উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.১

বিম্ব, প্রতিসম ও বিশেষ ধরনের ম্যাট্রিক্স।

একটা ম্যাট্রিক্সকে কাত করে ফেললে কী হয়? সারিগুলো দাঁড়িয়ে গিয়ে কলাম হয়ে যায়। আবার কিছু ম্যাট্রিক্স বর্গ করলে নিজেই ফিরে আসে, কেউ শূন্য হয়ে যায়, কেউ হয়ে যায় I। এই নোটে সেই চালগুলো আর তাদের নাম।

১. ট্রান্সপোজ আর তার দুই নিয়ম

ম্যাট্রিক্স A এর সারিগুলোকে কলামে আর কলামগুলোকে সারিতে বদলে ফেললে যে নতুন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়, তার নাম A এর ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স। লেখা হয় A', Aᵗ বা Aᵀ। যেমন A = [[৩, ৫, ৭], [২, ৪, ৯]] হলে A' = [[৩, ২], [৫, ৪], [৭, ৯]]। A এর ক্রম m × n হলে A' এর ক্রম n × m। এখানে ২ × ৩ ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ হলো ৩ × ২।

ট্রান্সপোজের দুটো নিয়ম আছে: (A + B)' = A' + B' আর (AB)' = B'A'। যোগের বেলায় ট্রান্সপোজ পদে পদে ঢোকে, কিন্তু গুণের বেলায় ক্রম উল্টে যায়। A'B' লিখলে ভুল, লিখতে হবে B'A'।

বইয়ের অনুশীলনী ১(A) ৭(b) এ নিয়মটা মিলিয়ে দেখা হয়েছে। A = [[১, ০, −২], [২, −১, ৩]] আর B = [[−৩, ১], [২, ৪], [১, −২]]। গুণ করলে AB = [[−৫, ৫], [−৫, −৮]], তাই (AB)' = [[−৫, −৫], [৫, −৮]]। আলাদা করে B'A' বের করলেও ঠিক এই ম্যাট্রিক্সই আসে। অতএব (AB)' = B'A'।

২. প্রতিসম আর বিপ্রতিসম

বর্গ ম্যাট্রিক্স A = (a_ij) প্রতিসম হয় যদি A' = A হয়, অর্থাৎ a_ij = a_ji। উদাহরণ: [[১, ২, −৩], [২, −৭, ৪], [−৩, ৪, ১]]। মুখ্য কর্ণের দুপাশের ভূক্তিগুলো জোড়ায় জোড়ায় মিলে যায়।

A' = −A অর্থাৎ a_ij = −a_ji হলে A বিপ্রতিসম (skew symmetric)। কর্ণে i = j, তাই a_ii = −a_ii, আর তাই প্রত্যেক বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের মুখ্য কর্ণের ভূক্তি শূন্য। যেমন [[০, ৩, ৪], [−৩, ০, ৭], [−৪, −৭, ০]]।

বইয়ের কাজ ৩ এ B = [[১, −৩, ৫], [−৩, ২, ৭], [৫, ৭, ৪]] এর জন্য B' = B, তাই B প্রতিসম। C = [[০, −৮, ৫], [৮, ০, −৪], [−৫, ৪, ০]] এর জন্য C' = −C, তাই C বিপ্রতিসম। নিচে এই দুটোসহ ছয়টা ম্যাট্রিক্স উল্টে দেখো। একটা ট্রান্সপোজই বলে দেবে কে কী।

৩. চার নামের চার শর্ত

বর্গ ম্যাট্রিক্স A সমঘাতি (idempotent) হয় যদি A² = A হয়। যেমন A = [[৩, −৬], [১, −২]] এর জন্য A² = A। আর কোনো ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n এর জন্য Aⁿ = ০ হলে A শূন্যঘাতি (nilpotent)। এমন ক্ষুদ্রতম n এর নাম সূচক (index)। A = [[৪, ৪], [−৪, −৪]] এর A² = ০, তাই সূচক ২।

A² = I হলে A অভেদঘাতি (involutory)। যেমন B = [[১, ৩], [০, −১]] এর B² = I। A·A = I বলে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স নিজেই নিজের বিপরীত: A⁻¹ = A। আর AA' = A'A = I হলে A উলম্ব (orthogonal)। উদাহরণ: [[cos x, sin x], [−sin x, cos x]]। শেষ নামটাই একমাত্র, যেখানে ট্রান্সপোজ লাগে।

এবার ছয়টা শর্তকে তাদের নামের বাক্সে ফেলো। প্রতিসম আর বিপ্রতিসমও সঙ্গে আছে।

৪. ট্রেস আর উপ-ম্যাট্রিক্স

বর্গ ম্যাট্রিক্সের মুখ্য কর্ণের ভূক্তিগুলোর যোগফলকে বলে ট্রেস। [[৫, −২, −৬], [−৩, ২, ৯], [২, ০, ৩]] এর ট্রেস = ৫ + ২ + ৩ = ১০। আর কোনো ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সংখ্যক সারি ও কলামের ভূক্তি বাদ দিলে যে ম্যাট্রিক্স থাকে, তাকে মূল ম্যাট্রিক্সের উপ-ম্যাট্রিক্স বলে।

৫. বর্গ করো, তুলনা করো

অনুশীলনী ৭ এর প্রতিটা প্রমাণের চাল একটাই: ম্যাট্রিক্সকে বর্গ করো, তারপর A, ০ বা I এর সাথে মেলাও।

A = [[২, −২, −৪], [−১, ৩, ৪], [১, −২, −৩]] এর জন্য A² = A, তাই A সমঘাতি (অনুশীলনী ১(A) ৭(c))।

C = [[−৫, −৮, ০], [৩, ৫, ০], [১, ২, −১]] এর C² = I, তাই C অভেদঘাতি। D = (১/৩)[[−১, ২, ২], [২, −১, ২], [২, ২, −১]] এর DD' = I, তাই D উলম্ব (৭(e), ৭(f))। উল্টো উদাহরণও আছে: N = [[√৩, ১], [−১, √৩]] এর NN' = [[৪, ০], [০, ৪]], যা I₂ নয়, তাই N উলম্ব নয় (উদাহরণ ৫(ক))।

পাঁচটা ২ × ২ ম্যাট্রিক্সে নিজে চেষ্টা করো। A² দেখাও, তারপর নামটা বেছে নাও।

শূন্যঘাতির বেলায় একবার বর্গ করে থামলে চলে না। B = [[১, ১, ৩], [৫, ২, ৬], [−২, −১, −৩]] এর B² = [[০, ০, ০], [৩, ৩, ৯], [−১, −১, −৩]], যা শূন্য ম্যাট্রিক্স নয়। কিন্তু B³ = ০। তাই B সূচক ৩ এর শূন্যঘাতি (অনুশীলনী ৭(d))। ঘাত একটা একটা করে বাড়িয়ে দেখো।

এ পর্যন্ত যা শিখলে, সবই বইয়ের ভেতরের। এবার এমন একটা চাল, যা পরীক্ষায় আসে অথচ বইয়ে নেই।

৬. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে।

দ্বিতীয়টায় হাত লাগাও।

শেষটা। ভাবো, কী বর্গ করতে হবে।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.১।