I = ০। আবার A = [[১, ২], [৩, −৪]] এ A² = [[৭, −৬], [−৯, ২২]], A³ = [[−১১, ৩৮], [৫৭, −১০৬]] ও A² + ৩A − ১০I = ০। যন্ত্রে দুটোই বেছে মিলিয়ে নাও।
(A + B)² = A² + AB + BA + B²। AB আর BA সমান না-ও হতে পারে, তাই এটাকে A² + ২AB + B² লেখা যায় না। A = [[১, −১], [−১, ১]] আর B = [[−১, ১], [১, −১]] নিলে A + B = ০ আর B² = A²। তাই (A + B)² = ০ = A² − B²।
৬. বইয়ের লাভের হিসাব, আর অজানা বের করা
উদাহরণ-৫(খ) এ লাভ ম্যাট্রিক্স P = বিক্রয়মূল্য − খরচ = [৩৮, ২২, ৬২] − [২৭, ১৪, ৩৯] = [১১, ৮, ২৩]। বিক্রির ম্যাট্রিক্স B = [[২, ৫, ৩], [৬, ৭, ৫], [৫, ৩, ৪]], যার সারি জগ, মগ, বালতি আর কলাম ঢাকা, চট্টগ্রাম, বরিশাল। তাহলে PB = [১৮৫, ১৮০, ১৬৫]। দৈনিক মোট লাভ ৫৩০ টাকা, আর জুন মাসে ৩০ × ৫৩০ = ১৫৯০০ টাকা।
গুণফল দেওয়া থাকলে অজানা বের করা যায়। [[x, ৩], [−২, y]] × [[২], [৫]] = [[০], [০]] হলে সারি × কলামে ২x + ১৫ = ০ আর −৪ + ৫y = ০। তাই x = −১৫/২ আর y = ৪/৫।
৭. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটায় ক্রম মেলাও।
প্রশ্ন ১
দুটি ম্যাট্রিক্স A ও B এর মাত্রা যথাক্রমে p × q এবং n × r হলে, AB নির্ণয়ের শর্ত কোনটি?
দ্বিতীয়টায় সারি আর কলাম ধরে হিসাব করো।
প্রশ্ন ২
A ও B ম্যাট্রিক্সের ক্রম যথাক্রমে 5 × 3 ও 3 × 4 হলে AB ম্যাট্রিক্সের ক্রম কোনটি?
শেষটায় চিহ্নের দিকে খেয়াল রেখো।
প্রশ্ন ৩
A = [[1, 2, 3], [4, 5, 6]], B = [[7], [8], [9]] হলে AB এর ক্রম কত?
পুরো নোটটা ছয়টা কার্ডে।
ছয়টা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.২।