যে সংখ্যার অঙ্ক কখনো শেষ হয় না, তাকে খাতায় লিখবে কীভাবে? কোথাও একটা থামতেই হয়। থামার দুটো রীতি আছে, আর পরীক্ষার প্রশ্নে দুটোর জন্য দুই রকম শব্দ ব্যবহার হয়। শব্দ দুটো আলাদা, উত্তরও প্রায়ই আলাদা, আর নম্বরও।
১. কাটা আর গোল করা
নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত মান বের করা মানে ঠিক ততগুলো অঙ্ক রেখে বাকিটা ফেলে দেওয়া। √2 = ১.৪১৪২১৩৫৬… হলে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত এর মান ১.৪১৪; চতুর্থ অঙ্ক থেকে সবটা কেটে বাদ।
আসন্ন মান বের করা মানে ততগুলো অঙ্কই রাখা, কিন্তু ফেলে দেওয়ার আগে পরের অঙ্কটা দেখে নেওয়া। সেটা ৫, ৬, ৭, ৮ বা ৯ হলে শেষ রাখা অঙ্কের সঙ্গে ১ যোগ করতে হয়; ০, ১, ২, ৩ বা ৪ হলে যেমন আছে তেমনই থাকে। বইয়ের উদাহরণেই পার্থক্যটা দেখা যায়: √13 = ৩.৬০৫৫৫১২৮…, তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ৩.৬০৫, কিন্তু আসন্ন মান ৩.৬০৬, কারণ পরের অঙ্কটা ৫।
অর্ধেক ক্ষেত্রে দুটো মান মিলে যায়, আর সেজন্যই শিক্ষার্থীরা শব্দ দুটোকে সমার্থক ভাবতে শুরু করে। নিচে সংখ্যা বেছে স্লাইডার টানো; ডান পাশের বাক্সটা কখন বাঁ পাশেরটার থেকে আলাদা হয়ে যায়, সেটাই দেখার জিনিস।
হাতলসংখ্যা বাছো, স্লাইডার টানো
কত ঘর পর্যন্ত লিখব?
মিলিয়ে দেখো
একটা প্রশ্ন
√13 = ৩.৬০৫৫৫১…, তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত এর আসন্ন মান কত?
এটা তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান, আসন্ন মান নয়। প্রশ্নে আসন্ন মান চাওয়া হয়েছে, আর পরের অঙ্ক ৫ বলে শেষ অঙ্কে ১ যোগ হবে।
ঠিক। তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ৩.৬০৫, আর পরের অঙ্ক ৫। তাই শেষ অঙ্ক ৫-এর সঙ্গে ১ যোগ হয়ে ৩.৬০৬। এই এক শব্দেই পুরো পার্থক্য।
এটা দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত। প্রশ্নে তিন ঘর চাওয়া হয়েছে, তাই তিনটে অঙ্কই রাখতে হবে।
এটা চার দশমিক স্থান পর্যন্ত মান। ঘরের সংখ্যাটা প্রশ্ন যা বলেছে ঠিক তাই রাখতে হবে।
২. নিজের সংখ্যায় গোল করো
নিয়মটা এক লাইনের, কিন্তু একটা জায়গায় প্রায় সবাই আটকায়: যখন ১ যোগ করতে গিয়ে হাতে উঠে যায়। ২.৯৯৬ কে দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত গোল করতে গেলে ৯৯-এর সঙ্গে ১ যোগ করতে হয়, আর তাতে ১০০ হয়ে হাতেরটা পূর্ণ অংশেও চলে যায়; উত্তর ৩.০০, ২.৯৯ বা ২.১০ নয়। আর শূন্য দুটো লিখতেই হবে, কারণ দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত চাওয়া হয়েছে।
নিচে নিজের সংখ্যা লিখে দেখো। উত্তরের সাথে কারণটাও দেখাবে, অর্থাৎ কোন অঙ্কটা দেখে সিদ্ধান্ত হলো।
হিসাব যন্ত্রসংখ্যা আর ঘর সংখ্যা লেখো
আসন্ন মান বের করো
যা লিখছ তা কোথাও যাচ্ছে না। খাতাটা তোমার।
মিলিয়ে দেখো
আরেকটা প্রশ্ন
২.৯৯৬-এর দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত আসন্ন মান কত?
এটা দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান, আসন্ন মান নয়। পরের অঙ্ক ৬, তাই ১ যোগ করতে হবে।
হাতেরটা ভুল জায়গায় বসেছে। ৯৯ + ১ = ১০০, তাই দশমিকের পরে ০০ আর পূর্ণ অংশে ১ যোগ হয়।
ঠিক। দুই দশমিক স্থান পর্যন্ত মান ২.৯৯, পরের অঙ্ক ৬, তাই শেষ অঙ্কে ১ যোগ: ৯৯ + ১ = ১০০। হাতে উঠে পূর্ণ অংশেও চলে গেল, ২ হয়ে গেল ৩। আর শূন্য দুটো লিখতেই হবে, কারণ দুই দশমিক স্থান চাওয়া হয়েছে।
মানটা ঠিক, লেখাটা নয়। দুই দশমিক স্থান চাওয়া হলে দুটো ঘরই দেখাতে হয়, তাই ৩.০০।
৩. √2 কে চেপে ধরো
এতক্ষণ √2 = ১.৪১৪২১৩৫৬… মানটা ব্যবহার করা হয়েছে, কিন্তু ওটা এল কোথা থেকে? কেউ বলে দেয়নি, আর ক্যালকুলেটরেরও দরকার নেই; বর্গ করে করে বের করা যায়। ১² = ১ যা ২-এর চেয়ে ছোট, আর ২² = ৪ যা ২-এর চেয়ে বড়, তাই √2 নিশ্চয়ই ১ আর ২-এর মাঝে।
এবার একই কাজ আরও সূক্ষ্মভাবে: ১.৪² = ১.৯৬ ছোট, ১.৫² = ২.২৫ বড়, তাই ১.৪ < √2 < ১.৫। প্রতি রাউন্ডে একটা করে দশমিক ঘর নিশ্চিত হয়ে যায়। নিচে প্রার্থীদের ট্যাপ করে নিজেই চারটে ঘর বের করো।
চেপে ধরোপ্রার্থী ট্যাপ করো, বর্গ দেখো
√2 কে চেপে ধরো
এভাবে যত খুশি ঘর বের করা যায়, কিন্তু কাজটা কখনো শেষ হয় না। আর এখানেই অসীম অনাবৃত্ত দশমিক কথাটার আসল মানে: সংখ্যাটা নির্দিষ্ট, প্রতিটা অঙ্কও নির্দিষ্ট, কেবল তালিকাটা ফুরোয় না। অস্পষ্ট নয়, অশেষ।
মিলিয়ে দেখো
শেষ প্রশ্ন
১.৪² = ১.৯৬ এবং ১.৫² = ২.২৫। এ থেকে √2 সম্পর্কে কী বলা যায়?
মাঝামাঝি বসিয়ে দেওয়া যায় না। ১.৪৫² = ২.১০২৫, যা ২-এর চেয়ে বড়, তাই √2 ১.৪৫-এর চেয়েও ছোট।
ঠিক। ১.৯৬ < ২ < ২.২৫, অর্থাৎ ১.৪² < (√2)² < ১.৫²। ধনাত্মক সংখ্যায় বর্গের ক্রম আর সংখ্যার ক্রম একই দিকে যায়, তাই ১.৪ < √2 < ১.৫। একইভাবে ১.৪১² = ১.৯৮৮১ আর ১.৪২² = ২.০১৬৪ দিলে পরের ঘরটাও বেরিয়ে আসে।
১.৫² = ২.২৫, আর সেটা ২-এর চেয়ে বড়। তাই √2 ১.৫-এর চেয়ে ছোট, বড় নয়।
দুটো দশমিকের মাঝে থাকা মানেই মূলদ হওয়া নয়। ২ পূর্ণবর্গ নয়, তাই √2 অমূলদ, আর সেটা এই অধ্যায়েই প্রমাণ করা হয়েছে।
অধ্যায়টা এখানেই শেষ। এই নোটের কথাগুলো নিচের কার্ডে কেটে রাখা আছে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
চারটা কার্ড
সামনে“দশমিক স্থান পর্যন্ত মান” আর “আসন্ন মান” কীভাবে আলাদা?
পিছনেপ্রথমটায় কেটে দাও, দ্বিতীয়টায় পরের অঙ্ক দেখে গোল করো।
সামনেগোল করার নিয়ম কী?
পিছনেপরের অঙ্ক ৫ বা তার বেশি হলে শেষ অঙ্কে ১ যোগ, নইলে যেমন আছে।
সামনেক্যালকুলেটর ছাড়া √2-এর ঘর বের করবে কীভাবে?
পিছনেবর্গ করে করে চেপে ধরো। ১.৪² = ১.৯৬ ছোট, ১.৫² = ২.২৫ বড়, তাই ১.৪ < √2 < ১.৫।
সামনেঅসীম অনাবৃত্ত দশমিক মানে কী?
পিছনেসংখ্যাটা নির্দিষ্ট, প্রতিটা অঙ্কও নির্দিষ্ট, কেবল তালিকাটা ফুরোয় না। অস্পষ্ট নয়, অশেষ।