এই অনুচ্ছেদে দুই রকম প্রশ্ন করা হয়, আর সেগুলো গুলিয়ে ফেলাই এখানকার সবচেয়ে বড় ভুল। প্রথম রকম প্রশ্ন একটা সেট নিয়ে: এর উপাদান কয়টা, গুনে শেষ হয় কি না। দ্বিতীয় রকম প্রশ্ন দুই সেট নিয়ে: একটা কি আরেকটার ভিতরে, নাকি তারা সমান, নাকি তাদের মধ্যে কিছুই মেলে না।
১. গুনে শেষ হয়, না হয় না
যে সেটের উপাদান গুনে শেষ করা যায়, তাকে বলে সসীম সেট। A = {২, ৪, ৬, ৮} সসীম, আর তার উপাদান সংখ্যা লেখা হয় n(A) = ৪। এই n(A) চিহ্নটা এখনই চিনে রাখো; পরে সেট প্রক্রিয়ার গণনায় এটাই প্রধান হাতিয়ার হবে।
যে সেটের উপাদান গুনে শেষ করা যায় না, সেটা অসীম সেট। N আর Z অসীম, তাতে অবাক হওয়ার কিছু নেই। কিন্তু {x ∈ R : ০ < x < ১} সেটটাও অসীম, আর এটাই অনেককে ফেলে দেয়। সংখ্যারেখায় জায়গাটা ছোট দেখায়, অথচ ০ আর ১-এর মাঝে অসংখ্য বাস্তব সংখ্যা আছে। ছোট দেখানো আর গুনে শেষ হওয়া এক জিনিস নয়।
আর যে সেটে একটাও উপাদান নেই, তাকে বলে ফাঁকা সেট, লেখা হয় ∅ বা { }। যেমন {x : x বাস্তব এবং x² < ০}: কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ ঋণাত্মক হয় না, তাই এই সেটে কেউ নেই। ফাঁকা সেটও সসীম, কারণ n(∅) = ০ আর শূন্যও একটা গোনা।
নিচের নয়টা সেট তিন বাক্সে ভাগ করো। দুটো জোড়া ইচ্ছে করে পাশাপাশি রাখা আছে; সেগুলো মেলালেই ব্যাপারটা ধরা পড়বে।
ভাগ করোচিপ, তারপর বাক্স
গুনে শেষ হয়, না হয় না?
একটা চিপ ধরো, তারপর বাক্সে ছাড়ো। প্রশ্নটা হলো উপাদান গুনে শেষ হয় কি না।
ঠিক। পরেরটা।
এটা এখানে না। জিজ্ঞেস করো: প্রথম উপাদানটা লেখা যায়? শেষটা?
সব ঠিক জায়গায়। জোড়া দুটো মিলিয়ে দেখো: {x ∈ R : ২ < x < ৩} অসীম, কিন্তু {x ∈ N : ২ < x < ৩} ফাঁকা। একই শর্ত, শুধু কোন ঘর থেকে x নিচ্ছ সেটা বদলেছে। আর জোড় মৌলিক সংখ্যা আছে মোটে একটা, ২, তাই সেটটা সসীম, ফাঁকা নয়।
এবার একটা ফাঁদ, যেটা প্রতি বছর নম্বর কাটে। ∅, { }, {০} আর {∅}: এই চারটা লেখার মধ্যে প্রথম দুটো একই জিনিস, ফাঁকা সেট, উপাদান শূন্য। কিন্তু {০}-এ একটা উপাদান আছে, সংখ্যা শূন্য। আর {∅}-এও একটা উপাদান আছে, আর সেই উপাদানটা হলো ফাঁকা সেট নিজে। খালি বাক্স আর খালি বাক্স রাখা বাক্স এক জিনিস নয়।
মিলিয়ে দেখো
একটা প্রশ্ন
A = {∅, ১, {১, ২}} হলে n(A) কত?
∅-কেও গুনতে হবে। এখানে সে একটা উপাদান হিসেবে তালিকায় লেখা আছে, তাই সে গোনার মধ্যে পড়ে।
ঠিক। উপাদান তিনটা: ∅, ১, আর {১, ২}। শেষেরটা একটা সেট হলেও এখানে সে একটাই উপাদান; ভিতরের ১ আর ২ আলাদা করে গোনা যাবে না।
{১, ২}-এর ভিতরের জিনিস আলাদা করে গোনা হয়েছে। বাক্সের ভিতরের বাক্স পুরোটা মিলে একটা উপাদান।
ভিতরের সবকিছু আলাদা করে গোনা হয়েছে। উপাদান গুনতে হবে, উপাদানের ভিতরের জিনিস নয়।
২. উপসেট: এক সেট আরেকটার ভিতরে
A-এর প্রতিটা উপাদান যদি B-তেও থাকে, তবে A হলো B-এর উপসেট, লেখা হয় A ⊆ B। যেমন {১, ২} ⊆ {১, ২, ৩}। সংজ্ঞাটা এক দিকেই কাজ করে: B-তে বাড়তি কিছু থাকলে কোনো সমস্যা নেই, কিন্তু A-তে এমন কিছু থাকা চলবে না যা B-তে নেই।
এই সংজ্ঞা থেকে দুটো কথা সবসময় সত্য, আর দুটোই পরে কাজে লাগবে। প্রথমটা সহজ: প্রতিটা সেট নিজের উপসেট, অর্থাৎ A ⊆ A। দ্বিতীয়টা প্রথমে অদ্ভুত লাগে: ফাঁকা সেট প্রতিটা সেটের উপসেট, ∅ ⊆ A, যে সেটই হোক। কেন, সেটা ধাপে ধাপে দেখে নাও।
ধাপে ধাপেপরে চাপো
কেন ফাঁকা সেট সবার উপসেট
A ⊆ B মানে কী? A-এর প্রতিটা উপাদান B-তে আছে। উল্টো করে বললে একই কথা: A-তে এমন কোনো উপাদান নেই যেটা B-তে নেই।
এবার A-এর জায়গায় ∅ বসাও। প্রশ্নটা দাঁড়াল: ∅-এ এমন কোনো উপাদান আছে কি, যেটা B-তে নেই?
∅-এ তো কোনো উপাদানই নেই। তাই এমন একটা উপাদান খুঁজে বের করাই অসম্ভব।
শর্ত ভাঙার একটাও উদাহরণ যখন নেই, তখন শর্তটা ভাঙেনি। আর না ভাঙা মানেই সত্য।
সুতরাং ∅ ⊆ A, A যা-ই হোক। এমনকি ∅ ⊆ ∅-ও সত্য। এজন্যই কোনো সেটের উপসেট গুনতে বসলে ∅-কে সবসময় একটা ধরতে হয়।
উপসেটের পাশে আরেকটা চিহ্ন আছে, ⊂, আর তার শর্ত একটু কড়া। A ⊆ B হওয়ার পাশাপাশি যদি A ≠ B-ও হয়, তবে A হলো B-এর প্রকৃত উপসেট, A ⊂ B। তাই {১, ২} ⊂ {১, ২, ৩} ঠিক, কিন্তু {১, ২, ৩} নিজের প্রকৃত উপসেট নয়, কারণ সে নিজের সমান। প্রকৃত উপসেট মানে ভিতরে আছে, আর পুরোটা দখল করেনি।
মিলিয়ে দেখো
আরেকটা প্রশ্ন
নিচের কোন বিবৃতিটি মিথ্যা?
এটা সত্য, আর সবসময় সত্য। ফাঁকা সেট প্রতিটা সেটের উপসেট।
এটা সত্য। ⊆ চিহ্নে সমান হওয়াটা বাধা নয়, তাই প্রতিটা সেট নিজের উপসেট।
ঠিক, এটাই মিথ্যা। প্রকৃত উপসেট হতে হলে দুই শর্ত: সব উপাদান থাকতে হবে, এবং সেট দুটো সমান হওয়া চলবে না। এখানে দ্বিতীয় শর্তটা ভেঙেছে।
এটা সত্য। ১ সরাসরি ওই সেটের একটা উপাদান, আর উপাদান বোঝাতে ∈-ই ঠিক চিহ্ন।
৩. ∈ না ⊆, সেটা বাঁ পাশ দেখে ঠিক করো
এই অধ্যায়ের একক বৃহত্তম ভুল হলো ∈ আর ⊆ মিলিয়ে ফেলা, আর নিয়মটা আসলে এক লাইনের। চিহ্নের বাঁ পাশে যদি একটা উপাদান বসে, তবে ∈। বাঁ পাশে যদি একটা সেট বসে, তবে ⊆। তাই a ∈ {a, b} ঠিক আর {a} ⊆ {a, b} ঠিক; কিন্তু a ⊆ {a, b} ভুল আর {a} ∈ {a, b}-ও ভুল।
ব্যাপারটা তখনই কঠিন হয়, যখন সেটের ভিতরেই সেট থাকে। নিচের A-তে চারটা উপাদান আছে, আর তাদের দুটো নিজেরাই সেট। দশটা বিবৃতিতে ট্যাপ করে দেখো কোনটা সত্য আর কেন।
A = {a, b, {c}, ∅}
সত্য না মিথ্যাবিবৃতিতে ট্যাপ করো
∈ না ⊆?
সত্য। a সরাসরি A-এর একটা উপাদান, আর বাঁ পাশে উপাদান বসলে ∈-ই ঠিক চিহ্ন।
মিথ্যা। ⊆-এর বাঁ পাশে সেট লাগে, উপাদান নয়। ঠিক লেখাটা হতো {a} ⊆ A।
সত্য। {a} সেটটার একমাত্র উপাদান a, আর সে A-তে আছে। তাই শর্ত পূরণ।
মিথ্যা। A-এর উপাদান চারটা: a, b, {c}, ∅। {a} তাদের কেউ নয়।
মিথ্যা। A-তে আছে {c}, c নয়। বাক্সের ভিতরে বাক্স থাকলে ভিতরের জিনিসটা বাইরের সেটের উপাদান হয় না।
সত্য। {c} নিজেই A-এর একটা উপাদান, একটা সেট হয়েও। উপাদান সেট হতেই পারে।
সত্য। এখানে ∅ উপাদান হিসেবে তালিকায় লেখা আছে, তাই সে A-এর একটা উপাদান।
সত্য। ফাঁকা সেট প্রতিটা সেটের উপসেট, ব্যতিক্রম ছাড়া। খেয়াল করো, ৭ আর ৮ দুটোই সত্য কিন্তু দুই কারণে।
সত্য। প্রতিটা সেট নিজের উপসেট, কারণ নিজের প্রতিটা উপাদান নিজের মধ্যেই আছে।
মিথ্যা। প্রকৃত উপসেট হতে হলে সমান হওয়া চলবে না। A = A, তাই A প্রকৃত উপসেট নয়।
দশটাই দেখা হলো। প্রতিটার রায় এসেছে একটাই প্রশ্ন থেকে: চিহ্নের বাঁ পাশে কী বসে আছে, উপাদান না সেট?
৪. সমান, সমতুল্য, আর সার্বিক সেট
দুই সেট সমান তখনই, যখন A ⊆ B এবং B ⊆ A দুটোই সত্য। অর্থাৎ কেউ কারো বাইরে কিছু রাখেনি। এই দুই দিক দেখিয়ে সমান বলার কাঠামোটাই পরে সেট-অভেদ প্রমাণের নিয়ম হয়ে দাঁড়াবে, তাই এখনই চিনে রাখো।
সমতুল্য সেট আলাদা জিনিস, আর এখানেই অনেকে হোঁচট খায়। দুই সেটের উপাদান সংখ্যা সমান হলে তারা সমতুল্য, উপাদান এক না হলেও। {a, b, c} আর {১, ২, ৩} সমতুল্য, কারণ দুটোতেই তিনটা করে উপাদান; কিন্তু তারা সমান নয়, কারণ একটাও উপাদান মেলে না। সমতা উপাদান মেলায়, সমতুল্যতা শুধু সংখ্যা গোনে।
আর যে সেটে আলোচনার সব উপাদান ধরা আছে, তাকে ওই আলোচনার সার্বিক সেট বলে, লেখা হয় U। U কোনো স্থির জিনিস নয়, প্রসঙ্গভেদে বদলায়, আর সেটা বদলালে উত্তরও বদলে যায়। নিচের বোতামগুলো চেপে দেখো দুই সেট U-এর ভিতরে কত রকম ভাবে বসতে পারে।
সম্পর্কবোতাম বদলাও
সার্বিক সেটের ভিতরে কে কোথায়
নিশ্ছেদ। A = {১, ২, ৩}, B = {৭, ৮}। কোনো সাধারণ উপাদান নেই, তাই বৃত্ত দুটো একে অন্যকে ছোঁয়ও না। এদের নিশ্ছেদ সেট বলা হয়।
আংশিক ছেদ। A = {১, ২, ৩}, B = {৩, ৪}। ৩ দুজনেরই। বৃত্ত দুটো একে অন্যকে কাটছে, কিন্তু কেউ কাউকে গিলে ফেলেনি, তাই A ⊄ B আর B ⊄ A।
উপসেট। A = {১, ২}, B = {১, ২, ৩, ৪}। A-এর সব উপাদান B-তে আছে, তাই A ⊂ B, আর বৃত্তটা পুরোপুরি ভিতরে বসে গেছে। এই ছবি থেকেই পরে দেখবে A ∩ B = A এবং A ∪ B = B।
সমান। A = {১, ২, ৩}, B = {৩, ২, ১}। একই উপাদান, শুধু সাজানো আলাদা। দুটো বৃত্ত একে অন্যের উপর বসে গেছে, তাই এখানে দুটোই আঁকা আছে, একটা হারায়নি। A ⊆ B এবং B ⊆ A, তাই A = B।
চারটাই দেখা হলো। ছবিটাই সম্পর্কটা বলে দেয়: বৃত্ত দুটো কোথায় বসেছে দেখলেই বোঝা যায় তারা নিশ্ছেদ, না কাটাকাটি, না একটা আরেকটার ভিতরে।
সার্বিক সেট বদলালে উত্তর কীভাবে বদলায়, সেটা একটা উদাহরণে দেখে নাও। A = {২, ৪} সেটটা একই রইল, কিন্তু U = {১, ২, ৩, ৪, ৫} ধরলে A-এর বাইরে পড়ে থাকে {১, ৩, ৫}, আর U = {২, ৪, ৬} ধরলে বাইরে পড়ে থাকে শুধু {৬}। সেট এক, প্রসঙ্গ আলাদা, উত্তর আলাদা। এজন্যই U না বলে দিলে কোনো সেটের বাইরের অংশ নিয়ে কথা বলাই যায় না।
মিলিয়ে দেখো
শেষ প্রশ্ন
U = {১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬}, A = {২, ৪, ৬} এবং B = {x ∈ U : x জোড় সংখ্যা} হলে A ও B-এর সম্পর্ক কী?
B-তে বাড়তি কিছু নেই। U-এর ভিতরে জোড় সংখ্যা মোটে তিনটা: ২, ৪, ৬।
ঠিক। U-এর ভিতরে জোড় সংখ্যা ২, ৪, ৬, তাই B = {২, ৪, ৬}, যা হুবহু A। একই সেট, দুই পদ্ধতিতে লেখা। লক্ষ করো U না বলা থাকলে B-তে ৮, ১০ সবই ঢুকে যেত আর উত্তর হতো ক।
নিশ্ছেদ মানে একটাও সাধারণ উপাদান নেই। এখানে তো তিনটাই সাধারণ।
A-তেও বাড়তি কিছু নেই। দুটো সেটের উপাদান হুবহু এক।
এতগুলো নাম একসাথে এলে গুলিয়ে যায়, তাই শেষে একটা গাছে সাজিয়ে দেখো। উপরের ভাগটা একটা সেট নিয়ে প্রশ্ন করে, নিচের ভাগটা দুই সেট নিয়ে। ডাল খুলে উদাহরণগুলো মিলিয়ে নাও।
শাখাডাল খুলে দেখো
সেটের পরিবার
সেট
উপাদান সংখ্যা অনুসারে
সসীম সেট {২, ৪, ৬, ৮}, n = ৪
অসীম সেট N, আর {x ∈ R : ০ < x < ১}
ফাঁকা সেট ∅, n = ০, সসীমেরই বিশেষ রূপ
এক-উপাদানের সেট {০} আর {∅}, দুটোতেই n = ১
অন্য সেটের সাথে সম্পর্ক অনুসারে
উপসেট A ⊆ B {১, ২} ⊆ {১, ২, ৩}; A ⊆ A সবসময় সত্য
প্রকৃত উপসেট A ⊂ B {১, ২} ⊂ {১, ২, ৩}; নিজে নিজের প্রকৃত উপসেট নয়
সমান সেট A = B {১, ২, ৩} = {৩, ১, ২, ২}
সমতুল্য সেট {a, b, c} ও {১, ২, ৩}, সংখ্যা সমান উপাদান আলাদা
সার্বিক সেট U আলোচনার সব উপাদান যেখানে ধরা আছে
গাছটার দুই ডাল আলাদা রাখার কারণটা শেষে আরেকবার বলা দরকার। উপরের ডালে যা আছে, তা জানতে একটা সেটই যথেষ্ট; নিচের ডালে যা আছে, তা বলতে দুটো সেট লাগে। পরীক্ষায় প্রশ্ন পড়ে প্রথমেই ঠিক করে নাও কোন ডালের প্রশ্ন, তাহলে অর্ধেক কাজ এমনিতেই হয়ে যায়। নিচের কার্ডগুলোয় এই নোটের মূল কথাগুলো কেটে রাখা আছে।
নোট থেকে কাটাউল্টে দেখো
চারটা কার্ড
সামনে∈ আর ⊆-এর ফারাক এক লাইনে বলো।
পিছনেবাঁ পাশে উপাদান হলে ∈, বাঁ পাশে সেট হলে ⊆।
সামনেA = B কখন বলা যায়?
পিছনেযখন A ⊆ B এবং B ⊆ A দুটোই সত্য। দুই দিক দেখাতে হয়।
সামনে{০} আর {∅} কি এক?
পিছনেনা, তবে দুটোতেই একটা করে উপাদান। একটায় সংখ্যা ০, আরেকটায় ফাঁকা সেট।
সামনে∅ ⊆ A কেন সবসময় সত্য?
পিছনেশর্ত ভাঙার একটাও উদাহরণ নেই, কারণ ∅-এ কোনো উপাদানই নেই।