উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.২
ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও স্কেলার গুণিতক।
দুটো ম্যাট্রিক্স যোগ করা যাবে কি না, একটা ভূক্তি না পড়েই বলা যায়। শুধু দেখতে হয় দুটোর ক্রম এক কি না। এক হলে কাজটা সোজা: একই ঘরের দুই সংখ্যা নিয়ে যোগ বা বিয়োগ। আর ঘরে ঘরে মিলিয়ে অজানা বের করা যায়।
১. ম্যাট্রিক্স কখন সমান
দুইটি ম্যাট্রিক্সকে সমান বলা হয় যদি দুটোর ক্রম সমান হয় এবং অনুরূপ ভূক্তিগুলো পরস্পর সমান হয়। A = [[x, −৪], [৭, ৩]] আর B = [[৬, −৪], [৭, ৩]] এর ক্রম একই, আর x = ৬ হলে প্রতিটা ঘর মিলে যায়, তাই A = B।
ক্রম আলাদা হলে ভূক্তি যা-ই হোক, ম্যাট্রিক্স দুটি কখনো সমান নয়। C = [[১, ২, ৬], [৩, ৪, ৭]] এর ক্রম ২ × ৩, আর A এর ২ × ২। ক্রম আলাদা বলে A ≠ C।
অজানা খুঁজতে অনুরূপ ঘর সমান করে সমীকরণ লেখো। [[২, ৫, ৭], [৬, ৮, −৯], [৪, ০, ০]] + [[−৬, ৮, −x], [২, y, −৯], [১, z, ২]] = [[−৪, ১৩, ৭], [৮, ৮, −১৮], [৫, ০, ২]] হলে ৭ − x = ৭, ৮ + y = ৮ আর ০ + z = ০ পাই। তাই x = y = z = ০। যোগ কীভাবে হয়, সেটা এবার দেখো।
২. ঘরে ঘরে যোগ-বিয়োগ
A আর B সমান ক্রমের হলে A + B এর প্রতিটা ভূক্তি A ও B এর অনুরূপ ভূক্তির যোগফল, আর A − B এর প্রতিটা ভূক্তি অনুরূপ ভূক্তির বিয়োগফল। ফলের ক্রম A ও B এর ক্রমের সমান।
যোগের আগে দুই ম্যাট্রিক্সকে একটার ওপর আরেকটা রাখো। A আর B এর সারি ও কলাম বদলাও, দেখো কোন ঘরের জোড়া মেলে আর কোনটা একা পড়ে থাকে।
কোন ঘরের জোড়া আছে?
ক্রম এক না হলে যোগ বা বিয়োগ করা যায় না। A (৩ × ৩), B (৩ × ২), C (৩ × ১), D (৩ × ৩) এর মধ্যে A − D সম্ভব, কিন্তু A + B ও B − C সম্ভব নয়। নিচে নিজে বাছাই করো।
ক্রম মিলেছে?
৩. যোগে ক্রম বদলানো যায়, বিয়োগে যায় না
A + B = B + A সবসময় সত্য। কিন্তু A − B = B − A কেবল A = B হলে; A ≠ B হলে A − B ≠ B − A। A = [[১, ২], [৩, ৪]], B = [[২, −১], [০, ১]] নিলে A + B = B + A = [[৩, ১], [৩, ৫]]। অথচ A − B = [[−১, ৩], [৩, ৩]] আর B − A = [[১, −৩], [−৩, −৩]]।
বইয়ের উদাহরণ ১ একই কথা বড় ম্যাট্রিক্সে দেখায়। A = [[৮, ৪, −১], [০, ১, ৩], [৫, ৪, ৮]] আর B = [[−৪, ৬, ২], [১, ৩, ৭], [৫, ৪, ১]] হলে A + B = [[৪, ১০, ১], [১, ৪, ১০], [১০, ৮, ৯]]। A − B = [[১২, −২, −৩], [−১, −২, −৪], [০, ০, ৭]] আর B − A = [[−১২, ২, ৩], [১, ২, ৪], [০, ০, −৭]]। তাই A + B = B + A, কিন্তু A − B ≠ B − A।
৪. স্কেলার গুণিতক
A একটা ম্যাট্রিক্স আর k একটা ধ্রুবক হলে kA হলো সেই ম্যাট্রিক্স, যার প্রতিটা ভূক্তি A এর অনুরূপ ভূক্তির সাথে k এর গুণফল। A = [[২, ৩, ৪], [১, ২, ১০]] হলে kA = [[২k, ৩k, ৪k], [k, ২k, ১০k]]।
এবার নিজে হিসাব করো। প্রতিটা ঘরে আগে k দিয়ে গুণ, তারপর যোগ বা বিয়োগ। চারটা হিসাবের একটা বেছে নাও, তারপর ঘর ধরে ঘর ফল লেখো।
একই ঘরের দুই ভূক্তি
এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
বইয়ের অনুশীলনী ১(A) এর প্রথম দুটো এই চারটার মধ্যেই আছে। A = [[২, −৫, ১], [৩, ০, −৪]], B = [[১, −২, −৩], [০, −১, ৫]] হলে ৩A + ৪B = [[১০, −২৩, −৯], [৯, −৪, ৮]]। আর A = [[৩, ১, −১], [২, ৩, ৪], [−৪, ৫, ৬]], B = [[১, −৪, ৬], [২, ০, −৭], [৩, ৫, ০]] হলে ৭A − ৫B = [[১৬, ২৭, −৩৭], [৪, ২১, ৬৩], [−৪৩, ১০, ৪২]]।
৫. যোগফল আর বিয়োগফল জানা থাকলে
P + Q আর P − Q জানা থাকলে যোগ করে ২P = (P + Q) + (P − Q) পাই, আর বিয়োগ করে ২Q = (P + Q) − (P − Q)। তারপর ২ দিয়ে ভাগ। P + Q = [[৩, −১], [−৪, ২]] আর P − Q = [[৫, ৭], [৬, −২]] হলে Q = [[−১, −৪], [−৫, ২]], আর P = [[৪, ৩], [১, ০]]।
এই পদ্ধতিতে প্রতিটা অজানা একটা ঘরের সমীকরণ থেকে আসে, ঠিক ১ নম্বর অংশের মতো। তিনটা সমস্যা থেকে একটা বেছে অজানা ঘরগুলো লেখো। ভুল হলে কোন ঘরের সমীকরণ দেখতে হবে, সেটা নিচে আসবে।
অজানা বের করি
এটা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
৬. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।
প্রশ্ন ১
[[2x − y, 5], [3, y]] = [[6, 5], [3, −2]] হলে x-এর মান কত?
দ্বিতীয়টায় আগে ক্রম দেখো।
প্রশ্ন ২
[[1, 4], [2, 0]] = [[x, y²], [z, 0]] এবং y > 0 হলে x + y − z = ?
শেষটায় ঘরে ঘরে মেলাও।
প্রশ্ন ৩
A = [[4, 5, 6], [7, 2, 3]], B = [[4, 5, 6], [7, x, 3]] এবং A = B হলে x এর মান কত?
পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।
সাতটা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.২।