সাধারণ গণিত · নবম-দশম · অধ্যায় ১ · বাস্তব সংখ্যা

বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাস।

ষষ্ঠ শ্রেণি থেকে এ পর্যন্ত যত রকম সংখ্যার সাথে পরিচয় হয়েছে, এই অনুচ্ছেদে তাদের সবাইকে এক জায়গায় এনে সাজানো হয়। নামগুলো নতুন নয়, কিন্তু সাজানোটা নতুন, আর সেখানেই আসল কাজ: কে কার ভিতরে থাকে, আর একদম উপরে গিয়ে কেবল দুটো ঘর কেন থাকে।

১. গণনার সংখ্যা থেকে শুরু

স্বাভাবিক সংখ্যা হলো গণনার সংখ্যা: ১, ২, ৩, ৪ আর এভাবেই চলতে থাকে। দুটো কথা এখানে আলাদা করে মনে রাখার: শূন্য স্বাভাবিক সংখ্যা নয়, আর সবচেয়ে বড় স্বাভাবিক সংখ্যা বলে কিছু নেই। স্বাভাবিক সংখ্যাদের মধ্যে আবার ভাগ আছে; মৌলিক সংখ্যা সেগুলো যাদের ১ আর নিজেকে ছাড়া আর কোনো উৎপাদক নেই, আর যৌগিক সংখ্যা সেগুলো যাদের আছে। ১ এই দুই দলের কোনোটাতেই পড়ে না, আর এটাই এই তালিকার সবচেয়ে বেশি পরীক্ষিত ফাঁদ।

স্বাভাবিক সংখ্যা, তাদের ঋণাত্মক রূপ আর শূন্য মিলে হয় পূর্ণসংখ্যা। আর p/q আকারের সংখ্যাকে বলে ভগ্নাংশ, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং হর শূন্য নয়। লব হর থেকে ছোট হলে প্রকৃত ভগ্নাংশ, আর লব হরের সমান বা বড় হলে অপ্রকৃত ভগ্নাংশ। গাছটার ডাল খুলে দেখে নাও কে কোথায় বসে আছে।

২. মূলদ, অমূলদ, আর বাস্তব

বইয়ের সংজ্ঞা সোজা: যে সকল সংখ্যাকে p/q আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে p ও q পূর্ণসংখ্যা এবং q শূন্য নয়, তাদের মূলদ সংখ্যা বলে। এই সংজ্ঞা থেকে দুটো কথা সরাসরি বেরিয়ে আসে, আর দুটোই কাজে লাগে। এক, প্রত্যেক পূর্ণসংখ্যা মূলদ, কারণ ৫ কে ৫/১ লেখা যায়। দুই, প্রত্যেক সসীম বা আবৃত্ত দশমিকও মূলদ, কারণ তাদের ভগ্নাংশে ফিরিয়ে নেওয়া যায়।

যে সংখ্যাগুলোকে p/q আকারে প্রকাশ করাই যায় না, তাদের বলে অমূলদ সংখ্যা। বই একটা কাজের নিয়মও দেয়: পূর্ণবর্গ নয় এরূপ যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার বর্গমূল অমূলদ, তাই √2, √3, √5, √7 সবই অমূলদ। π-ও অমূলদ। আর সব মূলদ ও সব অমূলদ সংখ্যাকে একত্রে বলে বাস্তব সংখ্যা।

এই শেষ বাক্যটা একবার জোরে পড়ে নেওয়া দরকার, কারণ পুরো অধ্যায়টা এর উপর দাঁড়িয়ে। ঘর দুটো পরস্পর আলাদা এবং দুটো মিলেই সবটুকু: কোনো সংখ্যা একই সঙ্গে মূলদ ও অমূলদ হতে পারে না, আর কোনো বাস্তব সংখ্যা দুই ঘরের বাইরেও পড়ে থাকতে পারে না। নিচের ছবিতে ঠিক সেভাবেই আঁকা, একটা দেয়াল দিয়ে দুই ভাগ।

ঘরগুলো একটার ভিতরে আরেকটা, এই কথাটা থেকে কয়েকটা বাক্য সরাসরি সত্য হয়ে যায় আর কয়েকটা সরাসরি মিথ্যা। কোনটা কী, সেটা এক ঝলক ভেবে নাও।

৩. সংখ্যারেখায় সবার জায়গা

শ্রেণিবিন্যাসটার একটা ছবি আছে, আর সেটা সংখ্যারেখা। প্রত্যেক বাস্তব সংখ্যার জন্য রেখাটায় ঠিক একটা বিন্দু আছে, আর প্রত্যেক বিন্দুর জন্য ঠিক একটা বাস্তব সংখ্যা। তাই সংখ্যারেখায় কোনো ফাঁক নেই। মূলদ সংখ্যারা একা রেখাটা ভরাতে পারে না; যে ফাঁকগুলো থেকে যায় সেগুলো অমূলদ সংখ্যারা ভরে দেয়।

নিচে সাতটা সংখ্যা আছে। একটা বেছে নাও, তারপর বলো সে কোন ঘরে পড়ে, আর তারপর ওই ঘরটা জুম করে দশ ভাগে ভাগ হয়ে যাবে; সেখানে দশমাংশটা ট্যাপ করো। দুটো সংখ্যা ইচ্ছে করে রাখা আছে যারা একই দশমাংশে গিয়ে পড়ে, আর সেটাই এই উইজেটটার আসল কথা।

π আর ২২/৭ একই দশমাংশে গিয়ে পড়ে, আর তাদের পার্থক্য শুরু হয় তৃতীয় দশমিক স্থান থেকে। তবু একজন মূলদ আর অন্যজন অমূলদ। সংখ্যারেখায় পাশাপাশি বসে থাকলেও তারা আলাদা পরিবারের, আর এই কথাটা পরীক্ষায় বারবার ফিরে আসে।

৪. যে ফাঁদগুলো পরীক্ষায় আসে

চারটে ফাঁদ বারবার আসে, আর চারটেই এক জায়গায় দেখে নেওয়া ভালো। √9 দেখতে অমূলদের মতো, কিন্তু ৯ পূর্ণবর্গ বলে √9 = ৩, একটা স্বাভাবিক সংখ্যা। ২২/৭ দেখতে π-এর মতো, কিন্তু সে স্পষ্ট ভগ্নাংশ, তাই মূলদ। ০ পূর্ণসংখ্যা কিন্তু স্বাভাবিক নয়। আর −√16 = −৪, একটা পূর্ণসংখ্যা। নিচের ছকে সারি ধরে ট্যাপ করে দেখো।

শেষ একটা তালিকা, আর এখানে প্রতিটা রায়ের সাথে কারণটাও আছে। শেষ কয়েকটা চিপ দেখায় অমূলদ সংখ্যায় যোগ বা গুণ করলে ফল সবসময় অমূলদ থাকে না, যেটা বইয়ে আলাদা করে বলা নেই কিন্তু পরীক্ষায় নিয়মিত আসে।

দুটো ফাঁদ একসাথে এলে কী হয়, সেটা শেষ প্রশ্নে দেখে নাও।

এই নোটের যে কথাগুলো বাকি অধ্যায়ে বারবার লাগবে, সেগুলো নিচের কার্ডে কেটে রাখা আছে।

এই অধ্যায়ের বোর্ড প্রশ্ন, উত্তর ও ব্যাখ্যা সহ →

সূত্র: সাধারণ গণিত, নবম-দশম শ্রেণি (এনসিটিবি), অধ্যায় ১ “বাস্তব সংখ্যা”, বাস্তব সংখ্যার শ্রেণিবিন্যাসের অনুচ্ছেদ।