উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৮.১

অ্যাডজয়েন্ট ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় এবং এর বৈশিষ্ট্য।

একটা ম্যাট্রিক্সকে কি “উল্টানো” যায়? যায়, যদি তার নির্ণায়ক শূন্য না হয়। আর উল্টানোর কাজটা তিন ধাপের: সহগুণক বের করো, ট্রান্সপোজ করো, নির্ণায়ক দিয়ে ভাগ করো। বোর্ড এই ধাপগুলোই সবচেয়ে বেশি জিজ্ঞেস করে, আর নম্বর কাটে ট্রান্সপোজের ধাপে।

১. অ্যাডজয়েন্ট আর সূত্র

বর্গ ম্যাট্রিক্স A = (a_ij) এর প্রতিটা উপাদানের একটা সহগুণক আছে: A_ij = (−১)^i+j × a_ij এর অনুরাশি। সহগুণকগুলো দিয়ে ম্যাট্রিক্স [A_ij] সাজাও, তারপর তাকে ট্রান্সপোজ করো, অর্থাৎ সারিকে কলাম আর কলামকে সারি বানাও। যা পেলে, সেটাই অ্যাডজয়েন্ট adj A। তিন ক্রমে adj A এর প্রথম সারি A₁₁, A₂₁, A₃₁; দ্বিতীয় সারি A₁₂, A₂₂, A₃₂; তৃতীয় সারি A₁₃, A₂₃, A₃₃। লক্ষ করো, প্রথম সারিতে A₁₂ নেই, আছে A₂₁। ওটাই ট্রান্সপোজ।

A অব্যতিক্রমী, মানে |A| ≠ ০, হলে A⁻¹ = (১/|A|) adj A। এটাই অনুবন্ধ ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি।

বিপরীত বের করার চার ধাপ: ১) |A| বের করে দেখো সেটা ≠ ০; ২) নয়টা সহগুণক বের করো; ৩) সহগুণক ম্যাট্রিক্সকে ট্রান্সপোজ করে adj A লেখো; ৪) |A| দিয়ে ভাগ করো। সবচেয়ে সাধারণ ভুল হলো তিন নম্বর ধাপ বাদ দিয়ে সহগুণক ম্যাট্রিক্সকেই adj A ধরে নেওয়া।

২. একটা পুরো হিসাব

বইয়ের উদাহরণটা চার ধাপে হাঁটো। প্রতি ধাপে একটা ম্যাট্রিক্স আসে, তাই কোনটা সহগুণক ম্যাট্রিক্স আর কোনটা adj A, আলাদা করে দেখো।

৩. কর্ণ ম্যাট্রিক্স আর আরও বিপরীত

কর্ণ ম্যাট্রিক্সের জন্য কোনো সহগুণক লাগে না। কর্ণের প্রতিটা উপাদানকে তার উল্টো করে দাও: a, b, c জায়গায় ১/a, ১/b, ১/c, বাকি সব শূন্য। নিচের প্রথম চিপে [[২, ০, ০], [০, ৩, ০], [০, ০, ৪]] এর বিপরীত দেখো।

বাকি চিপগুলো অনুশীলনী ১(B) এর ১২ আর ১৩ নম্বরের হিসাব। প্রতিটায় |A| আর A⁻¹ আছে, নিজের খাতায় একটা-দুটো করে মিলিয়ে নিয়ো।

৪. বিপরীতের পাঁচটা বৈশিষ্ট্য

বিপরীতের বিপরীত ফিরে আসে নিজেই: (A⁻¹)⁻¹ = A। A, B একই ক্রমের অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে AB-ও অব্যতিক্রমী, আর (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹। ক্রম উল্টে যায়, যেমন মোজার ওপর জুতো পরলে খোলার সময় জুতো আগে খুলতে হয়।

ট্রান্সপোজ আর বিপরীত আগে-পরে করা যায়: (Aᵗ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵗ। বিপরীত থাকলে একটাই থাকে: A⁻¹ = B আর A⁻¹ = C হলে B = C। আর A অব্যতিক্রমী ও প্রতিসম, মানে A' = A, হলে তার বিপরীতও প্রতিসম: (A⁻¹)' = A⁻¹।

একটা ফাঁদও আছে: (AB)' = B'A' দেখতে প্রায় একই, কিন্তু ওটা ট্রান্সপোজের নিয়ম। সূত্রগুলো তাদের নামের বাক্সে ফেলো।

৫. A·adj A আর f(A) = ০

অ্যাডজয়েন্টের আসল ধর্ম: A·adj A = adj A·A = |A|·I। দুই পাশে |A| দিয়ে ভাগ করলেই A⁻¹ = adj A/|A| বেরিয়ে আসে। বইয়ের ১৪(ii) এ M = [[০, ১, ১], [১, ২, ০], [৩, −১, ৪]] এর |M| = −১১ আর (adj M)M এর কর্ণে −১১, বাকি সব শূন্য, মানে |M| I₃।

বিপরীত আছে কি না যাচাই করার সবচেয়ে সোজা পথ গুণ করে দেখা। অনুশীলনী ১(B) ১৪(i) এ A = [[১, ০, ২], [২, −১, ৩], [৪, ১, ৮]] আর B = [[−১১, ২, ২], [−৪, ০, ১], [৬, −১, −১]] গুণ করলে AB = BA = I₃ আসে, তাই B = A⁻¹, আবার A = B⁻¹।

এবার আরেক কৌশল: ম্যাট্রিক্স যদি কোনো বহুপদী সমীকরণ f(A) = ০ মেনে চলে, তাহলে সহগুণক ছাড়াই বিপরীত মেলে। A দিয়ে উৎপাদক বের করে A·(…) = kI পেলে A⁻¹ = (…)/k। বইয়ের ১৪(iii) এ A = [[১, ২], [৪, −৩]] আর A² + ২A − ১১I = ০, তাই A(A + ২I) = ১১I এবং A⁻¹ = (১/১১)(A + ২I)। নিচে উদাহরণ আর ধাপ বদলে দেখো।

সৃজনশীল ৪(গ) তে একই A = [[১, ২], [৪, −৩]] আর f(x) = x² + ২x − ৮। তাহলে f(A) = A² + ২A − ৮I = [[৯, −৪], [−৮, ১৭]] + [[২, ৪], [৮, −৬]] − [[৮, ০], [০, ৮]] = [[৩, ০], [০, ৩]]। তাই (১/৩)f(A) = I₂, একটা অভেদক ম্যাট্রিক্স। উপরের যন্ত্রে তৃতীয় উদাহরণে এটা ধাপে ধাপে আছে।

৬. নির্ণায়কের তিনটা নিয়ম

বইয়ের সৃজনশীল প্রশ্ন আর বহুনির্বাচনি প্রশ্নে adj A, kA আর A⁻¹ এর নির্ণায়ক চাওয়া হয়, অথচ বইয়ে সূত্রটা শেখানো নেই। তাই আলাদা বাক্সে রাখলাম।

নিচের যন্ত্রে ক্রম, |A| আর k বদলিয়ে নিয়মগুলো কাজে লাগাও।

৭. মিলিয়ে দেখো

তিনটা প্রশ্ন, পরীক্ষার ধাঁচে। প্রথমটা দিয়ে শুরু।

দ্বিতীয়টায় ধাপগুলোর ক্রম খেয়াল রেখো।

শেষটায় সূত্রটা মনে করে হিসাব করো।

পুরো নোটটা কয়েকটা কার্ডে।

সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৮.১।