উচ্চতর গণিত ১ম পত্র · একাদশ-দ্বাদশ · অধ্যায় ১ · ১.৯
একঘাত সমীকরণ জোট: ক্রেমারের নিয়ম ও বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতি।
সৃজনশীল প্রশ্নের “গ” অংশটা প্রায়ই একই রকম: তিনটা অজানা, তিনটা সমীকরণ, আর শেষে লেখা “ক্রেমারের নিয়মে” বা “বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সমাধান কর”। দুটো পদ্ধতিই এই অধ্যায়ের আগের সব কাজ জুড়ে বানানো: নির্ণায়কের মান, সহগুণক, অ্যাডজয়েন্ট আর বিপরীত। এখানে সেগুলো একসাথে খাটে।
১. একঘাত সমীকরণ জোট
a₁x₁ + a₂x₂ + … + aₙxₙ = b, যেখানে a₁, …, aₙ আর b ধ্রুবক, এটাকে x₁, …, xₙ চলকের একঘাত সমীকরণ বলে। কোনো চলকের ঘাত ১ এর বেশি না, আর দুই চলকের গুণফলও নেই। এমন কয়েকটা সমীকরণ একসাথে নিলে হয় একঘাত সমীকরণ জোট।
চলক আর সমীকরণ সংখ্যায় সমান হলে জোটটা নির্ণায়ক দিয়ে সমাধান করা যায়। সুইস গণিতবিদ গ্যাব্রিয়েল ক্রেমার ১৭৫০ খ্রিস্টাব্দে পদ্ধতিটা প্রতিষ্ঠা করেন, তাই এর নাম ক্রেমারের নিয়ম (Cramer's Rule)।
২. ক্রেমারের নিয়ম
দুই চলক: a₁x + b₁y = c₁ আর a₂x + b₂y = c₂। সহগগুলো দিয়ে D = |a₁, b₁ ; a₂, b₂|। x এর সহগের কলামের জায়গায় ধ্রুবক পদ c₁, c₂ বসালে Dx = |c₁, b₁ ; c₂, b₂|, আর y এর কলামের জায়গায় বসালে Dy = |a₁, c₁ ; a₂, c₂|। তখন x = Dx/D, y = Dy/D।
তিন চলকেও একই নিয়ম। a₁x + b₁y + c₁z = d₁, a₂x + b₂y + c₂z = d₂, a₃x + b₃y + c₃z = d₃ এ D = |a₁, b₁, c₁ ; a₂, b₂, c₂ ; a₃, b₃, c₃|। Dx, Dy, Dz পেতে যথাক্রমে x, y, z এর সহগের কলামটা সরিয়ে সেখানে d₁, d₂, d₃ কলাম বসাও। তখন x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D।
সব ভাগেই নিচে D। তাই শর্তটা একটাই: D ≠ ০। D ≠ ০ হলে জোটের একটাই সমাধান, অনন্য সমাধান, আর কেবল তখনই ক্রেমারের নিয়ম প্রযোজ্য।
কলাম বদলের কাজটা চোখে দেখো। x, y বা z চাপলে সেই কলাম সরে যায় আর ধ্রুবকের কলাম তার জায়গায় বসে।
Dₓ কীভাবে বানাই?
অনুশীলনী ১(B) ১৫(i): x + ২y = ৫, ৩x + ৫y = ১৪। D = |১, ২ ; ৩, ৫| = ৫ − ৬ = −১। Dx = |৫, ২ ; ১৪, ৫| = ২৫ − ২৮ = −৩। Dy = |১, ৫ ; ৩, ১৪| = ১৪ − ১৫ = −১। তাই x = −৩/−১ = ৩, y = −১/−১ = ১।
উত্তরটা ঠিক কি না, বসিয়ে দেখা যায়। x আর y সরাও; দুটো সমীকরণই একসাথে মিলবে শুধু এক জোড়ায়।
দুই সমীকরণ, এক জোড়া
এবার নিজে করো। একটা জোট বেছে নাও, একটা নির্ণায়ক বেছে তার মান লেখো। চারটাই ঠিক হলে x, y, z নিজে থেকে আসবে, আর সমীকরণে বসিয়ে মিলিয়ে দেখা হবে।
ক্রেমারের নিয়ম
জোটগুলো বইয়ের। তুমি যা লেখো তা কোথাও যাচ্ছে না, খাতাটা তোমার।
তিন চলকের উদাহরণগুলো বইয়ের অনুশীলনী থেকে। ১৫(ii): x + ২y + ৩z = ১৪, ২x + ৪y + ৭z = ৩১, ৩x + ৫y + ১০z = ৪৩ এ D = ১, Dx = ১, Dy = ২, Dz = ৩, তাই (x, y, z) = (১, ২, ৩)।
১৫(iii): ৪x − y + ৪z = ১২, ২x + ৩y + ৮z = ১২, ৬x + ৫y + ১২z = ২৪ এ D = −৭২, আর (x, y, z) = (২, ০, ১)। এখানে Dy = ০, তাই y = ০: শূন্য লব কোনো সমস্যা না, শুধু হর শূন্য হলে নিয়ম চলে না। ১৫(iv): ৩x + ২y + z = ৩, ৬x + ৪y + ৩z = ৭, ৯x + ৮y + ৪z = ১১ এ D = −৬, (x, y, z) = (১/৩, ১/২, ১)।
বইয়ের কাজ (১): x + ২y − z = ৫, ৩x − y + ৩z = ৭, ২x + ৩y + z = ১১ এ D = −১৫, Dx = −৩০, Dy = −৩০, Dz = −১৫, তাই (x, y, z) = (২, ২, ১)।
৩. ম্যাট্রিক্স আকারে: AX = B
একই জোট ম্যাট্রিক্সেও লেখা যায়: AX = B। A হলো সহগ ম্যাট্রিক্স, X অজানাগুলোর কলাম [[x], [y], [z]], আর B ধ্রুবক পদের কলাম। A অব্যতিক্রমী হলে দুই দিকে বাম থেকে A⁻¹ গুণ করো: X = A⁻¹B। তারপর ম্যাট্রিক্সের সমতা থেকে x, y, z আলাদা করে পড়ে নাও।
দুই পদ্ধতির তফাত কাজের পরিমাণে। ক্রেমারে চারটা নির্ণায়ক লাগে: D, Dx, Dy, Dz। বিপরীত ম্যাট্রিক্স পদ্ধতিতে লাগে |A| আর adj A, তারপর X = (১/|A|) adj A · B। কোনটা করবে তা ঠিক করে প্রশ্ন: “ক্রেমারের নিয়মে” লেখা থাকলে ক্রেমার, “বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে” লেখা থাকলে A⁻¹। অন্যটা করলে নম্বর কাটা যায়।
অনুশীলনী ১(B) ১৬(i): ২x + ৩y = ৪, x − y = ৭ এ A = [[২, ৩], [১, −১]], |A| = −২ − ৩ = −৫, আর X = A⁻¹B থেকে (x, y) = (৫, −২)। ১৬(ii): ২x − y − z = ৬, x + ৩y + ২z = ১, ৩x − y − ৫z = ১ এ |A| = −২৭, (x, y, z) = (৩, −২, ২)।
বইয়ের কাজ (২): ২x + y − z = ৫, x + ৩y + ২z = ১০, −x + ২y + z = ১ কে A = [[২, ১, −১], [১, ৩, ২], [−১, ২, ১]] নিয়ে X = A⁻¹B দিয়ে সমাধান করলে |A| = −১০ আর (x, y, z) = (৩, ১, ২)।
উদাহরণ-৬(গ) পুরোটা হাঁটো। জোটটা BX = C আকারে দেওয়া, B = [[২, ১, −১], [৩, ২, ২], [৫, ৪, ৩]] আর C = [[১০], [১], [৪]]। প্রতি ধাপে একটা ম্যাট্রিক্স আসে।
বিপরীত ম্যাট্রিক্সে সমাধান, পাঁচ ধাপে
৪. গল্প থেকে সমীকরণ
অনেক সৃজনশীল প্রশ্নে সমীকরণ নিজে লিখে নিতে হয়। উদাহরণ-৫(গ): জগ, মগ আর বালতির উৎপাদন খরচ x, y, z টাকা ধরলে খরচের হিসাব থেকে আসে ২x + ৬y + ৫z = ৮৯, ৫x + ৭y + ৩z = ৯৪, ৩x + ৫y + ৪z = ৮৩। D = −২০, Dx = −১৬০, Dy = −৬০, Dz = −২২০, তাই x = ৮, y = ৩, z = ১১ টাকা।
কৌশলটা হলো ছকটা ঠিকমতো পড়া: সারি = ঘটনা, কলাম = জিনিস। সৃজনশীল ১(গ) এ তিন সপ্তাহে তিন রকম পণ্যের প্যাকেট কেনা হয়েছে। প্রতি সপ্তাহের সংখ্যাগুলো এক সারি: D = [[৪, ২, ১], [৬, ২, ১], [৫, ১, ১]]। দামের কলাম R = [[x], [y], [z]], আর সাপ্তাহিক মোট খরচ C = [[৪৭৫], [৫৭৫], [৪২৫]]। তাহলে DR = C, |D| = −২, আর (x, y, z) = (৫০, ১০০, ৭৫) টাকা। নিচের ছকে ঘরগুলোয় ট্যাপ করে দেখো কোনটা কোথায় যায়।
কোন সংখ্যা কোথায় যায়?
| সপ্তাহ | পণ্য ১ (x) | পণ্য ২ (y) | পণ্য ৩ (z) | মোট (টাকা) |
|---|---|---|---|---|
| ১ম | ৪ | ২ | ১ | ৪৭৫ |
| ২য় | ৬ | ২ | ১ | ৫৭৫ |
| ৩য় | ৫ | ১ | ১ | ৪২৫ |
একই ধাঁচের আরও দুটো। সৃজনশীল ১৯(গ) এ রাজীব, রিয়াজ আর প্রকাশ কিনেছে ৪, ২, ৪; ৫, ৯, ৫; ২, ৭, ৮ একক, খরচ ১৯০, ৪২৬, ৩৭৭ টাকা। এখানে |A| = ১৫৬ আর (p, q, r) = (১৫, ২৯, ১৮)। সৃজনশীল ১৫(গ) এর উত্তর: একটা ল্যাপটপ, ডেস্কটপ আর প্রিন্টার সেট করতে লাগে যথাক্রমে ১৫, ৩০ আর ১০ মিনিট।
কখনো জোটটা সরাসরি ম্যাট্রিক্স গুণফল হিসেবে আসে। সৃজনশীল ৮(গ): A = [[২, ৩, −৪], [১, ০, −২], [১, −৫, ৬]], B = [[x], [y], [z]] আর AB = [[১], [৩], [২]]। গুণ খুলে লিখলে ২x + ৩y − ৪z = ১, x − ২z = ৩, x − ৫y + ৬z = ২। D = −২৪, Dx = −১৬, Dy = ৪০, Dz = ২৮, তাই x = ২/৩, y = −৫/৩, z = −৭/৬।
৫. কখন ক্রেমার চলে?
সব সমাধানের আগে D দেখো। D ≠ ০ হলে নিয়ম চলে আর সমাধান অনন্য। D = ০ হলে কোনো ভাগই করা যায় না, নিয়মটা সেখানেই থামে।
তিনটা জোট। প্রতিটার D দেখে বলো, ক্রেমারের নিয়ম চলবে কি না।
কখন ক্রেমার চলে?
৬. মিলিয়ে দেখো
তিনটা প্রশ্ন। প্রথম দুটো উদাহরণ-৬(গ) এর জোট থেকে, তাই ভাগটা কোন দিকে তা খেয়াল রাখো: x = Dx/D।
প্রশ্ন ১
2x + y − z = 10, 3x + 2y + 2z = 1, 5x + 4y + 3z = 4। x = কত?
প্রশ্ন ২
2x + y − z = 10, 3x + 2y + 2z = 1, 5x + 4y + 3z = 4। y = কত?
প্রশ্ন ৩
A = [[2, 1], [3, 5]], B = [[2], [10]] P = [[x], [y]] এবং AP = B হলে, x + y = কত?
আটটা কার্ড
সূত্র: উচ্চতর গণিত ১ম পত্র, একাদশ-দ্বাদশ শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক”, অনুচ্ছেদ ১.৯।