উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.১

ম্যাট্রিক্স ও ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ।

পরীক্ষার ফল-তালিকা দেখেছ? নম্বরগুলো সারিতে আর কলামে বসানো, চোখ বুলালেই খুঁজে পাওয়া যায়। গণিত ওই গোছানো সাজানোটাকে একটা নাম দিয়েছে, আর তার কিছু নিয়ম বানিয়েছে। এই নোটে সেই নাম, ম্যাট্রিক্সের ক্রম বলার নিয়ম, আর প্রথম যে ধরনগুলো চিনতেই হবে সেগুলো।

১. ম্যাট্রিক্স আর তার ভূক্তি

বিজ্ঞান আর গণিতের তথ্য প্রায়ই আয়তাকারে সাজানো হয়: আনুভূমিক রেখা বরাবর সারি, উল্লম্ব রেখা বরাবর কলাম। এভাবে পাওয়া আয়তাকার বিন্যাসকে বলে ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স হলো সংখ্যার আয়তাকার বিন্যাস, যা বন্ধনী দিয়ে আবদ্ধ।

ম্যাট্রিক্স গড়া প্রতিটা সংখ্যার নাম ভূক্তি (entry)। বন্ধনী হিসেবে ( ), [ ] বা ‖ ‖ যেকোনোটা চলে। নামের বেলায় নিয়ম হলো: ম্যাট্রিক্সকে বড় হাতের অক্ষর A, B, C ... দিয়ে, আর ভূক্তিকে ছোট হাতের অক্ষর a, b, c ... দিয়ে বোঝানো হয়।

সংখ্যার আনুভূমিক লাইনগুলো সারি, উল্লম্ব লাইনগুলো কলাম। ধরো ম্যাট্রিক্সটার সারিগুলো (৬, ৪, ৮), (১, ৩, ৫), (২, ৭, ৯)। এর ১ম সারি ৬, ৪, ৮, আর ২য় কলাম ৪, ৩, ৭।

২. ক্রম আর সাধারণ আকার

m সংখ্যক সারি আর n সংখ্যক কলামের ম্যাট্রিক্সকে বলে m × n ক্রমের ম্যাট্রিক্স, পড়তে হয় “m বাই n”। যেমন (০, ০, ২), (০, ৩, ০) সারির ম্যাট্রিক্সের ক্রম ২ × ৩। ক্রম জানলে ভূক্তি গোনা সহজ: মোট ভূক্তি = সারি সংখ্যা × কলাম সংখ্যা, তাই ২ × ৩ ক্রমে ৬টি ভূক্তি।

সাধারণ আকারে m সারি ও n কলামের ম্যাট্রিক্স A লেখা হয় A = [a_ij]_m×n। একে (a_ij)_m×n বা ‖a_ij‖_m×n ও লেখা যায়। এখানে a_ij হলো i-তম সারি ও j-তম কলামের ভূক্তি, আর i = ১ থেকে m, j = ১ থেকে n। নিচের হিসাব যন্ত্রে নিজে ক্রম আর ভূক্তি সংখ্যা লিখে মিলিয়ে নাও।

৩. প্রথম কয়েকটা ধরন

কেবল একটা সারির ম্যাট্রিক্স সারি ম্যাট্রিক্স, যেমন (৪, ১, ৩), ক্রম ১ × ৩। কেবল একটা কলামের ম্যাট্রিক্স কলাম ম্যাট্রিক্স, যেমন কলামে ২, ৫, ৬, ক্রম ৩ × ১।

সারি আর কলামের সংখ্যা সমান (m = n) হলে ম্যাট্রিক্সটা বর্গ ম্যাট্রিক্স, আর n কে বলে এর ক্রম। যেমন (৪, ১, ২), (০, ৩, ২), (১, −২, ৩) সারির ম্যাট্রিক্সটা ৩ × ৩ ক্রমের বর্গ ম্যাট্রিক্স।

বর্গ ম্যাট্রিক্স A = (a_ij)_n×n এর a₁₁, a₂₂, ..., a_nn ভূক্তিগুলো যে কর্ণ বরাবর বসে, তাকে মুখ্য বা প্রধান কর্ণ বলে। পরের তিনটা ধরন এই কর্ণকে ঘিরেই।

মুখ্য কর্ণের নিচের সব ভূক্তি শূন্য (a_ij = ০, যখন i > j) হলে ম্যাট্রিক্সটা ঊর্ধ্ব ত্রিভুজাকার। উদাহরণ: সারি (২, ১, −১), (০, ২, ১), (০, ০, −৩)।

উল্টো দিকে, কর্ণের উপরের সব ভূক্তি শূন্য (a_ij = ০, যখন i < j) হলে নিম্ন ত্রিভুজাকার। উদাহরণ: সারি (৩, ০, ০), (−৪, −১, ০), (৪, ২, −৩)।

৪. কর্ণ থেকে অভেদক, আর শূন্য

বর্গ ম্যাট্রিক্সে a_ij = ০ হয় যখন i ≠ j, অর্থাৎ কর্ণের ভূক্তি ছাড়া বাকি সব শূন্য, তখন সেটা কর্ণ ম্যাট্রিক্স। উদাহরণ: কর্ণে ৬, ৭, ৮ আর বাকি সব ০।

কর্ণ ম্যাট্রিক্সের অশূন্য ভূক্তিগুলো সমান হলে সেটা স্কেলার ম্যাট্রিক্স। উদাহরণ: কর্ণে ৫, ৫, ৫।

বর্গ ম্যাট্রিক্সে a_ij = ০ (i ≠ j) আর a_ij = ১ (i = j) হলে সেটা একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স, লেখা হয় I_n। যেমন I₂ এর সারি (১, ০), (০, ১)। পরে কাজে লাগবে: |I| = ১, Iᵀ = I আর I² = I।

আর যে ম্যাট্রিক্সের সব ভূক্তি শূন্য, সেটা শূন্য ম্যাট্রিক্স। এর বর্গ হওয়া দরকার নেই: ২ × ৩ ক্রমের সব ভূক্তি শূন্য ম্যাট্রিক্সও শূন্য ম্যাট্রিক্স।

এবার আটটা ম্যাট্রিক্স একটা একটা করে দেখো। যতগুলো ধরন মেলে সবগুলো ট্যাপ করো, তারপর যাচাই।

ধরনগুলো একটার ভেতর আরেকটা বসে। কর্ণে p, q, r আর বাকি সব ০ হলে এটা কর্ণ ম্যাট্রিক্স। p = q = r হলে স্কেলার, আর p = q = r = ১ হলে অভেদক। তাই কর্ণে ৩, ৩, ৩ ম্যাট্রিক্সটা একই সাথে কর্ণ ও স্কেলার, কিন্তু অভেদক নয়। হাতল ঘুরিয়ে মিলিয়ে নাও।

৫. মিলিয়ে দেখো

প্রথম প্রশ্নটা পরীক্ষার ধাঁচে।

দ্বিতীয়টায় ধরনগুলোর সম্পর্ক ভাবো।

শেষটায় সংজ্ঞাটা মনে করো।

পুরো নোটটা সাতটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.১।